椭圆常结论及其结论

1、2椭圆常用结论、椭圆的第二定义一:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.（点与线成对出现,左对左，右对右）2222对于x2y.21，左准线l1:xa右准线l2 : xa*abcc2222对于y2x1，下准线l1:ya；上准线丨2: ya总ab2cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称a2焦点到准线的距离 pcca2 c2b2（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式：焦点在x轴（左焦半径） 匚

2、a ex0,（右焦半径）r2 a ex0,其中e是离心率.焦点在y轴 MF! a ey°MF2 a ey。其中斤化分别是椭圆的下上焦点- 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关.可以记为：左加右减，上减下加* PR a c, PF2 a c推导：以焦点在x轴为例如上图，设椭圆上一点 P xo, yo，在y轴左边.根据椭圆第二定义,ipfj |pm|e，则PF1ePMe X。2 cc2 a e X。c2caxoaca ex0同理可得PF2| a eX）x轴为例,三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在弦AB坐标：A c,b2Bca弦AB长

3、度:AB2b2四、若P是椭圆:2y2 1上的点 FhF2为焦点，若FfF2b2，则 PF1F 2的面积为b2%.推导：如图S PFFPF2 sin根据余弦定理，得|pf|2PF2|FiF222|PFi|PF2cos|PFi|PFp2 2|PFi| |PF4c22!PFi|PF24a2 2PFiIPF24c22PFiPF24b2 2PFPF2I2PFi|PF2得I PFi PF2I2b21 cos=b2S PF/?-Sin=b2ta n-1 cos2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2, y2),则它的弦长AB|J

4、ik2|xX2J(1k2) %X2)24x1X2右|%y?|注：实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为y1 y2 k(x1 x2)，运用韦达定理 来进行计算.yiy2.当直线斜率不存在是，则 AB六、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：2设M(Xo,yo)为椭圆 a2y21弦AB ( AB不平行y轴)的中点，则有:kABb2a证明:设 A(xi, yi)，B(X2,y2)，则有kABy1y2xiX222a2程2a2b22鱼b22 ab22y1y2b2222，X1X2a(Y12)(%y?)(X1X2)(%X2)kOMyo2xoXo2yo即2 y

5、2y22x12X20整理得:1两式相减得:b22，因为M(x0,y0)是弦AB的中点，所以 ayX1吐，所以kAB koMX2£2a 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。22人2在椭圆 务 七 1中，以M(xo,y。)为中点的弦所在直线的斜率 k=浮 a ba yo由(1)得 kAB kOMb22akABb2丄aKdmb22aX。y。七、椭圆的参数方程acos (为参数人bsi n八、共离心率的椭圆系的方程:2 2 2 2椭圆 笃与1(a b 0)的离心率是e -(c a2b2)，方程 笃爲t(t是大于0的参a2b2aa2b2数，a b 0的离心率也是e c我们称此方

6、程为共离心率的椭圆系方程a例1、已知椭圆2X2y_1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为251622例2、如果椭圆Xy1弦被点A(4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是36922例3、已知直线yX1与椭圆笃季 1(a b 0)相交于A、B两点，且线段AB的ab中点在直线I :X2y0上，则此椭圆的离心率为2 2例4、F是椭圆- y 1的右焦点，A 1,1为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。43PF或(1) PA PF的最小值为(2) PA 2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径， 常需将另一焦半径 准线作出来考虑问题。解：(1)设另一焦点为F，则F (-1,0)连A

7、F ,P FPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a |AF |4 V5当P是F A的延长线与椭圆的交点时，PA PF取得最小值为4-.<5。2(2)作出右准线I,作PH l交于H，因a294 , b 3 , c 1，所以 a 2,12.1PH；|PH，即2 PF PA2 PFPAPHA、 P、5、求椭圆H三点共线时，其和最小，最小值为Xa 4132y21上的点到直线x30的距离的最小值.2 2例6、椭圆屯+苓1(a>b>0)顶点A (a,0), B (0, b),若右焦点F到直线AB的距离等于*则椭圆的离心率 e=()A .忑B .血C. 4323132 2例7、在椭圆 岂+