2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

1、s 2017 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2017 年 3 月 19 日 9 001100 满分 150分一、选择题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 。每道小题均给出了代号为a，b，c，d 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1设2323a，则1aa的整数部分为（）a1b2c3d4【答案】b 【解答】 由2232 2323236a，知6a。于是1166aa，2111()62866aa，214()9aa。因此，1aa的整数部分为 2。（注：42 342 33 131232362222a）2方

2、程22()32xxx的所有实数根之和为（）a1b3 c5 d7 【答案】a 【解答】 方程22()32xxx化为2222 (2)3(2)x xxx。即3251060 xxx，2(1)(46)0 xxx。解得1x。经检验1x是原方程的根。原方程所有实数根之和为1。3如图，a、b、c三点均在二次函数2yx 的图像上，m为线段ac的中点， bmy轴 ，且2mb。设a、c两点的横坐标分别为1t 、2t （21tt ） ，则21tt 的值为（）a3 b 2 3c2 2d 2 2【答案】d 【解答】 依题意线段ac的中点m的坐标为221212()22tttt，。（第 3 题）s 由 bmy 轴 ，且2bm

3、，知b点坐标为221212(2)22tttt，。由点b在抛物线2yx 上，知22212122()22tttt。整理，得22221211 222282tttt tt ，即221()8tt。结合21tt ，得212 2tt。4如图，在rtabc中，90abc，d为线段bc的中点，e在线段ab内，ce与ad交于点f。若aeef，且7ac，3fc，则c osacb的值为（）a37b2 107c314d107【答案】b 【解答】如图， 过b作bkad与ce的延长线交于点k。则由aeef可得，ebkeafafebke。ekeb。又由d为bc中点，得f为kc中点。3abaeebfeekkffc。222273

4、2 10bcacab。2 10cos7bcacbac。或解： 对直线afd及bce应用梅涅劳斯定理得，1bdcfeadcfeab。由d为线段bc的中点，知bddc。又aeef，因此，3abcf。结合7ac，90abc，利用勾股定理得，2 10bc。所以，2 10cos7bcacbac。fdbcae（第 4 题）kfdbcaes 5如图，o为abc的外接圆的圆心，r为外接圆半径， 且4r。直线ao、bo、co分别交abc的边于d、e、f， 则111a db ec f的值为（）a14b13c12d23【答案】c 【解答】 由条件及等比定理，得oaboacoaboacoaboacabdacdabda

5、cdabcssssssoaadsssss，同理，oabobcabcssobbes，obcoacabcssoccfs。()()()2oaboacoabobcobcoacabcssssssoaobocadbecfs。又4oaobocr，111212adbecfr。二、填空题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6记函数223yxx（12x）的最大值为m，最小值为m ，则mm的值为。【答案】8 【解答】 2223(1)2yxxx，12x，1x时，y取最小值，即2m；1x时，y取最大值，即6m。8mm。7已知二次函数2yaxbxc（0a）的图像与 x轴交于不同的两点a、b，c为二次函数图像的顶点

6、，2ab。若abc是边长为 2 的等边三角形，则 a。【答案】3【解答】 依题意20axbxc有两个不同的实根，设为1x ，2x ，则122abxx。12bxxa，12cx xa，222212121224()()4()44bcbacxxxxx xaaa，即2244baca。fedoabc（第 5 题）s 又由222()24bbyaxbxca xcaa， 及0a， 知234bca， 即244 3ba ca。244 3aa ，3a。8 如 图 ， 在abc中 ，ad为bc边 上 的 高 ，m为 线 段bc的 中 点 ， 且b a dd a mm a。若2ab，则abc内切圆的半径为。【答案】3 1

7、【解答】 依题意，易知d为bm中点，12dmmc。又am平分dac，12admdacmc。结合addc，得30acd。60dac，90bac。2 3ac，4bc。abc内切圆半径为22 34312。9若二次函数2(43)3yxaxa （23a）的图像与直线2yx在y轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有a的值的和为。【答案】2912【解答】 依题意，关于 x 的方程2(43)32xaxax，即2(42)320 xaxa恰有 1 个负根或者两个相等的负根。有下列三种情形：（1）方程有两个相等的负根。则212(42)4(32)0(42)0aaxxa，解得1a或34a。均满足23a。因此，1a，34a

8、符合要求。（2）方程两根中一根为零，另一根为负数。则1212320(42)0 x xaxxa，解得23a。满足23a。mdbca（第 8 题）s 因此，23a符合要求。（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。则12320 x xa，解得23a。不满足23a。综合（ 1） 、 （2） 、 （3） ，得符合条件的 a的值为1，34，23。因此，符合条件的所有a的值的和为322914312。10若正整数 n恰有 90 个不同的正因数 （含 1 和本身） ，且在 n的正因数中有 7 个连续整数，则正整数 n的最小值为。【答案】25200【解答】 任意连续 7 个正整数的乘积能被1 23 4567整除

9、，n的正因数中必定有22，3，5，7这四个数。正整数 n具有形式：12342357nl （1，2，3，4为正整数，12） 。由正整数 n恰有 90 个正因数，知1234(1)(1)(1)(1)90k，其中k为正整数。而 90 分解为 4 个大于 1 的正整数的乘积的分解式只有一种：90233 5。1k，1234(1)(1)(1)(1)902 3 3 5。n的最小值为422235725200，此时 n 有连续正因数 1，2，3，4，5，6，7。s 三、解答题（共4 题，每小题 20分，共 80分）11求方程2220172018xyx的正整数解。【解答】 方程化为22201820170 xxy。将

10、 方 程 视 为 x 的 方 程 ， 得22222018420174(10092017)yy为 完 全 平 方数。 5 分2210092017y 为完全平方数。设22210092017yt （ t为非负整数），则22210092017ty 。2(1009)(1009)2017tty 。2017为质数，2017 (1009) t ，或 2017 (1009) t 。 10 分又 t为非负整数，且1009t。1009t，或1008t。 15 分0y（舍去） ，或1y。将1y代入方程，得2201820170 xx，解得1x，或1017x。原方程的正整数解为11xy，或20171xy。 20 分s 1

11、2如图，在等腰三角形abc中，90acb，m是边ac的中点，d是边bc上一点，直线ad、bm交于点e，且mema。求证：（1）becd；（2）acdeaddb。【解答】 （1）如图，连结ce。由条件知，memamc。ceae。 5 分90acb，maedce。bedaemmaedce。又ebdcbe，bdebec。bedebcec。 10 分又由cead，accd，知cdeace。cddeacce。由此可得，bedecdbcecac，即becdbcac。bcac，becd。 15 分（2）由（ 1）cead，accd，知cdeadc，ceaccdad。又由（ 1）bdebec，知deecdbe

12、b。结合（ 1）中becd，可得acceecdeadcdebdb。acdeaddb。 20 分emabcdemabcd（第 12题）s 13若存在正整数n ，p（6p）使得3246nnnnp成立，其中xxx，x 为不超过 x的最大整数。（1）求p的最小值；（2）当p取最小值时，求使3246nnnnp成立，且2017n的正整数 n的个数。【解答】 （1）对任意正整数 n，122n，344n，566n，1nppp。 5分对任意正整数 n，1352524624612nnn。存在正整数 n，p（6p）使得3246nnnnp成立，存在正整数 n，使得251131212np。于是，11112pnpp，12

13、p。又11n时，111111111351132461224612，p的最小值为 12。 10 分（2）12p时，由135113324624612nnnnp知122n，344n，566n，111212n。1211nk（k为非负整数）。当p取 最 小 值12时 ， 当 且 仅 当1211nk（k为 非 负 整 数 ） 时 ，324612nnnn成立。 15 分由12112017nk知，167k。因此，符合条件的正整数n有168个。 20 分s 14将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：（1）对任意正数 a，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段；（2）无论如何染色平面上总存在三

14、个顶点同色的直角三角形；（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017 的直角三角形？【解答】 （1）在平面内任作一个边长为a的等边abc。则abc的三个顶点a、b、c中必有两点同色。所以，存在两端点同色，且长为a的线段。因此，对任意正数 a，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段。 5 分（2）对任意正数 a，如图，设a、d同色，且ada（由（ 1）知，a、d存在） 。以ad为直径作圆o，设abcdef为圆o的内接正六边形。若b、c、e、f中存在一点与a、d同色，不妨设点b与a、d同色，则abd为直角三角形，其中90abd，30adb，且三顶点同色。 10 分若b、c、e、f都与a、d异色，则b、c、e、f四 点 同 色 . 则b