MS08对勾函数秒杀单调性极值问题

1、学习数学，领悟数学，秒杀数学。第 1 页 共 5 页对勾函数秒杀单调性极值问题例 1.已知函数xaxxxfln1)(2若)(xf在区间10,2上是减函数，求实数a的取值范围解：2121()2xaxfxxaxx根据题意得：221xax在10,2x上恒成立，即：12xax在10,2x上恒成立，设12g xxx，则2 2g x当22x时，2 2g x，但10,2x所以min132g xg，3a。例 2.若函数3211( )332f xxaxa x在2,2x单调递增，求实数a的取值范围。解：根据题意得：2( )30fxxaxa231xa x在2,2x上恒成立，令tx1213tat在3,1t上恒成立，4

2、2104203tatttatt710203axax，综上，72a。例 3.已知函数212( )4lnf xxaxx在区间1, 0内有极值，求 a 的取值范围。解：24( )0 xaxfxx24xax在0,1x内有解，设4=g xaxx， ：g x在0,1x上的取值范围，则5g x故5a。例 4.（2015?重庆）设函数f（x）=（ar） （）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（ 1，f（1） ）处的切线方程； （）若 f（x）在3，+ ）上为减函数，求a 的取值范围解： （i）2226336( )xxxxxa exax exa xafxeef（x）在 x=0

3、 处取得极值，f（0）=0，解得 a=0当 a=0 时，23( )xxf xe236( )xxxfxef（1）=e3，f（1）=e3，曲线 y=f （x）在点（ 1，f（1） ）处的切线方程为133xeey，化为： 3xey=0；（ii ） ：由 f（ x）在3，+）上为减函数， f （x）0 ，可得1632xxxa在3，+ ）上恒成立 令tx1，2316133ttattt在2,+t上恒成立，设33g ttt在2,+t单调递减，故922ag。秒杀秘籍：对勾函数与二次函数之间的相互转换问题在导函数为二次函数的题目中，涉及一些恒单调递增（递减） 或者是极值分布的问题，可以通过分离变量法，等式（不等

4、式）两边同除以x，利用分离变量的方法得到baxkx或者ba xmkxm在区间的取值范围问题。关键词：参数的次数必须为一次。学习数学，领悟数学，秒杀数学。第 2 页 共 5 页1.函数 f（x）= x3mx2+4x 在1， 3上是单调增函数，则实数m 的取值范围是（）am 5 bmcm 4 dm2.已知函数f（ x）=3x3 ax2+x5 在区间 1，2上单调递增，则a 的取值范围是3.若函数 f（x）=x2+x+1 在区间（， 4）上有极值点，则实数a 的取值范围是（）a （2，）b2，） c （，）d （2，）4.已知函数f（x）=lnx ax2bx当 a=1 时，若函数f（x）在其定义域内

5、是增函数，求b 的取值范围；5.已知函数f（x）=x2+lnx ax 在（ 0，1）上是增函数 （1）求 a 的取值范围； （2）设 g（x）=e2xaex1，x0，ln3，求 g（x）的最小值6.函数 f（x）=2ax x2+lnx ，a 为常数若函数f（ x）在区间 1，2上为单调函数，求a 的取值范围7.已知函数f（x）=x33ax2+3x+1 设 f（x）在区间（ 2，3）内至少有一个极值点，求a 的取值范围8.设函数 f（ x）=ex3exax若函数f（ x）在 2，2上为单调函数，求实数a的取值范围9.已知a是实数， 函数322( )3+23f xaxxa x如果函数( )yf x

6、在区间 1,1上有极值， 求a的取值范围学习数学，领悟数学，秒杀数学。第 3 页 共 5 页例 5： 已知 f（x）=xlnx ax，g（x）=x22 （1）当 a= 1时，求 f（x）的单调区间； （2）对一切x（0，+） ，f（x）g（x）恒成立，求实数a 的取值范围；解： （1）axaxxxxf1ln1ln当 a= 1 时， f（x）=lnx+2 ，令 f（x） =lnx+2 0，得21ex，令 f（ x）=lnx+2 0，得210ex函数的单调递增区间是,12e，函数的单调递减区间是21,0e（2）对一切x（ 0，+） ，f（x）g（ x）恒成立，对一切x（ 0，+） ，xlnx ax

7、 x2 2恒成立即对一切x（ 0，+） ，xxxa2ln恒成立令xxxxf2ln2212211xxxxxxf当 0 x1 时， f（ x） 0，函数递减，当x1 时， f（x） 0，函数递增f（x）在 x=1 处取极小值，也是最小值，即fmin（x）=f（1）=3a3例 6： 已知函数 f（x）=（mx+1） （ lnx3） （1）若 m=1，求曲线 y=f（x）在 x=1 的切线方程；（2）若函数f（x）在（ 0，+ ）上是增函数，求实数m 的取值范围解： （1）m=1 时， f（x）=（x+1） （lnx3） ， f （x）=（lnx3）+（x+1）x1，则 f （1）=1，f（1）=6，

8、所以切线方程为：x+y+5=0 ；（2）f （x）=xxmx12ln，若函数f（x）在（ 0，+）上是增函数，则f （x） 0 在（ 0，+）上恒成立，有 mx（ lnx2）+10在（ 0，+）上恒成立，设f（x）=x（lnx2） ，f（x）=lnx 1，f（x）在（ 0，e）是减函数， 在（e，+ ）是增函数， 所以 f （x）的值域为 e，+） ，即 mt+10 在 e，+ ）上恒成立 有010emm，解得： 0m e1。例 7： 已知函数 g（x）=，f（x）=g（x） ax （）求函数g（x）的单调区间； （）若函数f（x）在区间（ 1， +）上是减函数，求实数a 的最小值。解： （1

9、）由0ln0 xx得， x0 且 x 1，则函数 g（x）的定义域为（ 0，1）（ 1，+） ，且 g（x）=2ln1lnxx，令 g （x）=0，即 lnx1=0，解得 x=e，当 0 xe 且 x 1时， g （x） 0；当 xe 时 g（ x） 0，函数 g（x）的减区间是（0，1） ， （1，e） ，增区间是（e，+） ；（2）由题意得，函数f（x）=axxxln在（ 1，+）上是减函数，f（x）=2ln1lnxxa 0 在（ 1，+）上恒成立，即a2ln1lnxx在（ 1，+）上恒成立，令f（x）=2ln1lnxx，x （1， +） ，因此 a fmax（x）即可，由 f（ x）=4

10、14121ln1ln1ln122xxx，当且仅当21ln1x，即 x=e2时等号成立，fmax（ x）=41，因此41a，故 a 的最小值为41。秒杀秘籍：分离变量法构造函数解决恒成立问题在导函数为非一次函数或二次函数的题目中，涉及一些恒单调递增（递减）或者是极值分布的问题，可以通过分离变量法，构造成xfa，或者xfa的形势，如有必要，再对xf求导，求出在这个区间的极值（最值） ，通常xf中含有xln或者xe。关键词：参数的次数不限。学习数学，领悟数学，秒杀数学。第 4 页 共 5 页10.已知 f（x）=+ax若函数 f（x）在（，+）上是增函数，求实数a 的最小值；11.已知函数f（x）=lnx+a（x1） ，其中 ar， （）当a=1 时，求曲线y=f（x）在 x=1 处的切线方程； （）证明：当a2 时，函数f（x）是（ 1， +）内的增函数；12.已知函数f（x）=（x2ax+a）exx2，ar （1）若 f（x）在 x=1 处取得极值，求a 的值； （2）若 f（x）在（ 0，+）单调递增，求实数a 的取值范围13.已知函数f（x）=xklnx ，常数 k0 （）若x=1 是函数 f（x）的一个极值点，求f（