从施工承包商的角度看微表处工程管理-博坎郭蕊ppt课件

1、设设 是数域是数域P上线性空间上线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V的的 的子空间，假设的子空间，假设 有有,W ( )()WWW 即即那么称那么称W是的不变子空间，简称为是的不变子空间，简称为 子空间子空间. V的平凡子空间的平凡子空间V及零子空间对于及零子空间对于V的恣意一的恣意一个变换个变换 来说，都是来说，都是 子空间子空间. 1、定义、定义注：注：1两个子空间的交与和仍是子空间两个子空间的交与和仍是子空间. 2设设 那么那么W是是 子空间子空间12(,),sWL 12(), (), ().sW 证：证： 显然成立显然成立.任取任取 设设 ,W 1122,sskkk那么那么 11

2、22( )()()().sskkk 故故W为为 的不变子空间的不变子空间. 2、不变子空间的简单性质、不变子空间的简单性质由于由于 12(), (), (),sW ( ).W 1线性变换线性变换 的值域的值域 与核与核 都是都是 的的 ( )V 10 不变子空间不变子空间.证：证： ( )( ),VVV ,( )( ).VV 有有 故故 为为 的不变子空间的不变子空间.( )V 又任取又任取 有有 10 , 1( )0(0). 3、一些重要不变子空间、一些重要不变子空间1(0) 也为也为 的不变子空间的不变子空间. 2假设假设 那么那么 与与 都是都是 子空间子空间. , ( )V 1(0)

3、证：证： ( )( ).VV 对存在对存在 使使( ),VV ( ), 于是有，于是有， ( )( )( )( )( )( )V ( )V 为为 的不变子空间的不变子空间. 10,0 ,V 其次，由其次，由 对对 有有 10 , 0. 于是于是 ( )( )( )( )(0)0. 1( )0 . 故故 为的不变子空间为的不变子空间. 10 的多项式的多项式 的值域与核都是的值域与核都是 的不变子空间的不变子空间. ( )f 这里为这里为 中任一多项式中任一多项式.( )f x P x( )( )ff 注：注： ,WkW 4线性变换线性变换 的特征子空间的特征子空间 是是 的不变子空间的不变子空

4、间. 0V ,.oooVV 有有 5由由 的特征向量生成的子空间是的特征向量生成的子空间是 的不变子空间的不变子空间. 证：设证：设 是的分别属于特征值是的分别属于特征值 12,s 12,s 的特征向量的特征向量. 3任何子空间都是数乘变换的不变子空间任何子空间都是数乘变换的不变子空间. 任取任取12(,),sL 设设1122,sskkk 那么那么 11122212( )(,)sssskkkL 12(,)sL 为为 的不变子空间的不变子空间. 现实上，假设现实上，假设 ,0 .WLkkP 那么那么 为为 的一组基的一组基. L 由于由于W为为 子空间，子空间， ( ),W 即必存在即必存在 使

5、使,P . 是是 的特征向量的特征向量. 特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一 个一维个一维 子空间子空间. 反过来，一个一维反过来，一个一维 子空间子空间 必可看成是的一个特征向量生成的子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间. 定义：定义：不变子空间不变子空间W上的限制上的限制 . 记作记作 .W 在不变子空间在不变子空间W上引起的线性变换，或称作在上引起的线性变换，或称作在 设是线性空间设是线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V的一个的的一个的 不变子空间不变子空间. 把把 看作看作W上的一个线性变换，称作上的一个线性变换，称作 当当 时

6、，时， W ( )( ).W 任一线性变换在它核上引起的线性变换是零任一线性变换在它核上引起的线性变换是零 变换，即变换，即 100 ; 即有即有 0.VoE 当当 时，时， 无意义无意义. W ( )W .WWW 在特征子空间在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换，上引起的线性变换是数乘变换，0V 1、设是维线性空间、设是维线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V 的的 n子空间，子空间， 为为W的一组基，把它扩展为的一组基，把它扩展为12,k V的一组基：的一组基：121,.kkn 假设假设 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为 ，那么，那么 W 12,k 1k kAP 在基在基 下的矩阵具

7、有以下外形下的矩阵具有以下外形: 12,n 123.0AAA反之，假设反之，假设 1212123,0nnAAA 1.k kAP 那么由那么由 生成的子空间必为生成的子空间必为 的的12,k 不变子空间不变子空间. 现实上，由于现实上，由于W是是V的不变子空间的不变子空间. 12(), (), ().kW 即，即， 均可被均可被12(), (), ()k 12,k 线性表出线性表出.从而，从而， 12(,)n 111211,11111122,1212,1121,1,1(,)000000kknkknkkkkk kknnkkknn knnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 12123(,).0n

8、AAA 111 12121212122221122()()()kkkkkkkkkkaaaaaaaaa 设设在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为 iW ,1,2, .iinniiAAPis 假设假设 ，那么，那么 12sVWWW121112121,snnssn 为为V的一组基，且在这组基下的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵的矩阵为准对角阵 2、设、设 是是 维线性空间维线性空间V的线性变换，的线性变换， 都是都是 n iW 的不变子空间，而的不变子空间，而 是是 的一组基，且的一组基，且 iW12,iiiin 12.sAAA1 的子空间的子空间 为为 的不变子空间，且的不变子空间，且V具有

9、直和分解：具有直和分解： iW12.sVWWW 由此即得：由此即得：下的矩阵为准对角矩阵下的矩阵为准对角矩阵(1), 那么由生成那么由生成 12,iiiin V的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形 V可分解为一些的不变子空间的直和可分解为一些的不变子空间的直和. 反之，假设反之，假设 在基在基121112121,snnssn 定理定理12：设：设 为线性空间为线性空间V的线性变换，的线性变换， 是是 ( )f 1212( )() ()()srrrsf 12.sVVVV 是是 的特征多项式的特征多项式. 假设假设 具有分解式：具有分解式： ( )f 再设再设

10、() ( )0,iriiVEV 那么都是的不变那么都是的不变 子空间；且子空间；且V具有直和分解：具有直和分解：iV证：令证：令( )( )()iiriff ( ) ,iiWfV 那么那么 是是 的值域，的值域，iW( )if 是是 的不变子空间的不变子空间. iW 又又 ()()( )iirriiiiEWEfV ()( )iriiEfVfV ()0.iriiEW 2111111()()()() ,iisrrrriis 下证分三步：下证分三步： 12.sVVVV 1 . 证明证明 12.sVWWW 12( ),( ),( )1sfff 存在多项式存在多项式 使使12( ),( ),( ),su

11、uu 1122( ) ( )( )( )( )( )1ssufufuf 于是于是 1122( )( )( )( )( )( )ssufufufE 对对 有有 ,V 2 . 证明是直和证明是直和. 12sVVV 3 . 证明证明 ,1,2, .iiVWis 1122( )( )( )( )( )( ) ( )ssufufuf 1122( )( )( )( )( )( )fufu ( )( )( )ssfu 这里这里 ( )( )( )( ),1,2, .iiiifufVWis 12.sVWWW 1122( )( )( )( )( )( )( )( )( )ssufufuf ( )E 其中其中ii

12、V 也即，也即，() ()0iriiE 0,1,2, .iis 那么那么 ()( ),jrjifij 存在存在 使使 ( ),h ( )( )() .jrijfh于是于是 ( )( )() .jrijfhE 120s (3) 即证，假设即证，假设2 . 证明是直和证明是直和.12sVVV 用用 作用作用3的两端，得的两端，得 ( )if 12( )()isf( )()( )() ()jrijjjfhE () ()00,.jrjjhEhji 又又 ( ),()1.iriif12( )()( )()( )()iiisfff ( )()0iif ( )(0)( )(0)0,1,2, .uvis (

13、)( )()( ) () ()iriiiiufvE ()( )( )( )()()iriiiiiEufvE 从而从而 ( )( )( )()iriiufvEE所以是直和所以是直和.12sVVV ( )( )( )()1iriiufv 有多项式有多项式 ，使，使( ), ( )uv3 . 证明证明: : () ( )0,iriiiWVEV 1()(0)iriiWE 首先由首先由(2)，有，有12,.siiW即即 12()0is 其次，任取设其次，任取设,iV .iiWV 即即 令令 , ();.jjiiji ()0.iriiEW1212ssVVV 0,1,2, .iis 由由2, 有有 () ()0,1,2, .iriiEis 从而有从而有() ()0,1,2, .iriiEis () ()() ( )0iirriiiEE () ()() ()iirriiiiEE 又又 又又120,s由由 ， 是直和，它的零向量分解式是直和，它的零向量分解式2 12sVVV 即即,iiV 独一独一. 综合综合 ，即有，即有1 ,2 ,312.sVVVV于是于是 .iiW 故故 () ( )0,.iriiiWVEV 即有即有 .iiVW 是是 的不变子空间，且的不变子空间，且 iV 设设3维线性空间维线性空间V的线性变换在基的线性变换在基 123, 下的矩阵为下的矩阵为 1 2