精选精选高等数学数学基础

1、高等数学基础复习指导注意：1 本次考试题型分为单选（ 20=4 分*5 ）填空（ 20=4 分*5 ）计算题（ 44=11 分*4 ）应用题（ 16=16 分*1 ）2 复习指导分为 3 个部分，第一部分配有 详细解答，掌握解题方法 ，第二部分历年试题汇编，熟悉考试题型；第三部分中央电大今年的 模拟真题，应该重点掌握 。3 复印的蓝皮书大家要掌握第5 页的样卷和 29 页的综合练习。第一部分（详细解答）一填空题1函数 yx4的定义域为x1且x2。ln( x1)2函数 yln( x1) 的定义域是1x2。4x23函数 yx2 的定义域是x2且 x3。x34设 f ( x 2) x22 ，则 f

2、( x)x24x 6。解：设 x2t ，则 xt2 且原式 f (x2)x22即 f (t )t22 t 24t 22亦即 f (x)x24x244若函数 f ( x)(1x) x ,x0 在 x0 处连续，则 k =e 4。k,x05曲线 ye x 在 x0处的切线方程为y1x。曲线 yf x 在点x0 , y0处的切线方程为yy0y x0x x0解： yx0e xx1 ， x00时， y0e010y1(x0)y 1x ，6. 函数 yln( x3) 的连续区间为3,1 ,1,。x1初等函数在其定义区间连续。ln( x3)x303 且 x13,1 ,1,yx1x1x07曲线 yln x 在点

3、 (1,0) 处的切线方程为yx1。8. 设函数 yf (ln2x) 可导，则 dy1 f '(ln 2x) dx。x解： dyy ' dx f (ln 2x) 'dx f '(ln 2x)ln 2x' dx f '(ln 2 x)1' dx2x1' dx 12x f '(ln 2x)2xf '(ln 2x)dx2xx9. （判断单调性、凹凸性）曲线y1 x32x23x 在区间2,3内是 单调递减且凹。3解： yx24x3x3 x 1 ,当2x3时，y0曲线下降10设 f ( x)x21 ，则 f ( f(x)4

4、x21。解： f '(x)x21 '2x， f ( f( x)f2x2x24x21，11x3 (1cosx) dx110。1解： x3 是奇函数； 1 和 cos x 是偶函数，由于偶 +偶 =偶，则 1cos x 是偶函数，因为奇偶奇，所以 x31cosx 是奇函数，1,1 是对称区间奇函数在对称区间上的积分为零11 x2 ) dx212x( x。1311 x2 ) dx1(x2x 1 x2 ) dx1x2dx1解：x( xx 1 x2 dx1111x1x21x 1x2 dx0 ；是奇函数（奇偶奇），故12121223 12是偶函数，故dx2xdx而 xxx0103313设

5、F ( x)f ( x) ，则f (ln 3x)dxFln3 xC。11x解： Qln 3xdxln 3x dxd ln 3xxx14已知 F ( x)f (x) ，则xf ( x21)dx1 Fx21C。2解：xf (x21)dx1fx212xdx1fx21 dx211F x21 C22215设 F (x) 为 f (x) 的原函数，那么f (sin x)cos xdxFsin xC。分析： F (x) 为 f (x) 的原函数fu duF uC ， cosxdxd sin x解： f (sin x)cos xdxf sin x d sin xFsin xC16设 f (x) 的一个原函数是

6、sin x ,则 f ( x)sin x。解： f (x) 的一个原函数为F (x)f ( x) F '( x)f ( x)sin x '' cosx' sin x0x cos2x17 F (x)t cos 2t dt ，那么 F ( x)。xxx解：ftdta18 d02 e ttdxx解： d02 e ttdxxfxF(x)t cos2t dtx cos2x0dt_x2 e x _。dtdxt dtx2 e xt 2edx019设 F ( x)x)e 1e sin t dt ，则 F (。02xsin tsin xsin21解： FxedteFee2020

7、d02 dt =cos x2cost。dxx解： d02 dt dx2dt cosx2costcostdxxdx0二选择题1 下列函数中（B）的图像关于坐标原点对称。A ln xBxcos xC x sin x D a x规律：（ 1） 1奇偶函数定义：fxfx , f x是奇函数 ; fxfx，fx 是偶函数 ；2（ 2）常见的偶函数：x2 , x4 ,., x3 ,cos x, x ,常数1,ln 1x ,ln 1x常见的奇函数： x, x3, x5 ,., x3 ,sin x,lnxx211x1x常见的非奇非偶函数： ax , ex, a x ,e x ,lnx ；（ 3）奇偶函数运算性

8、质：奇±奇 =奇；奇±偶 =非；偶±偶 =偶；奇×奇 =偶；奇×偶 =奇；偶×偶 =偶；（ 4）奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称。解： A非奇非偶； B 奇×偶 =奇（原点）； C 奇×奇 =偶（ y 轴）； D 非奇非偶2下列函数中（B）不是奇函数。A exe x ；B sin( x1) ；C sin x cosx ；D lnxx21解： A奇函数（定义） ； B 非奇非偶（定义） ； C奇函数（奇×偶） ； D奇函数（定义）3下列函数中，其图像关于y 轴对称的是（A）。Asin( x2

9、1)B ex cos xCln1xDcos( x1)1x解： A偶函数（y 轴）； B 非奇非偶（定义） ； C奇函数（常见） ；D非奇非偶（定义）4下列极限正确的是（B）。A limex1x3110B lim3x 0 xx3x13C. lim sin x1D lim(11 )xexxx 0x解： A 错。 x0 ， ex1 x limex1limx1；x 0xx 0 xB 正确。分子分母最高次幂前的系数之比；C错。 x， 10 即1是无穷小，sin x1即 sin x 是有界变量， lim sin x0 ；xxxx1 ) x1D 错。第二个重要极限应为lim(1e 或 lim(1x) xe

10、，其类型为 1 。xxx05当 x1时，（ D）为无穷小量。x1B sin1C cos(x 1)D ln( x 2)A11x2xx1011解： A lim0 lim0 ；x1 x21x1 2x2B x1， x10 ，1， lim sin 1不存在；x1x1x1Cx1， cos( x1)cos01；D x1， ln( x2)ln10 。6. 下列等式中，成立的是（B）。A e 2 xdx2de 2 xB e 3 xdx1 de 3 x3C 2 dx d xD1 dx d ln 3xx3x解： A错，正确的应为2e 2xdxde 2xB。 正确，3e 3x dxde 3x即 e 3 xdx1 de

11、 3 x3C错，正确的应为21dxdxD 错，正确的应为1 d 3xd ln 3xx3x7设 f ( x) 在点 xx0 可微，且f(x0 )0，则下列结论成立的是（C）。A xx0 是f (x) 的极小值点Bxx0 是f ( x) 的极大值点；C xx0 是 f( x) 的驻点；Dxx0 是f ( x) 的最大值点；解：驻点定义：设f (x) 在点 xx0 可微，且f( x0 )0，则 xx0 是 f ( x) 的驻点。驻点为可能的极值点。8函数 f (x)ln x ，则 limf ( x)f (3)（ D）。x3x311A 3； B ln 3； C x； D 3解一： limf (x)f

12、(3)f '3f ' xl n x'11x3x 3x3x3x x 33011解二： limf ( x)f (3)limln xln 3 0 lim xx 3x 3x 3x 3x 3 139设 f ( x)sin x ，则 limf (x)（ B）。xx0A0； 1 ； 2BC；D 不存在10曲线 yx33x29x1在区间 (1,3) 内是（ A）。A下降且凹B上升且凹C下降且凸D 上升且凸解：11曲线 yexx 在 (0,) 内是（B）。A 下降且凹；B 上升且凹；C下降且凸；D 上升且凸解：12曲线 y 2x 在点 M (1,2) 处的法线方程为（B）。A. y 2

13、(x 1) ；B. y 2( x 1) ； C y 22( x 1) D. y 11( x 2)2规律：曲线 yf x 在 x= x0yfx01x0处的法线方程为xfx0解： y f x2 x ， f 'x2 x '11， f ' 11xx x 1故法线方程为 B y2( x1) ；13下列结论中正确的是（C）。A函数的驻点一定是极值点B函数的极值点一定是驻点C函数一阶导数为 0 的点一定是驻点D函数的极值点处导数必为0解：驻点定义：设f (x) 在点 xx0 可微，且f ( x0 )0 ，则 xx0 是 f ( x) 的驻点。驻点为可能的极值点。14设函数f ( x)

14、cosx ，则 df (x)（ A）。A sinx dx ；B sinx dx ；Csinx dx ；D sin x dx2x2xxx解： df ( x)d cosxcosx 'dxsinxx'dxsinx dx2x15当函数 f (x) 不恒为0， a, b 为常数时，下列等式不成立的是（B）。A. (f ( x) dx)f ( x)C.f (x)dxf ( x)c解：dbB.f (x)dx f ( x)dx abf ( x) f (b) f (a)a dD.A.成立， (f ( x)dx)f (x) 为不定积分的性质；bB.不成立，af ( x) dx常数，而常数的导数为零

15、；C.成立，f(x)dxf ( x)c 为不定积分的性质；D. 成立，bdf ( x)f (b)f (a) 为牛顿莱布尼兹公式。a16设函数 f (x) 的原函数为 F (x) ，则12f ( 1 )dx（ A）。1xx11AF ( ) C ； B F ( x)C； CF()C ； D f ( ) Cxxxf (x) 的原函数为 F (x)fuduFuC ，1dx1解：函数x2d17下列无穷积分为收敛的是（Bx）。A.sin xdxB.0e2x dxC.01 e x dxD.11 dx02x11,发散0pxp0,收敛规律：axdx(0)收敛edx,p0,发散1,sin xdx 、cos xdx

16、 发散x ne px dx,nNp0,发散aa0p0,收敛解： A.sin xdx ； B. p20，收敛； C.p10，发散； D.11 ，发散0218下列无穷积分为收敛的是（C）。x2 dx1x 2dxxA.B.1dxC.1D.1e2 dx1x解： A.发散； B. 发散； C.收敛； D. 发散；三计算题4x11 2 x4x2x1、求极限 lim2、求极限 limx4x1x4x34x 1 4x 1 2124x4x 3 33解：4x 14x 14x 1解：4x 314x 34x 33原题 e原题 e 23、求极限 limex1x解： x0 ， ln1x x ， ex1 xx0 x ln(

17、x1)xx1 xxx原题 lim e 1xlime= lim e1lim e 1x 0x xx 02x 0 2xx 0 22x4、求极限 limsin 3x解： x0 ， sin3 x 3x ，14x12x4xx0 11原题 lim3x3x02x25、求极限 lim ln(13x2 ) 解： x0 ， ln(13x2 ) 3x2， sin 2x 2xx0x sin 2x原题 lim3x232x0x 2x6、求极限 limesin2 x1tan 4xx0解： x0 ， esin2 x1 sin 2x2x， tan4x 4x原题 lim2x 1x04x27、设函数 yx3 ln(2x) ，求 dy

18、解： y 'x3'ln(2x)x3ln2x'3x2 ln(2x)x312 x '2x8、设函数 yxecos x2x，求 dy 。xecosx3解： y2x29、设函数 ycos(ln 2x)ex21e2，求 dy 。解： ycosln 2xex21e210、设函数11、设函数ye3x，求 dy 。2 xysin 3x，求 dy 。cos x1解： ysin 3xsin 3x1cos x sin 3x 1cos x1 cosx1cosx212、计算不定积分x2 sin x dx2解 : x22x20+x2 sin x dx 2 x 2 cos x8x sin x

19、16cos xC222213、计算不定积分xe 3xdx 解： x10xe3xdx1 xe 3 x1 e 3 xC39四、应用题1、要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为 4 立方米 , 试问如何选取底半径和高的尺寸, 才能使所用材料最省。解：设圆柱体底半径为r ，高为 h ，则体积 Vr 2h4h4r 2材料最省即表面积最小表面积 Sr 22 rh r 22r4r 28r 2rS' 28，令 S ' 0，得唯一驻点 r34r2r所以当底半径为3 4米，此时高为3 4米时表面积最小即材料最省。2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为16 立方米 , 底面

20、单位面积的造价为10 元/ 平方米，侧面单位面积的造价为 20 元/ 平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸, 才能使建造费用最省。解：设圆柱体底半径为r ，高为 h ，r则体积 Vr 2h16h16hr 2且造价函数 f10r 2202rh10r 2640r令 f 20 r6400 ，得唯一驻点r4r 223所以当底半径为 2 3 4米，此时高为 3 4 米时造价最低。3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108 立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸, 才能使建造费用最省。解：要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。设圆柱体底半径为r ，高为 h ，则体

21、积 Vr 2h108h108r 2则圆柱体仓库的表面积为S r22rh r22r108 r2216r2rS' 2r216，令 S' 0，得唯一驻点 r31083 34r 2,所以当底半径为 33 4米，此时高为 33 4米时表面积最小即建造费用最省。4、在半径为 8 的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。解：设长方形的底边长为2x ，高为 y ，则 82x 2y2y64 x 28y面积 S2xy 2x64x 2xx令 S264x 2x2x 20 ，得唯一驻点x4264所以当底边长为82 米，此时高为 42 米时面积最大

22、。5、在半径为8 的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。解：设长方形的底边长为2x ，高为 2 y ，则 82x 2y2y64 x 2面积 S4 xy4 x 64x 2令 S464x 2x 20 ，得唯一驻点 x 4 264x2所以当底边长为82 米，此时高为 82 米时面积最大。第二部分高等数学基础历年试题汇编一、单项选择题（每小题4 分，本题共 20 分）1. 函数 ye xex的图形关于（ A）对称2(A) 坐标原点(B)x 轴(C) y 轴(D) y x2. 在下列指定的变化过程中， （C）是无穷小量(A)1( x)(B)1( x0)x sinsinx

23、x1(C)ln( x 1)( x0)(D)e x ( x)3. 设 f (x) 在 x0可导，则 lim f ( x02h) f ( x0 )（C）h02h(A)f ( x0 )(B)2 f( x0 )(C)f ( x0 )(D)2 f( x0 )4. 若f ( x)dxF (x)c ，则1f (ln x)dx（ B）x(A)F (ln x)(B)F (ln x)c(C)1 Fxc(D)F (1)cx(ln )x5. 下列积分计算正确的是（ D）10x01sind0(B)sin 2 d (D)xedx1x cosxdx 0(A)1(C)16. 函数 y2 x2x的图形关于（ B）对称2(A)

24、坐标原点(B)y 轴 (C)x 轴(D)y x7. 在下列指定的变化过程中， （A）是无穷小量(A)x sin 1( x0)(B)x sin 1( x)xx(C)ln x (x0)(D)ex(x)8. 下列等式中正确的是（ B）(A)d( 1 )ln xdx(B) d(ln x)dx(C)d(3x )3x dx(D) d( x)dxxxx9. 若f ( x)dxF (x)c ，则1x) dx（ C）f (x(A)F ( x )(B)F ( x )c (C)2F (x ) c(D) 2F (x )10. 下列无穷限积分收敛的是（D）(A)1 dx(B)ex dx (C)11dx(D)112 dx1x0xx11. 函数 ye xex的图形关于（ A）对称2(A) 坐标原点(B)x 轴 (C) y 轴(D)yx12. 在下列指定的变化过程中， （ C）是无穷小量(A)x sin 1( x)(B)sin 1( x0)xx1(C)ln( x 1)( x0)(D)e x( x)13.f ( x02h)f ( x0 )设 f ( x) 在 x0 可导，则 lim2h（ C）h0(A)f( x0 )(B)2 f(x0 )(C)f(x0 )(D)2 f(