(含详答)2018年上海春考数学试卷

1、1 / 7 2018 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1不等式| 1x的解集为_ 2计算：31lim2nnn_ 3设集合| 02axx，|11bxx，则ab_ 4若复数1zi（i是虚数单位），则2zz_ 5已知na是等差数列，若2810aa，则357aaa_ 6已知平面上动点p到两个定点(1,0)和(1,0)的距离之和等于4，则动点p的轨迹为_ 7如图，在长方形1111babcacdd中，3ab，4bc，15aa，o是11ac的中点，则三棱锥11aaob的体积为_ 第 12 题图

2、8某校组队参加辩论赛，从6 名学生中选出4 人分别担任一、二、三、四辩若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_ 9设ar，若922xx与92axx的二项展开式中的常数项相等，则a_ 10设mr，若z是关于x的方程2210 xmxm的一个虚根，则|z的取值范围是 _ 11设0a，函数()2(1)sin()fxxxax，(0,1)x，若函数21yx与()yfx2 / 7 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是_ 12如图，正方形abcd的边长为20 米，圆o的半径为1 米，圆心是正方形的中心，点p、q分别在线段ad、cb上，若线段pq与圆o有公共点，则称点q在点p的 “

3、 盲区 ” 中已知点p以 1 5 米/秒的速度从a出发向d移动，同时，点q以 1 米 /秒的速度从c出发向b移动，则在点p从a移动到d的过程中，点q在点p的盲区中的时长约为 _ 秒（精确到01）二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）13下列函数中，为偶函数的是（）（ a）2yx（b）13yx（ c）12yx（d）3yx14如图，在直三棱柱111aba bcc的棱所在的直线中，与直线1bc异面的直线条数为（）（ a） 1 （b） 2 （ c） 3 （d） 4 15记ns为数列na的前n项和 “na是递增数列” 是 “ns为递增数列” 的（）（ a）充分非必要条件（b）必要非充分

4、条件（ c）充要条件（d）既非充分也非必要条件16已知a、b为平面上的两个定点，且|2ab该平面上的动线段pq的端点p、q，满足|5ap，6abap，2aqap， 则动线段pq所形成图形的面积为（）（ a） 36 （ b） 60 （ c） 81 （ d） 108 三、解答题（本大题共有5 题，满分 76 分，第 1719 题每题14 分，20 题 16 分，21 题 18 分）17 （本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分）已知cosyx3 / 7 （ 1）若3(1)f，且0,，求()3f的值；（ 2）求函数(2)2( )yfxfx的最小值18（本题满分14 分，第1 小

5、题满分6 分，第2 小题满分8 分）已知ar，双曲线222:1xya（ 1）若点(2,1)在上，求的焦点坐标；（ 2）若1a，直线1ykx与相交于a、b两点， 且线段ab中点的横坐标为1，求实数k的值19 （本题满分14 分，第1 小题满分7 分，第2 小题满分7 分）利用 “ 平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线” 的几何原理，某快餐店用两个射灯 （射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1 所示，图2 是投影出的抛物线的平面图，图 3 是一个射灯的直观图，在图 2 与图 3 中，点o、a、b在抛物线上，oc是抛物线的对称轴，ocab于c，3ab米，4.5oc米（ 1）求抛

6、物线的焦点到准线的距离；（ 2）在图3 中，已知oc平行于圆锥的母线sd，ab、de是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0 01 ） 图 1 图 2 图 3 20 （本题满分16 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分6 分）设0a，函数1( )12xfxa4 / 7 （ 1）若1a，求()fx的反函数1( )fx；（ 2）求函数()( )yfxfx的最大值（用a表示）；（ 3）设( )( )(1)g xfxf x若对任意(,0 x，)()0g xg恒成立，求a的取值范围21 （本题满分18 分，第1 小题满分3 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满

7、分9 分）若nc是递增数列，数列na满足：对任意*nn，存在*mn，使得10mnmnacac，则称na是nc的 “ 分隔数列” （ 1）设2ncn，1nan，证明：数列na是nc的 “ 分隔数列” ；（ 2）设4ncn，ns是nc的前n项和，31nndc，判断数列ns是否是数列nd的分隔数列，并说明理由；（ 3）设1nncaq，nt是nc的前n项和， 若数列nt是nc的分隔数列，求实数a、q的取值范围5 / 7 参考答案一、填空题1(,1)(1,)2 3 3(0,1)4 2 5 15 622143xy7 5 8 180 9 4 103(,)3111119(,66提示：1212(1)sin()1

8、2(1)sin()sin()2xxxaxxxaxax711711711,2,2,4,4,666666ax0axa117266a124.4提示：以a为原点建立坐标系，设时刻为t，则40(0,1.5 ),(20, 20),03ptqtt则01.5:200201.5pqxytltt，化简得(8)8120t xyt点(10,10)o到直线pq 的距离23|(8) 108012 |1(8)8ttt，化简得23161280tt即8788733t，则88788704.433tt二、选择题13 a 14 c 15 d 16 b 提示：建系(0,0),(2,0)ab，则(,)p x y的轨迹为线段3,44xy，

9、ap扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知aq扫过的面积为48 ，因此和为60 三、解答题17 （ 1）12 26； （ 2）326 / 7 18 （ 1）(3,0)； （2）51219 （ 1）14； （ 2）9.5920 （ 1）121( )log(01)xfxxx； （2）2112maxyaa（0 x时取最值）；（3）(0,2提示：1211( )21212232xxxxag xaaaa2,(2(0,1)23xatatat因为-a0，所以当x=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，此时2222102a ttata21 （ 1）证明：存在2mn,此时*1,22122nmnn

10、cnancnn证毕（2）不是反例：4n时，m无解；（3）02aq提示：因为1naq为递增数列，因此01aq或者001aq当001aq时，*,0nncn，因此321123tttccc因此不存在23mctc，不合题意。当01aq时，1111mnnnmnqctcqqq11111(1)1(1)1(1)(1)nmnnmnnnqqqqqqqqqqqq两边同时取对数得：1111log (1)log (1)qqnnnqmnqqq7 / 7 记1( )log(1),0qxfxqxq则1(1)()nfnmnfn下面分析函数(1),( )fnfn的取值范围：显然1q时，1( )log (1),0qxfxqxq为减函数，因此()( )(0)ffxf，即log (1)( )1qqf x( )当2q时，log(1)0qq，因此总有0( )(1)1f nfn此时1(1)1 1( )+0nf nn