2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

1、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一1 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题 :18 小题 , 每小题4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的 , 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . (1) 已知0- arctanlim=kxxxcx. 求, kc. (a)1= 2,= -2kc (b) 1= 2,=2kc (c) 1= 3,= -3kc (d) 1=3,=3kc【答案】 d 【解析】因为0c222311210000011-arctan11+limlimlimlimlim(1)kkkkkxxxxxxxxxxcxxkx

2、kxxkxk洛1130,3,3kkck所 以故 选 d(2) 曲面2cos()0 xxyyzx在点0,1,1的切平面方程为（a)2xyz (b)0 xyz (c) 23xyz (d)0 xyz【答案】 a 【解析】曲面在点(0,1,-1)处的法向量为(0,1,-1)=(,)nfx fy fz( 0, 1 , - 1 )= ( 2-s i n () + 1 , -s i n () +,)xyx yxx yz y= ( 1 , - 1 , 1故曲面在点(0,1,-1)处的切面方程为1 ( -0)-(-1)+(+1)=0,xyz即-+= - 2xyz选 a (3) 设101()(),2() sin(

3、n=1,2,)2nfxxbfxndx，令1()sinnns xbnx.则9()4s2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一2 (a)34 (b) 14 (c) 14 (d) 34【答案】 d 【解析】11- ,0,221( )=-=211-,122xxf xxxx将( )fx作奇延拓，得周期函数()fx，周期t =2则()fx在点9x=-4处连续，从而991113( -) =( -)( -) = - f () = - f () = -444444sff故选 d(4) 设222222221:1,2 :2,3 :22,4 : 22lxylxylxylxy为四条逆时针方向的平面曲线，记3363(

4、)(2)(1,2, 3, 4)iyxiliyxdy i. 则1234max,iiii（a）1i（ b）2i（c）3i (d)4i【答案】 b 【解析】记33+,= 263yxpyqx，则222221=1+22qpyyxxxy，3322=+2=1+632iiiilddyxqpyiydxxdydxdyxdxdyxy. 用di表示li所围区域的面积，则有12341342=,=2,=2,=dddddddd，又因为被积函数221+0,2yx所以1342=iiii. 故选 b(5) 设,a b c均为 n 阶矩阵，若abc. 且b可逆，则(a) 矩阵已知行向量组与a的行向量组等价 (b)矩阵已知列向量组与

5、a的列向量组等价 (c)矩阵已知行向量组与b的行向量组等价2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一3 (d) 矩阵已知列向量组与b的列向量组等价【答案】b【解析】将ac、按列分块，11(,.,),(,.)nnac由于abc, 故111111.(,.,).(,.).nnnnnnbbbb即1111111.,.,.nnnnnnnbbbb即c的列向量组可由a的列向量线性表示由于b可逆，故1acb，a 的列向量组可由c的列向量组线性表示，选b (6) 矩阵1111aabaa与20000000b相似的充要条件(a) 0,2ab (b) 0,ab任意常数 (c) 2,0ab (d) 2,ab任意【答案】

6、b【解析】题中所给矩阵都是实对称的，它们相似的充要条件是有相同的特征值。由 2 是1111aabaa的特征值，知112011aabaa2110400.021aabaaaa而0a时，10100101b的特征值即使2, 0b此时两矩阵相似（与b无关）(7) 设123,xxx是随机变量，且1(0,1)xn,2(0, 2 )2xn,23(5, 3 )xn，222 (1,2, 3)ippxi,则(a) 123ppp (b) 213ppp (c) 312ppp (d) 132ppp2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一4 【答案】 (a) 【解析】1122233322(2)(2)2(2)1,0202

7、022(1)(1)2(1)1,222525257722(1)(1),33333ppxxppxpxppxp由下图可知，123ppp. (8) 设随机变量()xt n，(1,)yfn，给定,(00.5),常数c满足2pxc，则2pyc(a) (b) 1- (c) 2 (d)1-2【答案】 c 【解析】()xt n，则2(1,)xfn22222pycpxcpxcpxcpxca二、填空题： 914 小题 , 每小题 4 分, 共 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) 设函数()yfx由方程(1)xyyxe确定，则1lim()1)nnfn_ 【答案】 1 【解析】0 x时，1y对方程两边

8、求导得(1)1(1)xyyeyxy时对方程两边求导得所以y x 1 2 7/3 ()yxo 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一5 (0)1y1()1)1lim()1)lim(0)11nnfnn ffnn（10）已知2322213,xxxxxyexeyexeyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y_ 【答案】3212()xxxxyceec exe【解析】31223,xxxyyeeyye齐次的通解2312()xxxyceec e非齐次的通解3212()xxxxyceec exe(11) 设sinsincosxtyttt（t为常数），则22d ydx4t=_ 【答

9、案】2【解析】1sincossincosdydytttttdxdxdttdt，22224111,2coscos4tdydd ydtd ydxdxdxdtdxtdxdt(12) 12ln(1)xxdx_ 【答案】ln 2【解析】2lnlnlnln 21111(1)1(1)1xxdxxdxxxxxx (13) 设()ijaa是3 阶 非 零 矩 阵 ，a为a的 行 列 式 ，ija为ija的 代 数 余 子 式 ， 若0( ,1, 2, 3)ijijaaij则a=_ 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一6 【答案】 -1 【解析】由于0,ijijaa故, ( ,1, 2, 3)ijijaa

10、ij222111112121313111213()aaaaaaaaaa222212122222323212223()aaaaaaaaaa222313132323333313233()aaaaaaaaaa112131112131*122232122232132333132333=,taaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa而22*=-1aaaaa，或= 0a(14) 设随机变量y服从参数为 1的指数分布， a为常数且大于零， 则1pyaya_ 三、解答题： 1523 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)( 本题满分

11、10 分 ) 计算10()xfxdx，其中1ln(1)()xttfxdt【解析】1ln(1)()xtfxdtt，则ln(1)()xfxx101()112()2()2( )000fxdxfx dxfxxx fx dxxln(1)ln(1)1112(1)224ln(1)000 xxfxdxdxxdxxx2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一7 1114ln(1)4 ln 2400011xxxxdxdxxx其中22111220002.22111=xtxtdxtdtxttdxtdtdxxtt102arctan2(1)4tt所以原式4 ln 28(1)4824 ln 2(16)( 本题满分10 分

12、 ) 设数列na满足条件：012()3,1,(1)0(2),nnxdadn nans是幂级数0nnna x的和函数（）证明：()()0nsxs x（）求()s x的表达式【解析】101(),( ),nnnnnns xa xsxna x2220()(1)(2)(1)nnnnnnsxn na xnnax20()( )(2)(1)nnnnsxs xnnaax因为2(1)0,0nnn naan，所以2(2)(1)0nnnnaa所以01( )()0,(0)3,(0)1.sxs xsasa（ii ）21210,1,1，所以12( )=xxs xc ec e又(0)3,(0)1ss，所以122,1cc()=

13、 2.xxs xee (17)(本题满分10 分) 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一8 求函数3(,)()3xyxfx yye的极值【解析】令32()03xxyfexyx3(1)03xxyfeyy解得143xy或123xy32(22)3xyxxxfexxy32(1)3xyxyxfexy3(2)3xyyyxfey1341,33xxafe1341,3xybfe1341,3yycfe2222333320acbeee又0a所以41,3为(,)fxy的极小值点，极值为1341,3fe5321,3xxafe5321,3xybfe5321,3yycfe20acb2013 年全国硕士研究生入学统一

14、考试数学一9 所以2(1,)3不是(,)fx y的极值点 . (18)(本题满分10 分) 设奇函数f （x）在【 -1,1 】上具有2 阶导数，且f （x）=1，证明：（）存在（0,1） ，使得()1f。 （）存在(1,1)，使得()()1ff。 (19)(本题满分10 分) 设 直 线l过(1, 0, 0)a，(0,1,1)b两 点 ，将l绕z轴 旋 转 一 周得 到 曲面，与 平 面0 ,2zz所围成的立体为，()i求曲面的方程，()ii求的球心方程(20)( 本题满分11 分 ) 设110aa,b=011b，当ab，为何值时，存在矩阵c使得.acc ab并求所有矩阵c. 【解析】设12

15、34xxcxx, 由于acc ab, 故110a1234xxxx1234xxxx110a011b, 即121132434312xxaxxaxxaxxxaxxx011b. 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一10 2312413423011xaxaxxaxxxxxaxb (i) 由于矩阵c存在，故方程组(i) 有解 . 对(i) 的增广矩阵进行初等行变换：01001011110101001011101010100000aaaaaaabb101110100000010000aab方程组有解，故10a,0b，即1,0ab. 当1,0ab时，增广矩阵变为10111011000000000000

16、34,xx为自由变量，令341,0 xx，代为相应齐次方程组，得211,1xx. 令340,1xx，代为相应齐次方程组，得210,1xx. 故11,1,1, 0t,21, 0, 0,1t, 令340,0 xx，得特解，1, 0, 0, 0t，方程组的通解为112212112+=(+1,-,)txkkkkkkk, 所以121121kkkckk.(21)( 本题满分11 分 ) 设二次型f（1,23,x xx）=222112233112233()()a xa xa xb xb xb x。记123aaa，123bbb（）证明二次型f对应的矩阵为2tt;（）若，正交且为单位向量，证明f在正交交换下的标

17、准形为22122 yy。2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一11 【解析】证明：(i)22123112233112233(,)2()()fxxxa xa xa xb xb xb x1123232(,)axxxaa112323(,)xaaaxx112323(,)bxxxbb112323(,)xbbbxx112323(,)2ttxxxxxxtx ax，其中2tta. 所以二次型f对应的矩阵为2tt. (ii)由于2tta,与正交 , 故0t，,为单位向量 , 故1t,故1t, 同样1t.a(2)tt22tt, 由于0, 故a有特征值12.a(2)tt, 由于0, 故a有特征值21. ()ra(2)ttr(2)()tt