初中数学第12章全等三角形教案及试题

1、 1 / 第十二章全等三角形基础知识通关12.1 全等三角形1. 全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。2. 全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做，重合的角叫做。全等符号为。3. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边，对应角。12.2 三角形全等的判定4. 全等三角形的判定：（1）三边分别相等的两个三角形全等（简称“”或“”）；（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简称“”或“”）；（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称“”或“”）；（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个

2、三角形全等（简称“”或“”）；（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“斜边、直角边”或“”）。12.3 角的平分线性质5. 角平分线的尺规作图：（1）在 oa 、ob 上分别截取 od、oe ，使 od=oe ；（2）分别以点 d、e 为圆心，以大于1 de 的同一长度为半径作弧，两弧交于aob 内的一点2 c ；（3）作射线 oc；（4）如图所示， oc 即为所求 . 6. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离。7. 角平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的上。 2 / 3 / 一选择题（共 10 小题）单元检测1.下列各组的两个图形属于全等图

3、形的是（）ab cd2.下列说法正确的是（）a所有的等边三角形都是全等三角形 b 全等三角形是指面积相等的三角形c周长相等的三角形是全等三角形d全等三角形是指形状相同大小相等的三角形3.已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1 等于（）a72b60c50d584.已知abc 的三边长分别为3，4，5，def 的三边长分别为3，3x2，2x+1，若这两个三角形全等，则x 的值为（）a2 b2 或c或d2 或或5.下列条件中：两条直角边分别相等；两个锐角分别相等；斜边和一条直角边分别相等；一条边和一个锐角分别相等；斜边和一锐角分别相等；两条边分别相等其中能判断两个直角三角形全等的

4、有（）a6 个b5 个c4 个d3 个6.如图，acb90，acbc，adce，bece，若ad3，be1，则de（）a1 b2 c3 d4 第 6 题图第 7 题图7.如图所示，要测量河两岸上对岸两点a、b 的距离，先在ab 的垂线bf 上取两点c、d，使cdbc，再在bf 的垂线de 上取点e，使a、c、e 在同一条直线上，可以得到abcedc，得deab，因此测得ed 的长就是ab 的长，判定abcedc 的理由是（）asss basa csas dhl 8.如图，用直尺和圆规作射线oc，使它平分aob，则odcoec 的理由是（）asss bsas caas dhl 第 8 题图第 9

5、 题图 4 / 9.如图，在四边形abdc 中，bd 90，bac 与acd 的平分线交于点o，且点o 在线段bd 上，bd4，则点o 到边ac 的距离是（）a1 b1.5 c2 d3 10.如图，已知在四边形abcd 中，bcd90，bd 平分abc，ab6，bc9，cd4，则四边形abcd 的面积是（）a 24 b 30 c 36 d42 二填空题（共 10 小题）11小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4 的四块），你认为将其中的块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形第 11 题图第 12 题图第 13 题图第 14 题图12如图所示的方格中，

6、1+2+ 3度13.如图，abc 中，c90，ac8，bc4，axac，点p、q 分别在边ac 和射线ax 上运动，若abc 与pqa 全等，则ap 的长是14.如图，abcf，垂足为b，abde，点e 在cf 上，cefb，abde，依据以上条件可以判定abcdef，这种判定三角形全等的方法，可以简写为15.如图，abfc，e 是df 的中点，若ab20，cf 12，则bd第 15 题图第 16 题图第 17 题图16.如图， 1 2，bcec，请补充一个条件：能使用“aas”方法判定abcdec17.如图所示的网格是正方形网格，点a，b，c，d 均落在格点上，则bac+ac18.如图， r

7、tabc 中，acb90，abc 的三条内角平分线交于点o，omab 于m，若om 4，sabc180，则abc 的周长是第 18 题图第 20 题图 5 / 19.abc 的三边ab，bc，ca 的长分别是6，10，12，三条角平分线的交点为o，则sabo：sbco：scao20.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有个三解答题（共6 小题）21.请在图中作出线段 ad，使其平分 bac 且长度等于 m（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知：求作：22.如图，ad90，be 平分abc，且点e 是ad

8、 的中点，求证：bcab+cd23.如图所示，cdca， 1 2，ecbc，求证：abcdec 6 / 24.如图，在四边形abcd 中，ac 平分bad，ceab 于e，且ae请你猜想1 和 2 有什么数量关系？并证明你的猜想解：猜想： 证明：25.如图，在abc 和ade 中，abac，adae，bacdae，且点b，a，d 在同一条直线上，m，n 分别为be，cd 的中点（1）求证：abeacd；（2）判断amn 的形状，并说明理由 7 / 四附加题（共 2 小题）26.如图，badcae90，abad，aeac，afcb，垂足为f（1）求证：abcade；（2）求fae 的度数；（3）

9、求证：cd2bf+de28. 如图，已知abc 中，abac10cm，bc8cm，点d 为ab 的中点如果点p 在线段bc 上以3cm/s 的速度由点b 向c 点运动，同时，点q 在线段ca 上由点c 向a 点运动（1）若点q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经过 1 秒后，bpd 与cqp 是否全等，请说明理由（2）若点q 的运动速度与点p 的运动速度不相等，当点q 的运动速度为多少时，能够使bpd 与cqp 全等？ 8 / 2. 对应边，对应角，3. 相等，相等4. 边 边 边， sss 边 角 边， sas 角 边 角 ， asa 角 角 边 ， aas hl 6. 相等7. 平分线一

10、选择题（共 10 小题）基础知识通关答案单元检测答案1. 【分析】 根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断【解答】 解：a、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误b、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误c、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误d、两个图形能够完全重合，故本选项正确故选：d 【知识点】 2，3 2. 【分析】 直接利用全等图形的定义与性质分析得出答案【解答】 解：a、所有的等边三角形都是全等三角形，错误b、全等三角形是指面积相等的三角形，错误c、周长相等的三角形是全等三角形，错误d、全等三角形是指形状相同大小相等的三角形，正确故选：d 【知识点

11、】 3，4 3.【分析】 根据全等三角形的性质即可求出答案【解答】 解：由于两个三角形全等 1180 50 72 58故选：d 【知识点】 3 4.【分析】 首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：3x2 与 5 是对应边，或 3x2 与 7 是对应边，计算发现，3x25 时， 2x17，故 3x 2 与 5 不是对应边【解答】 解：abc 与def 全等当 3x25，2x+1 4，x把x代入 2x+1 中， 2x1 4 3x2 与 5 不是对应边当 3x2 4 时，x2 把x2 代入 2x+1 中， 2x+15 故选：a 【知识点】 3 9 / 5.【分析】 画出两直角三角形，

12、根据选项条件结合图形逐个判断即可【解答】 解：两条直角边分别相等；正确两个锐角分别相等；错误斜边和一条直角边分别相等，正确一条边和一个锐角分别相等；错误斜边和一锐角分别相等；正确两条边分别相等，错误其中能判断两个直角三角形全等的有 3 个故选：d 【知识点】 4 6.【分析】 根据余角的性质，可得dca 与cbe 的关系，根据aas 可得acd 与cbe 的关系，根据全等三角形的性质，可得ad 与ce 的关系，根据线段的和差，可得答案【解答】 解：adce，bece adcbec90bce+cbe90，bce+cad90，dcacbe 在acd 和cbe 中acdcbe（aas）cead3，c

13、dbe1 dececd 312 故选：b 【知识点】 3，4 7.【分析】 根据bedc，bccd，acbecd 即可证明abcedc，由此即可判断【解答】 解：abbd，debd abcedc90在abc 和edc 中abcedc（asa），abde 故选：b 【知识点】 3 8.【分析】 根据sss 证明三角形全等即可【解答】 解：由作图可知，oeod，dcec 在odc 与oec 中odcoec（sss）故选：a 【知识点】 4 10 / 9.【分析】 过o 作oeac 于e，根据角平分线的性质即可得到结论【解答】 解：过o 作oeac 于e bd 90，bac 与acd 的平分线交于点

14、o oboeod bd4，oboeod2 点o 到边ac 的距离是 2 故选：c 【知识点】 6 10.【分析】 过d 作dhab 交ba 的延长线于h，根据角平分线的性质得到dhcd 4，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】 解：过d 作dhab 交ba 的延长线于h bd 平分abc，bcd90，dhcd4 四边形abcd 的面积sabd+sbcdab?dh+ bc?cd 64+ 94 30 故选：b 【知识点】 6 二填空题（共 10 小题）11.【分析】 应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证【解答】 解： 1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的

15、要素，所以不能带它们去只有第 2 块有完整的两角及夹边，符合asa，满足题目要求的条件，是符合题意的故答案为： 2 【知识点】 412.【分析】 标注字母，然后根据网格结构可得1 与 3 所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出1+3 90，再根据 2 所在的三角形是等腰直角三角形可得245，然后进行计算即可得解【解答】 解：如图，根据网格结构可知在abc 与ade 中，abcade（sss）， 1dae 1+3dae+ 390又addf，addf adf 是等腰直角三角形，245 1+2+ 390 +45 135故答案为： 135 【知识点】 3，4 11 / 13.【分析】

16、根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】 解：abc 与pqa 全等apbc4 或apac8 故答案为： 4 或 8 【知识点】 3 14.【分析】 依据abcf，abde，可得abc 和def 都是直角三角形，由cefb，可得bcef，所以可用sas 判定abcdef，于是答案可得【解答】 解：abcf，abde abc 和def 都是直角三角形cefb，ce 为公共部分，cbef 又abde，abcdef（sas） 故答案为：sas 【知识点】 4 15.【分析】 根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知e 是df 的中点，所以根据asa 得出adecfe，从而得出adcf，已知

17、ab，cf 的长，那么bd 的长就不难求出【解答】 解：abfc，adeefc e 是df 的中点，deef 在ade 与cfe 中adecfe（asa），adcf ab20，cf12 bdabad20128 故答案为： 8 【知识点】 3，4 16.【分析】 已知 1 2，就是已知acbdce，则根据三角形的判定定理aas 即可证得【解答】 解：可以添加ad 理由是：1 2，acbdce 在abc 和dec 中，abcdec（aas）故答案是：ad 【知识点】 4 17.【分析】 证明dceabd（sas），得cdedab，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论【解答】 解：在dce 和

18、abd 中dceabd（sas），cdedab cde+adcadc+dab90 12 / afd90，bac+acd90 故答案为： 90 【知识点】 3，4 18.【分析】 首先根据点o 是三角形三条角平分线的交点，omab 于点m 得到点o 到三边的距离等于om 的长，然后根据面积求得周长即可【解答】 解：点o 是三角形三条角平分线的交点，omab 于点m 点o 到三边的距离等于om 的长sabc180 （ab+bc+ca）?om180 即 （ab+bc+ca） 4180 ab+bc+ca 90 故答案为： 90 【知识点】 6 19.【分析】 过o 作odab 于d，oebc 于e，o

19、fac 于f，根据角平分线性质求出odoeof，根据三角形面积公式求出即可【解答】 解：如图，过o 作odab 于d，oebc 于e，ofac 于f o 为abc 三条角平分线的交点，odoeof abc 的三边ab，bc，ca 的长分别为 6 ，10，12 sabo：sboc：saoc=（abod）：（bcoe）：（acof）ab：bc：ac 6： 10：12 3： 5：6 故答案为： 3：5：6 【知识点】 6 20.【分析】 根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论【解答】 解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，油库在角平分

20、线的交点处，画出油库位置如图所示故答案为： 4 【知识点】 6三解答题（共 6 小题）21.【分析】 首先以a为圆心，任意长为半径，交射线a b、a c于e、f，然后以e、f为圆心，大 于e f长为半径作弧，交于点m，那么a m就是b a c的角平分线，只需在射线a m上截取a dm即可【解答】 解：已知：线段 m， bac ；（ 1 分）求作：线段 ad，使得 bad cad ，ad m （ 2 分）如图（ 6 分） 13 / 【知识点】 5 22.【分析】 过点e 作efbc 于点f，只要证明abefbe（aas）， rt cde rtcfe（hl） 即可解决问题【解答】 证明：过点e 作

21、efbc 于点f，则efba90又be 平分abc abefbe bebe abefbe（aas）aeef，abbf 又点e 是ad 的中点aeedef rtcdertcfe（hl）cdcf bccf+bfab+cd 【知识点】 3，4， 6 23.【分析】 根据三角形全等的判定，由已知先证acbdce，再根据sas 可证abcdec 【解答】 证明： 1 2 acbdce 在abc 和dec 中abcdec（sas）【知识点】 3，4 24.【分析】 通过作辅助线，由三角形全等得到 af=ae 或 af=ad ，由已知条件从而证得【解答】猜想： 1 与 2 互补证明：作cfad 延长线于f（

22、如图） 3 4，ceam cfce，cfacea90rtacf rtace afae ae（ad+ab） （afdf+ae+eb）ae+ （bedf） 14 / bedf0 bedf dfcbec（sas） 5 2 1+5 180 1+2 180，即 1 与 2 互补【知识点】 4，6 25.【分析】 （1）由bacdae，等式左右两边都加上cae，得到一对角相等，再由abac，af 为公共边，利用sas 可得出三角形abe 与三角形acd 全等（2）由m 与n 分别为be，cd 的中点，且becd，可得出mend，由三角形abe 与三角形acd 全等，得到对应边aead，对应角aebadc，

23、利用sas 可得出三角形ame 与三角形and 全等，利用全等三角形的对应边相等可得出aman，即三角形amn 为等腰三角形【解答】 证明：（ 1） bacdae bac+caedae+cae， 即 baecad 在abe 和acd 中abeacd（sas）（2） m、n 分别为be、cd 的中点，且becd mend abeacd aemadc，aead 在aem 和adn 中【知识点】 4, ，5 四附加题（共 2 小题）aemadn（sas）aman 即amn 为等腰三角形27.【分析】 （1）根据题意和题目中的条件可以找出abcade 的条件（2）根据（ 1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到fae 的度数（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立【解答】 证明：（ 1）badcae90bac+cad90，cad+dae 90bacdae 在bac 和dae 中bacdae（sas） 15 /