D44有理函数积分63876学习教案

1、会计学1D44有理函数积分有理函数积分63876有理函数有理函数: :时时, ,为假分式为假分式; ;时时, ,) )( (xR为真分式为真分式有理函数有理函数相相除除多项式多项式 + + 真分式真分式分解分解其中部分分式的形式为其中部分分式的形式为若干部分分式之和若干部分分式之和第1页/共23页解解: :(1) (1) 用拼凑法用拼凑法211) )( ( x211) )( ( x) )( (1 xx第2页/共23页故故第3页/共23页变分子为变分子为 再分项积分再分项积分 第4页/共23页解解: : 已知已知第5页/共23页解解: : 原式原式思考思考: :如何求如何求提示提示: :变形方法

2、同例变形方法同例3, 3, 并利用并利用 P209 P209 例例9 9 . . 第6页/共23页解解: :说明说明: : 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, ,但不一定简便但不一定简便, , 因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法. . 第7页/共23页解解: : 原式原式第8页/共23页解解: :原式原式( (见见P348P348公式公式21)21)注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁第9页/共23页 14xxd d第一步令第一步令比较系数定比较系数定 a ,b ,c ,d . 得得第

3、二步第二步 化为部分分式化为部分分式 . . 即令即令比较系数定比较系数定 A ,B ,C ,D .第三步第三步 分项积分分项积分. .此解法较繁此解法较繁 ! !第10页/共23页设设表示三角函数有理式表示三角函数有理式 , ,令令万能代换万能代换t 的有理函数的积分的有理函数的积分1. 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则则第11页/共23页解解: :令令则则第12页/共23页第13页/共23页解解: : C 说明说明: :通常求含通常求含的积分时的积分时, ,往往更方便往往更方便 . .的有理式的有理式用代换用代换第14页/共23页解法解法 1 1 令令原式原式第15页/共2

4、3页解解: : 因被积函数关于因被积函数关于 cos x 为奇数次函数为奇数次函数, , 可令可令原式原式第16页/共23页令令令令被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式, ,可通过根式代换可通过根式代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分. . 例如例如: :令令第17页/共23页解解: :令令则则原式原式C 第18页/共23页解解: :为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式, ,取根指数取根指数 2,3 2,3 的的最小公倍数最小公倍数 6 ,6 ,则有则有原式原式 C 令令第19页/共23页解解: :令令则则原式原式C 第20页/共23页1. 1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, ,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 , , 简便计算简便计算 . .简便简便 , , 第21页/共2