初中数学第6章实数教案及试题

1、3 a第六章实数基础知识通关6.1 平方根1.算术平方根 ：一般地，如果一个 x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根 . a 的算术平方根记为，读作“根号a”， a 叫做 .规定： 0 的算术平方根是. 2.平方根 ：一般地，如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根 . 即：如果 x2=a，那么叫做 的平方根3.开平方 ：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方互为 . 4.结论 ：正数有个算术平方根；正数有个平方根，它们互为 . 0 的平方根是. . 负数算术平方根，负数平方根a2aaa (a 0)a0(a0)a(a 0

2、) 6.2 立方根5. 立方根的定义及表示方法: 一般地，如果一个数的立方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的立方根，也叫做a 的三次方根，记做 . 其 中 a 是，3 是， 符 号 “3”读做“三次根号”. 6.开立方 ：求一个数的的运算 , 叫做开立方。6.3 实数7.无理数 ：无限小数叫做无理数. 8.实数 ：有理数和无理数统称。9.实数的分类 ：正有理数有理数零实数负有理数小 数 和 小 数正无理数无理数小 数负有理数10.实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数 . 故实数与数轴上的点 . 11.实数的相反数和绝对值的意义（1）数

3、a 的相反数是 -a，这里 a 表示任意一个实数a2 0（2）一个正实数的绝对值是它；一个负实数的绝对值是它的；0 的绝对值是。即设 a 表示一个实数，则aa 0 a(a 0) (a 0) (a 0) 12.实数的运算实数运算的顺序是 :先算，再算，最后算 . 如果遇到括号 ,则先进行括号里的运算 . 数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用单元检测一 . 选择题（共 10 小题）1. 16的算术平方根是a.2 b.4 c. 2 d.4 2.2a 1 和 a5 是某个正数的两个不等的平方根，则实数a 的值为（） a. b.c.2 d. 2 3. 64的立方根是（）a

4、.8 b.2 c. 8 d.4 4. 如图，若实数m +1，则数轴上表示m 的点应落在（）a.线段 ab 上b.线段 bc 上c.线段 cd 上d.线段 de 上5.18 -2的近似值在（）和 2 之间b.2 和 3 之间c.3 和 4 之间d.4 和 5 之间 6.实数 a， b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）a.bc 0 b.a+d 0 c.|a| |c| d.b 2 7. 在- 1.414 ，0，3 1 ，7? ?2， 1.14 ，3.212212221 （每两个 1 之间多一个 2 ），这些数中无理数的个数为（）a.3 b.2 c.5 d.4 8. 有下列说

5、法36 的平方根是 6 ； 9 的平方根是 3 ； 16 = 4； 0.081 的立方根是 0.9 ； 42 的平方根是 4； 81 的算术平方根是 9，其中正确的个数是（）a.0 个b.1 个c.3 个d.5 个9.下列说法正确的是（）a.一个数的平方根有两个，它们互为相反数b.一个数的立方根，不是正数就是负数c.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1，0，1 中的一个 d.如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是 1 或者 0 10. 定义：对任意实数 x ，x 表示不超过 x 的最大整数，如 3.143，1 1， 1.2 2. 对数字 65 进行如下运算： 65 8： 8

6、 2： 2 1，这样对数字 65 运算 3 次后的值就为 1 ，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为 1 ，则数字 255 经过（）次运算后的结果为 1. a.3 b.4 c.5 d.6 二 . 填空题（共10 小题）11. 将下列各数填入相应的横线上：； ；22 ?2 5 31 ，0.25 ， 0.3 ，8， 3.030030003 ， 0， ( - 5) ， - 125. 3 11整 数： 有 理数 ： 无 理数 ： 负 实 数 ： 12.如果 a的平方根等于2，那么 a. 13. 已知3x =4 ，且（ y2x+1）2+z - 3 =0 ，则 x+y+z 的值是. 14. 64

7、的立方根是，16的平方根是. 15.已知 k 为整数，且满足 6k10，则 k 的值是 . 16.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则化简2|a+b| |a b| 的结果为. 17.有一个数值转换器，原理如图：当输入的x 为 83 时，输出的y 是. . 18.比较下列实数的大小（填上、或）-3 3 - 25- 1 111 3 5. 2 219.利用计算器进行如下操作：，屏幕显示的结果为5.625 ，那么进行如下操作：，那么屏幕显示的结果为 . 20. 在草稿纸上计算：13； 13 + 23； 13 + 23 + 33； 13 + 23 + 33 + 43，观察你计算的结果，用你发现的规律

8、直接写出下面式子的值13 + 23 + 33 + ? + 283 = . 三 . 解答题（共5 小题）21.已知 3x+1 的算术平方根为 4 ，2y+1 的立方根为 1，求 2x+y 的平方根 . 22.计算（1） |2 - 3| 1+4+3 （2）3- 27 - 0 -1+ 30.125 + 31 -63. 4 6423.求下列各式中的 x 值. （1） x2- 6 = 14（2）（ x1）3 8 24.如图，数轴的正半轴上有 a、b、c 三点，表示 1 和2的对应点分别为 a，b，点 b 到点 a 的距离与点 c 到点 o 的距离相等，设点 c 所表示的数为 x. （1）请你直接写出x

9、的值；（2）求（ x- 2）2 的平方根 . 25.阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2 - 1 来表示 2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是 1 ，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 . 又例如： 22 732，即 2 7 3， 7的整数部分为 2 ，小数部分为 7 - 2. 请解答：（1）10的整数部分是，小数部分是 . （2）如果 5的小数部分为a，37的整数部分为 b ，求 a+b- 5的值；（3）已知： x 是 3+5的整数部分， y 是其

10、小数部分，请直接写出 x y 的值的相反数 . = 1 + -四、附加题26.观察下列各式及其验证过程22 = 2 + 2；验证： 22 = 23 = 2(22- 1)+2 = 2 + 23 3 3 322- 1 333 = 3 + 3；验证： 33 = 33 = 3(32- 1)+3 = 3 + 38 8 8 832- 1 8（1）参照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想：55 = 5 + 5；24 24（2）针对上述各式所反映的一般规律，请你猜想出用 n （n 为自然数，且 n 2）表示的等式，并给出验证27.先观察下列等式，再回答问题： 1 + 1 + 1 1 1 = 1 1；12 22

11、1 1+1 2 1 + 1 + 11 -1= 1 1；22 32 = 1 + 22+1 6 1 + 1 + 11 -1= 1 1 32 42 = 1 + 33+1 12（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想1 + 1 + 1 的结果，并进行验证；（2）根据上面的规律，计算1 + 1 + 142 5292 102（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并加以验证基础知识通关答案1. 正数 , a, 被开方数 , 0 2.x, a 3. 逆运算4. 一, 两 , 相反数 , 0, 没有 , 没有5.被开方数 , 根指数6.立方根7.不循环8.实数9.有限 ,

12、无限循环 , 无限不循环10.一一对应11. 本身 , 相反数 , 0 12. 乘方和开方 , 乘除 , 加减一 . 选择题（共10 小题）单元检测答案1.【分析】 利用算术平方根定义计算即可得到结果. 【解答】 解： 16 =4 ，4 的算术平方根是2 故选： a. 【知识点】 1,3 2.【分析】 利用正数的平方根有 2 个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到 a 的值. 【解答】 解：根据题意得：2a1+a50 移项合并得：a2 故选： c. 【知识点】 4 3. 【分析】 先求出 64 =8 ，再求出 8 的立方根即可【解答】解： 64 =8 64的立方根是3 8 =2 故选：

13、 b. 【知识点】 1,5 4. 【分析】 直接利用 - 7 + 1 的取值范围进而得出答案. 【解答】 解：实数 m= - 7 +1 ，又 -3 - 7-2 2m 1 在数轴上，表示 m 的点应落在线段 bc 上. 故选：b. 【知识点】 2 5. 【分析】 先将 18化为最简二次根式，再合并同类二次根式得出原式22 = 8，然后利用夹值 法即可求解 . 【解答】 解： 18 -2 =3 2 -2 =2 2 = 8. 489 283 即 2 18 -2 3 故选： b. 【知识点】 2,4 6.【分析】 观察数轴，找出 a 、b、c、d 四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结

14、论 . 【解答】 解： a、 b0， c0， bc0，结论 a 错误；b、a4，d4， a+d0，结论 b 正确；c、a4，0c1， |a| |c| ，结论 c 错误；d、 2b 1，结论 d 错误 . 故选： b. 【知识点】 9,10 7.【分析】 根据无理数是无限不循环小数，直接判定即可. 【解答】 解：无理数有： 2， 3.212212221 （两个 1 之间依次多一个 2 ），共 3 个；故选： a. 【知识点】 9 8.【分析】 利用平方根和算术平方根、立方根的性质可求解. 【解答】 解： 36 的平方根是 6； 9 的平方根是 3； 16 =4 ； 0.081 的立方根是 -30

15、.081 ； 42 的平方根是 4； 81 的算术平方根是 9. 故选： a. 【知识点】 1,2,5 9.【分析】 根据立方根，平方根的定义选择即可. 【解答】 解： a、一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，故本选项错误； b、一个非零数的立方根，不是正数就是负数，故本选项错误；c、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1，0，1 中的一个，故本选项正确；d、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是 0 ，1 的平方根为 1，故本选项错误；故选： c. 【知识点】 1,2,5 10.【分析】 根据 x 表示不超过 x 的最大整数计算，可得答案. 【解答】 解： 255第一次

16、 255 152 255 162 255 15第二次 15 32 15 42 15 3第三次 3 1，则数字 255 经过 3 次运算后的结果为 1. 故选： a. 【知识点】 2,3 二 . 填空题（共10 小题）11.【分析】 根据形如 2， 1，0，1，2 是整数；无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数；小于零的实数是负实数，可得答案. 【解答】 解：整数： 0 ， ( - 5)2，3-125 2 ?2 5 3有理数： 1 ， 0.25 ，0.3 ， 0，( - 5) ， ， - 125 3 11无理数： 8， 3.030030003 负实数： 3.030030003 ，

17、3- 125 . 故答案为： 0 ， ( - 5)2，3 - 125 20.25 ， 0. ?，0， ( - 5)2，5 ，3 - 125 ； 1 ，3 3 11 8， 3.030030003 ； 3.030030003 ，3- 125 . 【知识点】 9 12.【分析】 首先根据平方根的定义，可以求得 a的值，再利用算术平方根的定义即可求出 a 的值. 【解答】 解：（ 2）24 a =4 a（ a）216 故答案为： 16. 【知识点】 2,3 13.【分析】 首先根据立方根的定义求得 x 的值，然后根据非负数的性质：几个非负数的和是 0 ，则每个数是 0 ，即可列方程组求得 x ，y，z

18、 的值，进而求得代数式的值. 【解答】 解：3 x =4 x64 y - 2x + 1 = 0 根据题意得： z - 3 = 0 x = 64 则 x+y+z 194 故答案是： 194 【知识点】 2,3 x = 64 解得： y = 127z = 3 14.【分析】 根据立方根和平方根的定义进行解答，【解答】 解： 64 的立方根是 4 16 =4 ，4 的平方根是2，即 16的平方根是2，故答案为：4， 2. 【知识点】 2,5 15.【分析】 先估算出 6和10的范围，再得出答案即可. 【解答】 解： 263，3 104，整数 k 3，故答案为： 3. 【知识点】 2 16.【分析】

19、在数轴上，右边的数总大于左边的数.原点右边的表示正数，原点左边的表示负数. 【解答】 解：由图可知：3b 20a1 a+b0，ab0，可得： 2|a+b| |a b| 2a2ba+b 3ab，故答案为：3a b. 【知识点】 10 17.【分析】 将 x 的值代入数值转化器计算即可得到结果. 【解答】 解：将 x 83 代入得：3- 83= - 8 ，结果是有理数，继续取立方根将 x 8 代入得：3- 8 = - 2，结果是有理数，继续取立方根将 x 2 代入得：3- 2，结果是无理数，输出y 则输出 y 的值为：3 - 2. 故答案为：3- 2. 【知识点】 5,6 18. 【分析】 根据

20、(3 3)6 = 9 ，( 2)6 = 8 ，98，所以 -33 -2；利用分母相同的两数比较分子即可得出大小关系；将根号外的因式移到根号内部，进而得出答案【解答】 解： (33)6 = 9 ，( 2)6 = 8 ，98 -33 - 2； 5 - 1 1 5- 1 1；2 2 211 = 44，35 = 45， 211 35. 故答案为：；. 【知识点】 2,5 19. 【分析】 因为被开方数向左移动了三位，所以立方根向左移动一位. 【解答】 解：3 178 = 5.625，30.178 = 0.5625，故屏幕显示的结果为 0.5625 故答案为 0.5625. 【知识点】 5,6 20.

21、【分析】 先分别求出的结果，发现的规律1； 1+2； 1+2+3； 1+2+3+4. 以此类推，13 + 23 + 33 + ? + 283 =1+2+3+4+28，由此即可求解. 【解答】 解： 13 =1； 13 + 23 =31+2； 13 + 23 + 33 =61+2+3； 13 + 23 + 33 + 43 =10 1+2+3+4， 13 + 23 + 33 + ? + 283 =1+2+3+4+28406. 【知识点】 2 三 . 解答题（共5 小题）21.【分析】 利用算术平方根、立方根定义求出 x 与y 的值, 进而求出 2x+y 的值 ,即可求出平方根 . 【解答】 解：

22、3x+1 的算术平方根为 4 3x+116 解得： x5 2y+1 的立方根为 1 2y+1 1 解得： y 1 2x+y2 519，2x+y 的平方根是 3. 【知识点】 1,2,3,5,6 22.【分析】 （ 1）先根据绝对值的意义进行化简，再合并即可. （ 2）先根据立方根和平方根的定义化简可得结果. 【解答】 解：（ 1）|2 - 3| 1+4+3 2- 3 +3+ 3 5 （ 2）3- 27 -0 -1+ 30.125 + 31 -6 341 3 1 64 3-2 +0.5+ 64 3+143 2 4【知识点】 2,3,5,6 23.【分析】 (1) 首先求出 x2 的值是多少，然后

23、根据平方根的含义和求法，求出 x 的值是多少即可 . (2) 根据立方根的含义和求法，可得：x1 2，据此求出 x 的值是多少即可 . 【解答】 解: （1） x2- 6 =14x26125+ 4 = 4x25 =54 2（ 2）（ x1）38 x1= 38 =2 x12 解得： x3 【知识点】 2,3,5,6 24.【分析】 （ 1）根据数轴上两点间的距离求出 ab 之间的距离即为x 的值；（ 2）把 x 的值代入所求代数式进行计算即可. 【解答】 解: （1）点 a.b 分别表示 1 ， 2， ab= 2 - 1 ，即 x= 2 - 1 ；（2） x= 2 - 1 ，原式 = (x -

24、2)2 = (2 - 1 - 2)2 =1 ， 1 的平方根为 1. 【知识点】 2,3 25.【分析】 （ 1）估算得到所求整数部分与小数部分即可；（2）根据题意确定出 a 与 b，代入原式计算即可得到结果；（3）根据题意确定出 x 与 y，即可求出所求. 【解答】 解：（ 1）10的整数部分是 3 ，小数部分是10 - 3；故答案为： 3；10 - 3；（2） 459，25 3，即 a= 5 - 2，= 1 + -3637 49，6377，即 b 6，则 a+b - 5 =4 ；（3）根据题意得：x5，y3+5 - 5= 5 - 2，xy7- 5，其相反数是5 - 7. 【知识点】 2,3 四、附加题26.【分析】 （ 1）观察题干中式子可知 5 425= 5 + 4 ，25（ 2）由 2 2 = 2 2 + 2， 33 = 3 3 + 3 ，2 + = 3 322- 13 + = 8 832- 1故根据上述规律可知n ?2- 1= ? +?，把二次根式外面的因式移到根号里面，变形即可?2- 1【解答】 解：