D25函数的微分74657学习教案

1、会计学1D25函数的微分函数的微分74657引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为xx 0 xx 0关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故称为函数在 的微分0 x当 x 在取得增量x时,0 x变到边长由其第1页/共27页的微分微分,在点 的增量可表示为0 x( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为xA记作即定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x即在点0 x可微可微,第2页/共27页证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则故)( xoxA)(xfy 在

2、点 可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且即xxfy)(d0第3页/共27页)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(xfy 即在点 可导,0 x则第4页/共27页时 ,所以时yd很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当第5页/共27页xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyyd当 很小时,x则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记第6页/共27页02. 0d2xxyd基本初等函数的微分公式 (

3、见 P116表)又如又如,第7页/共27页设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数第8页/共27页求 解解:第9页/共27页求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.C注意 数学中的反问题往往出现多值性.注意:第10页/共27页数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 第11页/共27页当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:第12页/共27页很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)x(x证明证明:令得

4、第13页/共27页的近似值 .解解: 设取则第14页/共27页的近似值 .解解:5245第15页/共27页为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量01. 01RR因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 第16页/共27页某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限第17页/共27页已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某

5、量得 x ,第18页/共27页测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积 ,解解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差 . 计算(mm2)第19页/共27页1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可微可导2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差第20页/共27页1. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点0 x处的及并说明其正负 .ydxx00 xxyO00yyd第21页/共27页第22页/共27页由方程确定,解解:方程两边求微分,得当时由上式得求6. 设 ,0a且,nab 则第23页/共27页P123 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1)