高考数学一轮复习总教案：10.7　空间角及其求法_20210103224800

1、10.7空间角及其求法典例精析题型一求异面直线所成的角【例1】(2012天津模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)求证：AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值.【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，0).易得(0，1)，(0,2，4)，于是cos，.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明：易知(1,2,1)， (1，4)，(1，0)，

2、于是·0，·0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u(x，y，z)，不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量.于是cosu，从而sinu，.所以二面角A1EDF的正弦值为.方法二：(1)设AB1，可得AD2，AA14，CF1，CE.来源:连接B1C，BC1，设B1C与BC1交于点M，易知A1DB1C.由，可知EFBC1，故BMC是异面直线EF与A1D所成的角.易知BMCMB1C，所以cosBMC.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明：连接AC，设AC与DE交于点N，因

3、为，所以RtDCERtCBA.从而CDEBCA.又由于CDECED90°，所以BCACED90°.故ACDE.又因为CC1DE且CC1ACC，所以DE平面ACF.从而AFDE.连接BF，同理可证B1C平面ABF.从而AFB1C，所以AFA1D.来源:数理化网因为DEA1DD，所以AF平面A1ED.(3)连接A1N，FN.由(2)可知DE平面ACF.又NF平面ACF，A1N平面ACF，所以DENF，DEA1N.故A1NF为二面角A1EDF的平面角.易知RtCNERtCBA，所以.又AC，所以CN.在RtCNF中，NF.在RtA1AN中，A1N.连接A1C1，A1F，在RtA1

4、C1F中，A1F.在A1NF中，cosA1NF.所以sinA1NF. 所以二面角A1EDF的正弦值为.【点拨】本题主要考查异面直线所成的角，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查利用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.【变式训练1】已知二面角a的大小为()，直线AB，CD，且ABa，CDa，若AB与CD所成的角为，则()A.0B.C.D.【解析】选D.题型二求二面角【例2】(2013北京模拟)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE；(3)求二面角A

5、BED的大小. 【解析】(1)设AC与BD交于点G，连接EG.因为EFAG，且EF1，AGAC1.所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，来源:所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，1).所以(，1)，(0，1)，(，0,1).所以0110，1010.所以CFBE，CFDE.所以CF平面BDE.(3)由(2)知，(，1)是平面BDE的一个法向量.

6、设平面ABE的法向量n(x，y，z)，则n0，n0.所以x0，且zy.令y1，则z.所以n(0,1，).从而cosn，.因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED的大小为.【点拨】(1)本小题主要考查直线与直线；直线与平面；平面与平面的位置关系，考查空间想象力推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合思想，化归与转化的思想.(2)空间的平行与垂直以及空间角是立体几何中重点考查的内容；利用平面的法向量的夹角求二面角的平面角是向量知识在立体几何中的应用，是求二面角常用方法.【变式训练2】在四面体ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，则二面角ABCD的大小为()A. B.C. D

7、.【解析】选B.题型三求直线与平面所成的角【例3】已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.(1)求证：PEBC；(2)若APBADB60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.【解析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0).设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，则D(0，m,0)，E(，0)，来源:可得(，n)，(m，1,0)，因为·00，所以PEBC.(2)由已知条件得m，n1，故C(，0,0)，D(0，0)，E(，0)，P(0,0,1).设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，因此可以取n(1，0).由(1,0，1)，可得|cos，n|.所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.【点拨】利用空间向量法求解问题时，适当建立空间坐标系是关键，建立坐标系时要抓住三条互相垂直且相交于一点的直线.【变式训练3】过正三棱锥SABC的侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面与底面所成角