2018年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4

1、1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定.(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点，易混点)自主预习探新知1 .全称量词与全称命题(1) 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“？”表示.-(2) 含有全称量词的命题叫做全称命题, 通常将含有变量x的语句用p(x),q(x) ,r(x)， 表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x,有p(x

2、)成立”可用 符号简记为?xM,P(x).2. 存在量词与特称命题(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“L”表示.(2) 含有存在量词的命题,叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素xo,使p(xo)成立”，1可用符号简记为“ ?XoM P(Xo) ”.思考：(1) “一元二次方程/ax2+ 2x+ 1 = 0 有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式.(2) “不等式(1)x2- ( m- 1)x+ 3(m- 1)0 对任意实数x恒成立”是特称命题还是全 称命题？请改写成相应命题的形式.2提示(1)是特称命题，可改写为“存在xo R,使axo

3、+ 2xo+ 1 = 0”(2)是全称命题，可改写成：“？x R, (m 1)x- (m 1)x+ 3(m1)0 的否定是？x?R,x- 3x+ 31解(1)是全称命题，因为？x N,2x+ 1 都是奇数，所以该命题是真命题.1(2)是特称命题.因为不存在Xo R,使-=0 成立，所以该命题是假命题.Xo 1(3) 是全称命题.因为 25 能被 5 整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题.(4) 是特称命题，因为？a R, sina 1,1，所以该命题是假命题.规律方法1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1) 分析命题中是否含有量词；(2) 分析量词是全称量词还是存在量词；3. 下列四

4、个命题中的真命题为()【导学号：97792031】A. ?xo Z, 14xo02D 当x R 时，x+x+ 2 =x+1+40,故选D.r指出下列命题并判断它们的真假.答案C合作探究攻重难4(3) 若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断.2.全称命题与特称命题真假的判断方法5(1) 要判定全称命题“？xM P(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x) 都成立；如果在集合M中找到一个元素X0,使得p(Xo)不成立，那么这个全称命题就是假命 题.(2) 要判定特称命题“？xM P(xo) ”是真命题，只需在集合M中找到一个元素xo,使p(xo)成立即可；如果在集合M中，使p(x

5、)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假 命题.跟踪训练1. (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角B. 至少有一个实数X,使x22xB A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x= 0 时，x2= 0，所以 B 既是特称命题又是真命题；C 中因为 3 + ( - _ 3) = 0,所以 C 是假命题；D 中对于任一个负数1x,都有x2B.?x(3,+s),x22x+12C.?xR, x+x=-1B (1)对于选项 A,对于选项 B,x2-2x- 1 = (x- 1)2-2,当x3 时，(x 1)2-20,.此命题成立；2对于选项C,

6、 x2+x+ 1 =x+1+ 40,二x2+x=- 1 对任意实数x都不成立，.此命题不成立;D.sinx+ cosx= 2sinx+42,此命题不成立;对于选项x0,命题显然不成立.故选B.xsin当xtanx0;2p：所有的正方形都是菱形；3p：至少有一个实数Xo,使X0+ 1 = 0.厂V j思路探究 先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定.(1)解析原命题的否定为？x R,x2=x,故选答案D21解 綈p： ?Xo R,xo-Xo+ 40,假命题.2因为？xR, x2-x+1=ix 10恒成立.4,2丿(2rp:至少存在一个正方形不是菱形，假命题.33p： ?X R

7、,X+ 1 工 0,假命题.3Xv1因为x= 1 时，x+ 1 =0乂规律方法对全称命题和特称命题进行 否定的步骤与方法f、冬、k(1) 确定类型：是特称命题还是全称命题.(2) 改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中“是” “有” “存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不 存在”“不成立”等.提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定.跟踪训练2. (1)命题“？x (0,+) , InX0=X0 1” 的否定是()A. ?x (0,+) , Inx丰x 1B. ?x?(0 ,+) , Inx=x 1C. ?X0(0,+),InX0MX

8、01D.7D.?X0?(0 ,+) , InX0=X0 1A 特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是？x (0，+m) , InXMx 1.(2)写出下列命题的否定，并判断其真假.1p：不论m取何实数，方程x2+xm=0 必有实数根；22q:存在一个实数xo，使得Xo+Xo+K0;3r:等圆的面积相等，周长相等；4S：对任意角a，都有 sina+ COSa= 1.解这一命题可以表述为p：对所有的实数m方程x2+xn= 0 有实数根”，其否定形式是p：存在实数m使得x2+xn= 0 没有实数根”.1注意到当= 1 + 4nK0 时，即m0”，利用配方法可 以证得q是真命题.3这一命题的否定形

9、式是r:“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r是假命题.4这一命题的否定形式是 -S : “存在a R, si n2a+ COS2a M1”，由于命题 S 是真命 题，所以是假命题偻朋_由全称(特称)命题的真假确定参数的范围探究问题1.若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？提示：先求rp,再求参数的取值范围.2 .全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应.例 (1)若命题p ?x R,2x2 3ax+ 90为真命题.则 = 9a2 72W0,解得一 2 2 1，即实数m的最小值为 1.

10、规律方法应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求 解；也可以根据函数等数学知识来解决.（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在”“是否存在”等语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发， 结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决； 若导致矛盾，则否定当t= j 时，f(t)min14,则函数f（t）的值域是|4，+，-i所以实数a的取值范围是| 4，+母题探究：

11、1.（变条件）若将本例题（2）条件“？xR,改为“？x 0,1 ”，其他不变，试求实数a的取值范围.x解设 3 =t，x 0,1，t 1,3 .a=t2t，/t2t=t2) !， a=t2t在t 1,3上单调递增. t2t 即a的取值范围是0, 6.2.（变条件）将本例题换为“？x |0,4 ， tanxwm是真命题”，试求m的最小值.解由已知可得 mtanxx 0，于，显然.设f(x) = tanxfx |0，宁10了假设11当堂达标固双基1.下列命题中是全称命题，且为假命题的是()A.存在xo R, sinxo+ cosxo= 2B.偶函数图象关于 y 轴对称C.?m R,x2+mx1 =

12、 0 无解D.?xN, x3x2D A , C 中命题是特称命题，故排除.B 为省略量词的全称命题，且为真命题.D 为全称命题.当x= 0 或 1 时，x3=x2,故 D 中命题是假命题.2. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是()A. 所有不能被 2 整除的数都是偶数B. 所有能被 2 整除的数都不是偶数C. 存在一个不能被 2 整除的数是偶数D. 存在一个能被 2 整除的数不是偶数D 全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定.3._命题p: ?xo R,x0+ 2xo+ 5v0 是( 填“全称命题”或“特称命题”)，它是_命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p： _.【导学号：97792034】 特称命题 假？x R,x2+ 2x+ 50命题 p:?x R,x0+ 2x0+ 5v0 是特称命题.因 为x2+ 2x+ 5= (x+ 1)2+ 40 恒成立，所以命题p为假命题.命题p的否定为：？x R,x+ 2x+ 50.14 .命题“？X R,L0”的否定是2x + 4-5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；(1) 对某些实数x，有 2x+ 10;？x 3,5,7,3x+ 1 是偶函数；2X。R,12x0+ 40”的否定是X0R,-0 或2x0+ 42X0+ 40” 即？X0R,12X0+ 4 0