二元函数的连续性学习教案

1、会计学1二元函数二元函数(hnsh)的连续性的连续性第一页，共28页。一、二元函数(hnsh)的连续性概念 连续性的定义(dngy).D 0,0, 0(;)PU PD 若只要, 就有0|( )()|,(1)f Pf P 则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形 0P下, 也称 f 在点 连续. 0P若 f 在 D 上任何点都关于集合(jh) D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数. 2RD 定义1 设 f 为定义在点集上的二元函数, 0P第1页/共27页第二页，共28页。由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 0P0P00lim( )().(2)PPP Df Pf P

2、 0P f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 连续等价于 0P如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元0P函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或 0P称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在(cnzi), 但不等于 如上节例1、2 给出的函数(hnsh)在原点连续; 例3、4、5 0()f P0P是 f 的可去间断点. 时,第2页/共27页第三页，共28页。给出的函数在原点不连续(linx). 又若把上述例3 的函数改为(i wi)222, ( ,)( ,)|,0 ,( ,),( ,)(0, 0),1xyx yx yymx

3、xxyf x ymx ym上，这时由于(yuy)2( ,)(0,0)lim( ,)(0, 0),1x yymxmf x yfm 其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 ymx第3页/共27页第四页，共28页。22, ( , )(0,0),( , )(0)0,( , )(0,0),xx yf x yxyx y 在坐标(zubio)原点的连续性22( cos , sin )(cos )0,f rrrr ( , )(0,0)lim( , )0(0,0),x yf x yf因此 此时 f 在原点连因此 f 在原点沿着直线 是连续的ymx例1 讨论(toln)函数 解 由于当 20r 且时,且时

4、,第4页/共27页第五页，共28页。( , )(0,0)2,lim( , )x yf x y 时时续; 而当 不存在， 此时f 在原点间断(jindun) 全增量(zn lin)与偏增量(zn lin) 00000(,)( ,),P xyP x yDxxxyyy 、设0000(,)( ,)(,)zf xyf x yf xy 称称0000(,)(,)f xx yyf xy 量形式(xngsh)来描述连续性, 即当为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 0P第5页/共27页第六页，共28页。(,)(0,0)( ,)lim0 xyx yDz 时, f 在点 连续. 0P00,xy 或

5、或如果在全增量中取 则相应得到的 增量(zn lin)称为偏增量(zn lin), 分别记作000000(,)(,)(,),xf xyf xx yf xy 000000(,)(,)(,).yf xyf xyyf xy 一般说来, 函数(hnsh)的全增量并不等于相应的两个偏增量之和. 第6页/共27页第七页，共28页。若一个偏增量的极限为零, 如 000lim(,)0,xxf xy 0yy 0( ,)f x y则表示当固定 时, 作为 x 的函数, 它 在 x0 连续. 同理, 000lim(,)0,yyf xy若若 则表示当 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 连续时, 00(,)xy0(

6、 ,)f x y0(,)f xy在 x0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续(linx)，一般不能保证该函数的连续性 (除非另外增加条件(tiojin). 例如二元函数固定 时， 0(,)f xy在 y0 连续. 0 xx第7页/共27页第八页，共28页。10,( ,)00 xyf x yxy ，在原点处显然(xinrn)不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别(fnbi)都连续. 例2 设在区域 2R( , )Df x yxy 上分别对和对都上分别对和对都连续试证在下列条件之一满足时， ( , )

7、f x yD在在上上处处(chch)连续： (i) 对其中一个变量 (例如 y) 满足李普希茨条件, 即 0,L12( ,),( ,),x yx yD 恒恒有有使得对任何 第8页/共27页第九页，共28页。1212( ,)( ,);f x yf x yL yy (ii) 对其中(qzhng)一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y) 是一致的, 即 00,0,0(,xx只与有关只与有关0),|,( , ),yxxx yD 而而与与无无关关当当且且时时 对对一一切切0( , )(, ).yf x yf xy 恒恒有有(iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明). 证(i)0000(,

8、).( ,),xyDf x yx 因因在在连连续续 故故任任给给1010,|,xx 当当时时 有有0, 第9页/共27页第十页，共28页。000( ,)(,)2;f x yf xy 又当 02|2,yyL 时时 满满足足00( , )( ,)|2.f x yf x yL yy 12min, 令令则则当当000( , )(,)( , )( ,)f x yf xyf x yf x y000( ,)(,)22,f x yf xy( , )x yD 且且00|,|xxyy,时 又有时 又有第10页/共27页第十一页，共28页。.D在上处处连续在上处处连续0000(,).(,),fxyxyf即在连续 由

9、的任意性 便知即在连续 由的任意性 便知(ii)0000(,).(, ),0,xyDf xyy 因因在在连连续续 故故1010,|,yy 当当时时 有有000|(, )(,)|2;f xyf xy 又由 f 对 x 的连续关于 y 是一致的, 故 20, 使使02|,( , ),yyx yD 当当且且时时 有有0|( , )(, )|2.f x yf xy 第11页/共27页第十二页，共28页。1200min,|,|xxyy 令令则则当当( , ),x yD 且时 又有且时 又有000( , )(,)( , )(, )f x yf xyf x yf xy000(, )(,)22,f xyf x

10、y这就证得 .fD在上处处连续在上处处连续 连续函数的局部(jb)性质 以及相应的有理运算的各个法则. 下面(xi mian)只证明二元若二元函数(hnsh)在某一点连续, 则与一元函数(hnsh)一样, 可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性第12页/共27页第十三页，共28页。复合函数的连续性定理, 其余留给读者(dzh)自己去练习. 定理16.7 (复合函数的连续性) 设函数( ,)ux y 和 义, 并在点 Q0 连续(linx), 其中 000000(,),(,).uxyvxy 则复合函数 ( ,)( ,),( ,)g x yfx yx y 在点 P0 也 连续(linx)

11、. 证 由 f 在点 Q0 连续可知：0,0, 使得当 ( ,)vx y 在点 的某邻域内有定义, 并在 000(,)P xy点 连续; f (u, v) 在点 000(,)Q u v0P的某邻域内有定第13页/共27页第十四页，共28页。00|( , )(,)|.f u vf uv 00|, |uuvv 时, 有又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述 0,0, 使得当00|,|xxyy 时, 有000|( , )(,)|,uuu vuv 000|( , )(,)|.vvu vuv 0000| ( ,)(,)|( , )(,)|.g x yg xyf u vf uv 00|,|xxyy 综合

12、起来, 当 时, 便有所以 ( ( ,),( ,)fx yx y 在点 连续. 000(,)P xy第14页/共27页第十五页，共28页。二、有界闭域上连续函数的性质(xngzh)本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体(zhngt)性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质(xngzh)的推广. 定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元 函数 f 在有界闭域2RD 上连续, 则 f 在 D上有界, 且能取得最大值与最小值. |()|,1, 2,.(3)nf Pnn 证 先证明 f 在 D 上有界. 倘若不然, 则 +N ,n 存 ,nPD 使得 在 第15页/共27页第十六页

13、，共28页。nPD nP于是得到一个有界点列 , 且能使中有无 穷多个不同的点. 由聚点定理的推论,nP 存在收敛 knP0limknkPP 0.PD 子列,设. 因 D 是闭域, 从而 又因 f 在 D上连续, 当然在点 也连续, 于是有0P0lim()().knkf Pf P 这与不等式 (3) 矛盾(modn)，所以 f 是 D上的有界函数. 下面(xi mian)证明 f 在 D 上能取到最大、小值. 为此设 inf(),sup().mf DMf D QD ( )f QM 可证必有一点, 使(同理可证存在 第16页/共27页第十七页，共28页。QD ()f Qm PD , 使). 如若

14、不然, 对任意, 都 有( )0Mf P . 考察 D 上的正值连续函数 1( ),( )F PMf P 由前面(qin mian)的证明知道, F 在 D上有界. 又因 f 不能在 D 上达到上确界 M, 所以存在收敛点列nPD , 使 lim()nnf PM lim()nnF P . 于是有, 这导致与 F 在 D 上有界的结论(jiln)相矛盾, 从而证得 f 在 D 上能取 到最大值.第17页/共27页第十八页，共28页。定理(dngl)16.9 (一致连续性定理(dngl) 若函数 f 在有界闭域 2RD 0, 上连续, 则 f 在 D 上一致连续. 即存 0, ( ,)P Q 在只

15、依赖于 的 使得对一切满足证 本定理可参照第七章中证明(zhngmng)一致连续性定理的 理来证明. 这里我们采用(ciyng)后一种证法. 方法, 运用有限覆盖定理来证明, 也可以运用聚点定 倘若 f 在 D 上连续而不一致连续, 则存在某00, 0, 1,1, 2,n n 对于任意小的例如 , 总有 ,P QD |( )( )|.f Pf Q 必有 的点第18页/共27页第十九页，共28页。nnPQD 、(,)1nnP Qn 相应的 , 虽然, 但是 0|()()|.nnf Pf Q 由于 D 为有界闭域, 因此存在收敛子列,knnPP 0limknkPPD nQknP并设 . 再在中取出

16、与下 标相同的子列,knQ 则因0(,)10,kknnkPQnk 有0limlimkknnkkQPP. 最后, 由f在 P0 连续, 得 第19页/共27页第二十页，共28页。00lim |()()|()()|0.kknnkf Pf Qf Pf Q0|()()|0kknnf Pf Q 这与相矛盾, 所以 f 在 D 上一致(yzh)连续. 定理16.10(介值性定理) 设函数f在区域2RD 上连续, 若P1 , P2 为 D 中任意两点, 且12()(),f Pf P 则对任何(rnh)满足不等式12()()(4)f Pf P 证 作辅助(fzh)函数0PD 0().f P 的实数 , 必存在

17、点, 使得 第20页/共27页第二十一页，共28页。( )( ),.F Pf PPD 易见 F 仍在 D 上连续, 且由(4)式知道1()0,F P 2()0.F P 0PD 0()0.F P 下面证明必存在, 使 1P2PDxyO图 16 -18 第21页/共27页第二十二页，共28页。由于 D 为区域, 我们(w men)可以用有限段都在 D 中的折线 连结(lin ji) P1 和 P2 (如图 16-18). 若有某一个连接点所对应的函数(hnsh)值为 0, 则定理得 证. 否则从一端开始逐段检查, 必定存在某直线段, 使得 F 在它两端的函数值异号. 不失一般性, 设连结P1(x1

18、, y1), P2(x2, y2) 的直线段含于 D, 其方程为 121121(),01.(),xxt xxtyyt yy 第22页/共27页第二十三页，共28页。在此直线段上, F 变为关于 t 的复合(fh)函数：121121( )(),(), 01.G tF xt xxyt yyt 由于(yuy) G 为 0, 1 上的一元连续函数, 且 12()(0)0(1)(),F PGGF P 因此由一元函数根的存在(cnzi)定理, 在 (0, 1) 内存在(cnzi)一点 0,t0( )0G t 使得. 记0102101021(),(),xxtxxyytyy 则有000(,)P xyD , 使

19、得000()( )0,().F PG tf P 即即第23页/共27页第二十四页，共28页。有连通性的. 界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是(dnsh)介值性定理 中所考察的点集 D 只能(zh nn)假设是一区域, 这是为了保 证它具有(jyu)连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具 续函数, 则 f (D) 必定是一个区间 (有限或无限). 注2 由定理16. 10 又可知道, 若 f 为区域 D 上的连例3 ( , ) , , f x ya bc d设在上连续, 又有函数序设在上连续, 又有函数序( ) , ,kxa b 列列在在上上一一致致收收敛敛 且且注1 定理16. 8 与 16. 9 中的有界闭域 D 可以改为有 第24页/共27页第二十五页，共28页。( ), , ,1, 2,.kcxdxa bk ( )( ,( ) , .kkFxf xxa b 试证在上也一致收敛试证在上也一致收敛证 由定理16. 9 知道 , , fa bc d 在上一致连续.在上一致连续.0,0, , , , ,xa by yc