数学模型资料[仅供参考]

1、数学模型复习资料第一部分（简答题）1. 叙述模型和数学模型的概念，并举例说明.（1）模型是指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。（2）对某一实际问题应川数学语言和方法，通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近 似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型.2. 為出数学建模过程流程图;数学建模过程流程图为:3. 建立数学模型的呈本步骤有哪些？1. 模型准备（背景、h的、现象、数据、特征）2. 模型假设（合理性、简化性.但过份简单、过份详细都不对，或反映不了原问题或无法表达模型,要充分发挥想象力、洞察力、判断力，不断修改或补充假设）3. 模型构成（建立数学结构

2、）4. 模型求解（包括推理、证明、数学地或数值地求解）5. 模型分析（数学意义分析、合理性分析、误差分析、灵敏性分析）6. 模型检验（接受实际检验、往往在假设上）7. 模型应用（取决于建模的1=1的）4. 写出5个数学模型按照应用领域分类的模型名称.'人口模型 交通模型 环境模型（污染模型）按模型的应用领域分类数学模型 < 生态模型城镇规划模型 水资源模型 再牛资源利用模型5. 写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称.初等数学模型 几何模型微分方程模型按建模的数学方法分类数学模型图论模型组合数学模型 概率模型 规划论模型6. 写出5个数学模型按照建模目的分类的模型名称.

3、描述模型分析模型按建模目的来分类数学模型预报模粮优化模型决策模型控制模型7. 长方形椅子摆放问题、人口问题(习题8)、习题9. 这些以小题形式出现(1) 椅子摆放问题认真看书，要知道模型的假设和模型。(6-7页)(2) 人口问题也要知道模型是怎么建的，两种模型，指数增长和阻滞增长(9-13页)(3) 习题8和习题9的解答过程如下(考小题，这里大家要理解是如何做的)(23页)8假定人口的增长服从这样的规律：时刻的人口为兀(/),单位时间内人口的增量与- %(/)成正比(其中无”为最大容量)试建立模型并求解作出解的图形并与指数增长模 型、阻滞增长模型的结果比较.解：现考察某地区的人口数，记时刻/的

4、人口数为兀“)(般兀“)是很大的整数)，且 设兀(/)为连续可微函数.又设兀(/) 1/=0=心任给时刻r及时间增量因为单位时间内人 口增长量与几-x(t)成正比，假设其比例系数为常数厂.则f到f + ar内人口的增量为：x(/ + az)-x(r) = r(xm 一 x(r)az.两边除以a/,并令&t0,得到空 “x -x)< dt k /n ) 解为 x(r) = xw-(xwj-xo)兀(0) = x0如图实线所示,第二天的行程兀可用曲线(ii), (i)或反面思考.试尽可能迅速冋答下血问题：(1) 某甲早8： 00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5： 00到达山顶并

5、留宿. 次日早8： 00沿同一路径下山，下午5： 00冋到旅丿占.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点为什么？(2) 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中岀场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛如果是支球队 比赛呢？解(1)方法一：以时间f为横朋标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程兀为纵朋标，笫一天的行程x(f)可用曲线(i)表示，(ii)是连续曲线必有交点ph。,蘇), 两天都在0时刻经过d°地点.方法二：设想有两个人，人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇.方法三：我们以山下旅丿占为始点

6、记路程，设从山下旅丿占到山顶的路程函数为/(/)(即i时刻 走的路程为/(/),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(/),并设山下旅店到山顶的距离为 a (a >0)由题意知：/=0,/(17) = a , g(8) = a, g(17) = 0 令 h(t) = f(t) - g(t), 则有a(8) = /(8)-g(8) = -a<0, /?(17) = /*(17)_g(17) = a>0,由于/(/), g(r)都是 吋间z的连续函数，因此力也是吋i'可/的连续函数，由连续函数的介值定理，引° “8,17, 使力(0)= 0 '即 /(0)

7、= g(，0)(2) 36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2 轮，32队赛5轮.斤队需赛n 1场，若2'-1 <n< 2k ,则需赛r轮.8. 传染病模型、战争模型、厉室模型、军备竞赛模型.传染病模型(三个)见课本【136页(5)式，137页(9)式，139页(14)式】战争模型见课本【148页(1)式，149页(3)式150页(8) (9)式】房室模型见课本【154页(3)式】军备竞赛模型见课本181页(1)式，军备竞赛模型要能够计算它的平衡点181页(2)式-182 页(3) (4) (5)式。9. 层次分析模型(写出层次结构图、层

8、次分析步骤等).这里给出两个例子：层次分析模型大家要能够根据题h的已知条件画出层次结构，【课本231页】儿个基木步骤要知道，【课木235页】那些图作为参考人家要理解是怎么构造的。(1)于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案屮选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次 结构图.解：r标层准则层方案层（2）述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学牛选择工作岗位的决策问题要 分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）.建立层次结构模型；（2）.构造成对比较阵；（3）.计 算权向量并做一致性检验

9、；（4）.计算组合权向量并做组合-致性检验.对于一个即将毕业 的大学牛选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为日标层、准则层和方案层这 3个层次.目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则 层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.10. 循环比赛（由得分向量写岀竞赛图或邻接炬阵、双向连通图、排名次等）.循坏比赛虽然考小题，但是这里把练习答案附上，以便大家能更好更深刻理解，怎么样根据 题画图写矩阵和排名次。7.右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全 路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有

10、向hamilton图.其一个有向ham订ton圈为3> 1 > 是双向连通的.4t5t1t2t35t3t1t2t4等都是完金路径.t5t2t3.所以此竞赛图2t4t5t3t13t1t4t 5t24 =令 0 = (1,1,1,1,1)丁，各幼_01010_001101000000101111004s(d =山=(2,2,1,2,3)丁，s(3)=as二(7,6,4,7,9/ ,s(2)=aso)=(4,3,2,4,5) s=(13,11,7,13,17)7由此得名次为5, 1 （4）, 2, 3（选手1和4名次相同）.第二部分（大题）差分方程看书【205页，207页】2. 知某商品

11、在£时段的数量利价格分别为耳和儿，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为儿+| =/（%】+兀）和无+| =g（儿）试建立 2关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为y,+1 = /严+"）和忑+i =g（儿）2设曲线f和g相交于点（x0,y0），在点几附近可以用直线来近似表示曲线/和g ：儿_儿）心（1）耳+i 一兀（）=0（）1 一儿），0»0 （2）由（2）得 无+2 _兀（）=0（儿+1 _儿）（3）（1）代入（3）,可得无+2_兀0 =_妙（邑+" 一兀0）/. 2

12、忑+2 + a/3g、+ a/3xk = 2x0 + 2a/3x）, k = 1,2,，（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，>1为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求厶点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：2z2 + ap九 + <70 = 0容易算出具特征根为a,2-a3 ± j(q0)2 8g0(5)当af3 >8吋，显然有& = _ a0 _ j （a"），_ 8q0 v ap 4v从而r2i a2,人在单位圆外.下而设y8,由（5）式可以算出 要使特征根均在单位圆内，b|j人卫y1,必须 妙y2.故匕点稳定

13、平衡条件为q0y2.（2.1）在£时段的数量和价格分别为无和儿，其中1个时段相当于商品的一个生产周期. 设该商品的需求函数和供应函数分别为儿=f（xk）和忑+| =g（儿+儿7）.试建立关于商 品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数利供应函数分别为儿=/uj和心+1 = g（儿；'1）设曲线/和g相交于点佗（心,儿）,在点p.附近可以用直线来近似表示曲线/和g:儿 一），0 = -a（xk 一兀o）,q ao （1）xk+i _xo =0（" 2）* _儿），0 a° （2）从上述两式中消去儿可得2心+2 + apxk+ + ap

14、xk = 2（1 + 妙）兀0, k = 12，（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求仇点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：2a2 + ap九 + ap = 0容易算出其特征根为(4)(5)_ a3 ± j(q0)2 _8q0 儿1,2当ap >8时，显然有_ a/3 j(a0)2 eapapy44从而|人| a2,心在单位i员i外.下面设q0y8,由（5）式可以算出要使特征根均在单位圆内，即|入y1,必须 妙y2.故心点稳定平衡条件为q0y2 捕鱼模型3. 设某渔场鱼量无（/）（时刻渔场中他的数量）的

15、口然增长规律为：=）dtn其中r为固有增长率,n、为环境容许的最大鱼量.而单位时问捕捞量为常数h .（1）.求渔场鱼量的平衡点，并讨论其稳定性；（2）.试确定捕捞强度巴“,使渔场单位吋间内具有最大持续产量qm，并求此吋渔场鱼量水平解：（1）.兀变化规律的数学模型为x记兀亓）令如2二皿_込)“dtnrx(l-)-/?=0 ,即 x2 -rx + h = o- ( 1 )nnn± 1- n(1)的解弘2 v 2n当ayo时（1）无实根,此时无平衡点;n当 = （）时（1）有两个相等的实根，平衡点为xq = fg = rq一并唱十等./（xo） = o不能断定其稳定性.x r/v但 vxa

16、o 及均有 f(x) =rx(l-)一- yo ,即-<o /. x0 不稳定;当aao时，得到两个平衡点:易知x2 =广3）a0,广（兀2）y0平衡点坷不稳定,平衡点兀2稳定（2）.最大持续产量的数学模型为:max/?s.t.f(x) = o即max/7 = rx（l-）,易得此时/?=，但x；=这个平衡点不稳定.n°2402nnn要获得最人持续产量，应使渔场鱼童% >,n尽量接近，但不能等于222n4.与logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是gompertz模型：x（t） = rxln x 其中厂和n的意义与logistic模型相同.设渔场鱼量的口然增长

17、服从这个模蓟 又单位捕捞量为h = er 讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求故大持续产量力川及茯得最人产量的捕捞强度和渔场鱼量水平解：血）变化规律的数学模型为辿dtxn记 f（x）=rxnexx 令 f（x） = o, rx in - ex = 0/. x0 = nef （兀o）=t<0,f6） = oox平衡点为兀（）兀又 v fx）= rn - r - e ,x/.平衡点x。是稳定的，而平衡点x不稳定.最人持续产量的数学模型为:x由前面的结果可得 h = ene rdhder得最大产量的捕捞强度em = r 从而得到最大持续产量hm=rn/e,此时渔场角量水平水 n xo = e量纲

18、分析5. 深水中的波速v与波长2、水深d、水的密度°和重力加速度g有关，试用量纲分析方 法给出波速v的表达式.解：设y, 2,d,p, g 的关系为y（iu,d,q,g）=o.其量纲表达式为ivmafr1, 2=lmt,d =lm°t° , p=l 3mtf，,g=lm°t-2,其中 l ,m , t是基木量纲.4分量纲矩阵为 111 -31 _(da=000 10(m)-100 0-2_(t)齐次线性方程组ay=09(v) 即（刃(d)s) (g)人+2 +儿-3九+儿=0y4-y>-2y5 =°一 1 i的基本解为 y1 = (l-,

19、0,0-), y2 = (0-1,1,0,0)i imv由量纲£定理得va 2g 2二®a* j =兀？兀=（p（兀 2），龙2= %.v = j00厶），其中0是未定函数线性规划问题【82页】6. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如卜表所示:品种原材料能源消耗（百元）劳动力（人）利润（千元）甲2144乙3625现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400乔元；全厂劳动力满员为2000 人.试安排生产任务（生产甲、乙产品各多少件），使利润最大，并求出最大利润.解：设安排生产甲产品兀件，乙产品y件，相应的利润为s.则此问题

20、的数学模型为maxs = 4x + 5y5. /.2x + 3y < 1400x + 6y< 24004x + 2y <2000x>0,y>0,x,yez 模型的求解：用图解法可行域为：山直线i、: 2x + 3y = 1400 z2; : jv + 6y = 2400 l3 : 4x + 2y = 2000 及兀=0, y = 0 组成的凸五边形区域.直线l:4x + 5y = c在此凸五边形区域内平行移动.易知：当/过人与厶的交点时，s取最大值.由解得：x = 400, y = 2002x + 3y = 1400 4x + 2y = 2000=4x400 +

21、5x200 = 2600（t元）.故安排牛产甲产品400件、乙产品200件，可使利润最大,其最大利润为2600千元.7. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表:货物体积（立方米/箱）（订斤/箱）利润 （百元/箱）甲5220乙4510己知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种 货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最人利润.解：设甲货物、乙货物的托运箱数分别为西，勺，所获利润为z 则问题的数学模型可表示为max z = 20兀+ 10x25无+ 4兀2 5 24叫 + 5x2 < 13xj,x2 > 0,x,y

22、g z这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为:由直线z, : 5兀+ 4x2 = 24/2 : 2xt +5七=13 反x、= 0,兀2 = 0组成直线1: 20% +10x2 = c在此凸四边形区域内 平隹齊动.易知：当/过与/ 2的交点吋，z取最大值5x. += 24fx. = 4由q 12解得 12x +5*2=13x2 = 1zmax =20x4 + 10x1 = 90 8. 量纲分析、存贮问题（包括第九章）、数学规划模型、捕鱼问题、差分方程、概率模型.填空题（2分/空xlo空=20分）1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是5,+1 = 5,+（-l/<,o

23、2、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下，假设人口增长率是人口数量 的减函数。3、“人口阻滞增长”模型中，当人口数x（t）=xm/2时，人口增长率最大；当人口数 如=几时，人口增长率为0。24、“公平的席位分配”模型中的q值法计算公式是q = 扁 * ）。1 2 15、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是t =竺vva rj6、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的棊木物理公式是q=k od7、“传染病模型”中sir模型是指被传染若康复以后具有免疫性，不再感染该传染病。8、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有总产值的增长、单位劳动力产值的增 长。问答题（40分）1、试川简练的语言全面的描述“商人怎样安全过河”该类问题。（1（）'）答：求决策久wd伙=1,2,曲），使状态5, 5按照转移律5,+1 =5, +（-l）a j, 则初始状态