D映射与函数学习教案

1、会计学1D映射与函数映射与函数 第一章 二、映射 三、函数 一、集合机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数第1页/共32页元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作1. 定义及表示法定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集 ,记作 . ( 或Ma) .注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共32页(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例:有限集合自然数集(2) 描述法： x 所具有的特征例: 整数集合或

2、有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共32页)(aa无限区间点的 邻域a其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .去心 邻域左 邻域 :右 邻域 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共32页是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,定义2 .则称 A若且则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 : , ,若设有集合记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共32页AcABB并集交集Ax且差集Ax且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集ABABBABA机动 目录 上页 下页 返

3、回 结束 Bx或第6页/共32页1. 映射的概念 某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1. 第7页/共32页引例3.oxy1QP(点集)(点集)向 y 轴投影oxy1x2xxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共32页设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f ,使得有唯一确定的与之对应 ,则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域 ;Y 的子集称为

4、 f 的 值域 .注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共32页对映射若, 则称 f 为满射; XYf若有 则称 f 为单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射. XY)(Xff引例2, 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2引例2第10页/共32页海伦公式例2. 如图所示,Sxyox对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3. 如图所示,xyo),(yx则有(满射) (满射)机动 目录 上页 下页 返回

5、结束 第11页/共32页X (数集 或点集 ) 在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 第12页/共32页(1) 逆映射的定义 定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上 ,的逆映射记成例如, 映射其逆映射为)(DfDf其中称此映射1f为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共32页机动 目录 上页 下页 返回 结束 f手电筒D引例. 复合映射 第14页/共32页f则当由上述映射链可定义

6、由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映射 ,时,或)(1DfY )(ufy 1DDx)(xgu f)(Dg机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1)(DDg不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.第15页/共32页定义域1. 函数的概念 定义4. 设数集则称映射为定义在D 上的函数 ,记为 f ( D ) 称为值域 函数图形:xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量第16页/共32页DxfDxxfyyDfy),()(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定

7、义域值域xyo又如, 绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共32页求 及解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共32页设函数且有区间(1) 有界性使称 ,0M使,)(Mxf称 )(xf说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )(2) 单调性为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界.称 为有上界称 为有下界当时,称 )(xf为 I 上的称 )(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .xy1x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页

8、/共32页xyoxx且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当必有例如, 偶函数xy双曲余弦 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共32页xyo奇函数双曲正弦 记再如,奇函数oyx双曲正切 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共32页且则称为周期函数 ,to)(tf22xo2y2若称 l 为周期( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共32页(1) 反函数的概念

9、及性质若函数)(:DfDf为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质: 第23页/共32页2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线xy 对称 .),(abQ),(baPxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数第24页/共32页则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构

10、成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合第25页/共32页机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如, 可定义复合函数:第26页/共32页(1) 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学, P17 P21 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共32页符号函数当 x 0当 x = 0当 x 0 xyo11取整函数当xyo134212机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页1. 集合及映射的概念定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构 作业 P21 6 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ; 18; 19; 20 2. 函数的定义及函数的二要素第二节 目录