(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题6.1_数列的概念与简单表示法(讲)(有解析)

1、专题 6.1 数列的概念与简单表示法【考纲解读】内容要求备注a b c 数列数列的概念对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 a、b、c表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题. 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题 .等差数列等比数列【直击考点】题组一常识题1 数列 1，58，715，924，的一个通项公式是_2 在数列 an 中，a11，an11an1(n2)，则a5 _【解析】由题意可知，a11，a211a12，a311a2

2、32，a411a353，a511a485. 3 已知数列 an的通项公式为an2n3，则数列 an 是_数列 ( 填“递增”或“递减” ) 【解析】由数列an的通项公式，得an1an 2(n1) 3 (2n3) 20，所以 an 是递增数列题组二常错题4已知数列 an 的通项公式为ann1n1，则该数列的第5 项是 _【解析】由数列an的通项公式为ann1n1，得a551514623，即数列 an 的第 5 项是23. 5已知数列2，5，22，11，则25是该数列的第 _项【解析】a12，a25，a38，a411，a514，a617，a72025，即 25是该数列的第 7 项6已知数列 an

3、的前n项和sn3n22n1，则其通项公式为_【解析】当n1 时，a1s131221 12；当n2 时，ansnsn13n22n13(n1)22(n1) 1 6n 5. 显然当n1 时，不满足上式，故数列an的通项公式为an2，n1，6n5，n2.7设函数f(x) （3a）x3，x 7，ax6，x7，数列 an满足anf(n)，nn*，且数列 an 是递增数列，该实数a的取值范围是 _【解析】数列an是递增数列，且anf(n) ，nn*，3a0，a1，f（8）f（7）? 2a3. 题组三常考题8 若数列 an 的前n项和sn23an13，则 an的通项公式是an_9 数列 an 满足an111a

4、n，a82，则a1_【解析】由题易知a811a72，得a712；a711a612，得a6 1；a611a5 1，得a52，于是可知数列 an 具有周期性，且周期为3，所以a1a712. 10 设数列 an 满足a10，且anan 1n(n2)，则数列 an的通项公式为_. 【解析】由题意有a2a12，a3a2 3，anan1n(n2)，以上各式相加，得ana123n（n 1）（n2）2n2n22(n2)因为a10 满足上式，所以ann2n 22. 【知识清单】考点 1数列的基本概念, 由数列的前几项求数列的通项公式1数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列. 数列中的每一项叫做数列的项.数

5、列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项. 一般记为数列na. 对数列概念的理解(1) 数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2) 数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别2数列的分类3数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集n和正整数集n的有限子集 . 所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4. 数列的通项公式：如果数列na的第n项与序号n之间的关系可以用一

6、个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即nafn, 不是每一个数列都有通项公式, 也不是每一个数列都有一个个通项公式. 考点 2由前n项和公式推导通项公式，即na与ns的关系求通项na1. 数列的前n项和：12nnsaaa2数列na的前n项和ns和通项na的关系：11(1)(2)nnnsnassn考点 3由递推公式推导通项公式如果已知数列an 的首项 ( 或前几项 ) ， 且任一项na与它的前一项1na(2)n ( 或前几项 ) 间的关系可用一个公式1()nnaf a来表示，那么这个公式叫数列的递推公式考点 4 数列的性质的应用数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其

7、子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8 个 c能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查. 【重点难点突破】考点 1数列的基本概念, 由数列的前几项求数列的通项公式分类原则类型满足条件按项数分类有穷数

8、列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列1nnaa其中 nn递减数列1nnaa常数列1nnaa按其他标准分类有界数列存在正数m，使nam摆动数列na的符号正负相间， 如 1， 1,1 ，1，【题组全面展示】【1-1 】数列 2,5,11,20，x,47，中的x等于 _【答案】 32 【1-2 】已知函数( )f x满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,ffff，则(12)f的值为 _【答案】91【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等于前一个式子的值与自变量的值加1 的和，(2)(1)3,(3)(2)4,(4)(3)5,(1

9、2)(11)13ffffffff，13 14121(2)(1)(3)(2)(12)(11)33413123413912ffffffff【1-3 】已知数列的前几项为112,12 3,134,145, ，则数列的一个通项公式为 . 【答案】111nnan n. 【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式111nnan n. 【1-4 】已知数列的前几项为9,99,999,9 999，则数列的一个通项公式为 . 【答案】101nna【解析】这个数列的前4 项可以写成101,100 1,1000 1， 100001， 所以它的一个

10、通项公式101nna. 【1-5 】按数列的排列规律猜想数列23，45，67，89，的第10 项是 _【答案】2021综合点评：根据数列的前几项求数列的通项公式, 做这一类题需仔细观察分析, 抓住以下几方面的特征:分式中分子 , 分母的特征 ; 相邻项的变化特征; 拆项后的特征 ; 各项符号特征. 并以此进行归纳, 联想 . 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法, 它蕴含著 “从特殊到一般”的思想， 由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用1n或11n来调整【方法规律技巧】1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n

11、之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法， 转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化， 可用1n或11n来调整2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. 3. 对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 【新题变式探

12、究】【变式一】将石子摆成如图的梯形形状称数列5,9,14,20,为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即20145a_【答案】1010 2013【变式二】已知数列an中，*,nan对于任意*1,nnnnaa若对于任意正整数k，在数列中恰有k个k出现，则2014a【答案】63【解析】 由题意数列 na就是如图数阵. 确定2014a的值， 就是确定数列na第2014个数在数阵中第几行. 因为(1) 63(631)62(621)12,2016,1953,222n nn所以2014a在数阵中第63行，所以201463.a12,23,3,34,4,4,45,5,5,5,5【综合点评】

13、 试题一是一个根据定义求数列的通项公式，做这一类题要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、 规律， 从而得数列的通项公式. 试题二是一个根据数列的规律找通项公式，可根据数列的变化规律，找出2014a在数阵中的位置，从而可求出2014a的值 . 考点 2由前n项和公式推导通项公式，即na与ns的关系求通项na【题组全面展示】【2-1 】已知数列 an 的前n项和为sn，且sn2an1(nn*)，则a5_【答案】 16 【解析】当n1 时，s1a12a11，a11，又sn12an11(n2)，snsn 1an2(anan1) anan12. an12n1，a52416. 【2-2 】数列n

14、a的前n项和rrasnn(1为不等于0,1的常数 ) ，则na_. 【答案】11()11nnrarr【解析】由nnras1可得当2n时111nnras，)(11nnnnaarss，1nnnarara，1(1),nnarra1,r11rraann，0r，na是公比为1rr的等比数列又当1n时，111ras，ra111，11()11nnrarr【2-3 】已知数列na的前n项和为sn3n1，则它的通项公式为an _. 【答案】 23n1【解析】当n2时，ansnsn1 3n1(3n11) 23n1；当n1 时，a1s12 也满足an23n1. 故数列 an的通项公式为an23n1. 【2-4 】已

15、知数列na的前n项和2*21()nsnnnn，则na_. 【答案】na4,121,2nnn【解析】1n时，114as，2n时，221(21)(1)2(1)121nnnassnnnnn，将1n代入得134a，所以na4,121,2nnn. 【2-5 】数列na满足*12211131,333nnaaannn,则na . 【答案】综合点评： 这些题都是由na与前n项和ns的关系来求数列na的通项公式， 可由数列na的通项na与前n项和ns的关系是11(1)(2)nnnsnassn， 注意：当1n时，1a若适合1nnss， 则1n的情况可并入2n时的通项na；当1n时，1a若不适合1nnss，则用分段

16、函数的形式表示【方法规律技巧】已知数列na的前n项和ns，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1) 先利用11as求出1a；(2) 用1n替换ns中的n得到一个新的关系，利用na1nnss(2)n便可求出当2n时na的表达式；(3) 对1n时的结果进行检验，看是否符合2n时na的表达式， 如果符合， 则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n与2n两段来写【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 【新题变式探究】【变式一】数列an满足：a13a25a3 (2n1)an(n1)3n 13(nn*) ，则数列 an的通项公式na_.

17、 【答案】 3n【解析】a13a25a3 (2n3)an1(2n1)an(n1)3n13，把n换成n1 得，a13a25a3 (2n3)an1(n2)3n3，两式相减得an3n. 【变式二】已知a12a222a3 2n1an9 6n，则数列 an的通项公式na_【答案】231322nnnan【综合点评】这两个题都是na与ns的关系求通项na型，利用转化，解决递推公式为ns与na的关系式：数列an的前n项和ns与通项na的关系11(1)(2)nnnsnassn，通过纽带：na1nnss(2)n，根据题目求解特点，消掉一个na或ns然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解如需消掉ns，可以利用已知

18、递推式，把n换成 (1n) 得到新递推式， 两式相减即可 若要消掉na， 只需把ansnsn 1代入递推式即可 不论哪种形式，需要注意公式na1nnss成立的条件2n. 考点 3由递推公式推导通项公式【题组全面展示】【3-1 】已知数列na满足111,2 (2)nnaaan n，则4a_【答案】 192 【解析】12nnaan，12nnana，214aa，326aa，438aa，又因为11a，所以，41 46 8192a【3-2 】已知数列na满足112356nnnaaa，则数列na的通项公式na . 【答案】125nnna【3-3 】已知数列na满足1a=1，1na=21na (nn) ，则

19、数列na的通项公式na . 【答案】na=21n. 【解析】构造新数列nap，其中 p 为常数，使之成为公比是na的系数 2 的等比数列即1nap=2()nap整理得：1na=2nap使之满足1na=21nap=1 即1na是首项为11a=2，q=2 的等比数列1na=12 2nna=21n. 【3-4 】在数列na中，1a=1，11nnaan (n=2 、3、4 ) ，则数列na的通项公式na . 【答案】222nnna (nn). 【解析】111na时，21324312123.1nnnaaaaaaaan时,这 n-1 个等式累加得：112.naa（n-1）=(1)2n n故21(1)222

20、nn nnnaa且11a也满足该式222nnna (nn). 【3-5 】已知数列na满足, 1,13111aaaannn则数列na的通项公式na . 【答案】132nan综合点评：这些题都是由递推公式推导通项公式，由1a和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”、 “构造等比数列”、 “迭代”等方法【方法规律技巧】1. 数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解2. 由递推公式推导通项公式（1）对于11( )nnaaaaf n型，求na，

21、迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得1( )(2)nnaaf nn，给递推式1( )(2)nnaaf nn中的n从 2 开始赋值，一直到n，一共得到1n个式子，再把这1n个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用111221()()()nnnnnaaaaaaaa的方法 . （2）对于11( )nnaaaf n a型，求na，迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得1( )(2)nnag n na，给递推式1( )(2)nnag nna中的n从 2 开始赋值，一直到n，一共得到1n个式子，再把这1n个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的

22、通项. 也可用迭代，即用321121nnnaaaaaaaa的方法 . （3）对于11nnaaapaq(1,0)qb型，求na，一般可以利用待定系数法构造等比数列na，其公比为.p注意数列na的首项为1a，不是1.a对新数列的首项要弄准确. (4) 形如11nnnaakab的递推数列可以用倒数法求通项【新题变式探究】【变式一】已知数列na满足11a,11nnnana(*2,nnn), 则2161nan取得最小值的n的值为_. 【答案】 7 【变式二】已知0,1)(xxxxf，若nnxffxfxfxfnn),()(),()(11，则)(2014xf的表达式为_. 【答案】12014xx【解析】1

23、11( )1111xxfxxxx，0 x，11x，111x，1101x， 即( )0f x，当且仅当0 x时取等号，当0 x时，(0)0nf，当0 x时( )0f x，1( )( )nnfxffx1( )( )1( )nnnfxfxfx，11( )111( )( )( )nnnnfxfxfxfx，即1111( )( )nnfxfx数列1( )nfx是以1( )fx为首项，以1 为公差的等差数列11111(1) 1(1) 1( )( )1nnxnnxfxf xxx，( )(0)1nxfxxnx，当0 x时，0(0)010nf，( )(0)1nxfxxnx，2014( )12014xfxx. 【综

24、合点评】这两个题都是由由递推关系式求数列的通项公式，第一题与不等式结合，第二题与函数结合，第一题首先由叠乘法求出通项公式，然后代入有基本不等式可得，第二题由函数的性质找出递推关系，从而找出( )(0)1nxfxxnx，即可得出)(2014xf的表达式 . 考点 4 数列的性质的应用【题组全面展示】【4-1 】已知225nann nn，则数列na的最大项是 _【答案】1213aa或【解析】na是关于n的二次函数 . 【4-2 】设函数6(3)3,7( ),7xa xxf xax，数列na满足*( )()naf n nn, 且数列na为递增数列 , 则实数 a的取值范围为_【答案】 (2,3) 【

25、4-3 】在数列na中，前n项和为ns，(319) 2nnan，则当ns最小时，n的值为 _【答案】 6 【解析】令0na，得6n，故当16n时，0na；当7n时，0na，故当6n时，ns最小 . 【4-4 】若数列 an满足：a1 19，an1an3(n n*) ，则数列 an 的前n项和数值最大时，n的值为 _【答案】 7 【4-5 】已知数列na的首项1aa，其前n项和为ns，且满足2132nnssnn. 若对任意的*nn，1nnaa恒成立，则a的取值范围是. 【答案】9 15,44【解析】试题分析：由条件213(2)nnssnn得21)1(3 nssnn，两式相减得361naann，故

26、9612naann，两式再相减得62nnaa，由2n得12121aaa，aa2122，从而anan2662；3n得2721321aaaaa，aa233，从而anan23612，由条件得ananananaa26) 1(6236236266212，解之得41549a. 综合点评：这些题都是数列的函数特征的应用，做这一类题，一是利用函数的性质，同时注意数列的性质，抓住试题的关键，灵活应用. 【方法规律技巧】1. 数列中项的最值的求法数列中na或ns的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列na或ns的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值要注意的细节是n只能取正整数数列中最大项和最小项的求法求最大项的方法：设na为最大项，则有11nnnnaaaa；求最小项的方法：设na为最小项，则有11nnnnaaaa. 前n项和最值的求法(1) 先求出数列的前n项和ns，根据ns的表达式求解最值；(2) 根据数列的通项公式，若0ma，且10ma，则ms最大；若0ma，且10ma，则ms最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 2 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究3. 数列中恒