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文档简介
1、10.2空间几何体的表面积与体积典例精析题型一表面积问题【例1】 圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.【解析】设圆锥的半径为R,母线长为l,圆柱的半径为r,轴截面如图,S圆锥(Rl)R (RR)R()R2,S圆柱2r(rr)4r2,又,所以,所以.来源:【点拨】 轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法.【变式训练1】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m).(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.来源:【解析】(1)直观图如图所示.(2)该几何体的表面积为(7) m2,体积为 m3.题型二体积问题来源:【例2】
2、某人有一容积为V,高为a且装满了油的直三棱柱形容器,不小心将该容器掉在地上,有两处破损并发生渗漏,其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方,且容器盖也被摔开了(盖为上底面),为减少油的损失,该人采用破口朝上,倾斜容器的方式拿回家,估计容器内的油最理想的剩余量是多少?【解析】 如图,破损处为D、E,且ADb,ECc,BB1a, 则容器内所剩油的最大值为几何体ABCDB1E的体积.因为,而,由三棱柱几何性质知V, ,所以V,又因为,所以 VDABC·,所以VDABCV.故油最理想的剩余量为V. 【点拨】将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体,然后求出这些规则几何体的体积,这
3、是求几何体体积的一种常用的思想方法.【变式训练2】一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器,里面装满水,一铁球沉入水内,有水溢出,容器盖上一平板,恰与球相切,问容器内剩下的水是原来的几分之几?【解析】设球的半径为R,则圆锥的高h3R,底面半径rR,V圆锥·(R)2·3R3R3;V球R3.所以,所以剩下的水量是原来的1.来源:数理化网【点拨】本题关键是求圆锥与球的体积之比,作出轴截面,找出球半径和圆锥高、底面半径的关系即可.题型三组合体的面积、体积的关系【例3】底面直径为2,高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,设这个长方形截面的一条边长为x,对角线长为2,截面的面积为A,如图
4、所示:(1)求面积A以x为自变量的函数式;(2)求截得棱柱的体积的最大值.【解析】 (1)Ax·(0x2).(2)Vx··1 .因为0x2,所以当x时,Vmax2.【点拨】关键是理解截面,并且注意x的范围从而求体积,在求第(2)求体积时还可利用不等式.【变式训练3】(2010山东检测)把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为()A.12B.1C.21D.2【解析】设长方形的一条边长为x cm,则另一条边长为(6x) cm,且0x6,以长为(6x) cm的边作为围成的圆柱的高h,若设圆柱的底面半径为r,则有2rx,所以r,因此圆柱的体积V·()2(6x)(6x2x3),由于V·(12x3x2),令V0,得x4,容易推出当x4时圆柱的体积取得最大值,此时圆柱的底面周长是4 cm,圆柱的高是2 cm,所以圆柱的底面周长与高的比为21,选C.总结提高来源:表面积包含侧面积和底面积;直棱柱的侧棱长即侧面展开图矩形的一边;对于正棱柱、正棱锥、正棱台,其所有侧面多边形均全等,故可先求一个的侧面积,再乘以侧面多边形的个数.求
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