第二节--可分离变量的微分方程(精)培训资料

1、第二节第二节 可分离可分离(fnl)(fnl)变量的微变量的微分方程分方程dxxfdyyg)()( 可分离可分离(fnl)(fnl)变量的微变量的微分方程分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法(ji f) dxxfdyyg)()(设设)(yG和和)(xF分分别别为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,则则 CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.第一页，共15页。例1. 求微分方程(wi fn fn chn)yxxy23dd的通解(tngji).解解: 分离分离(fnl)变量变量得得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCx

2、ylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )第二页，共15页。例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离分离(fnl)变变量得量得xxxyyd1d2两边(lingbin)积分得Cxyln11lnln2即12 xCy由初始条件得 C = 1,112 xy( C 为任意(rny)常数 )故所求特解为 1)0(y第三页，共15页。例3. 子的含量(hnling) M 成正比,0M求在衰变(shuibin)过程中铀含量 M(t)

3、 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据根据(gnj)题题意意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始条件)分离变量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO第四页，共15页。内容内容(nirng)小结小结 可分离变量方程的求解(qi ji)方法:分离分离(fnl)变量后积变量后积分分;根据定解条件定常数根据定解条件定常数 .第五页，共15页。思考(sko)与练习 求下列(xili)方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提

4、示(tsh):xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量(2) 方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln第六页，共15页。补充(bchng)题: 1.度成正比,解解: 根据牛顿根据牛顿(ni dn)第二定律第二定律列方程列方程tvmdd00tv初始条件为分离(fnl)变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)e1 (tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速求降落伞下落速度

5、与时间的函数关系. kgmv t 足够大时第七页，共15页。2. 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器(rngq), 水从它的底水从它的底部小孔流出部小孔流出, 小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图). 开始开始时容器时容器(rngq)内盛满了水内盛满了水, 求水从小孔流出过程中求水从小孔流出过程中容器容器(rngq)里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距水面与孔口中心间的距离离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.说明说明(shumng):由力学知识得由力学知识得,水从孔口水从孔口(kn ku)流出的流量为流出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系

6、数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度第八页，共15页。cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间设在微小的时间(shjin)间隔间隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(bjio)(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2解解第九页，共15页。,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC)

7、.310107(265. 45335hhgt 所求规律所求规律(gul)为为第十页，共15页。解解3.3. 某车间容积为某车间容积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每分钟用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风立方米的鼓风机通入含机通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样同时以同样的风量将混合均匀的空气排出的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风

8、机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%,(txt,dttt 则在则在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量%,03. 02000 dt)%,(2000txdt 第十一页，共15页。2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056.

9、02CO第十二页，共15页。一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练练 习习 题题第十三页，共15页。三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时

10、间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .第十四页，共15页。练习题答案练习题答案(d n)一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)