数列的综合应用

1、贾老师数学第五节数列的综合应用考点一数列在实际问题与数学文化问题中的应用典例（1）张邱建算经是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹， 竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈头节高五寸，头圈一尺三.逐节多三分，逐圈少分三.一蚁往上爬，遇圈则绕圈爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：第一节的高度为05尺；第一圈的周长为1.3尺；每节比其下面的一节多0.03尺；每圈周长比其下面的一圈少0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是（）A . 72.705 尺B . 61.395 尺C . 61.905 尺D . 73.995 尺（2018北京东城区模拟）为了观看2022年的冬奥

2、会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p,且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有 元；至U 2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回 元.解析（1）因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a1, a2, a3,，a30,所以数列an是以a1= 0.5为首项，以d1= 0.03为公差的等差数列又由题意知竹节圈长，每后一 圈比前一圈细 0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为b1, b2, b3,，b30,则数列 bn

3、是以b1= 1.3为首项，以d=- 0.013为公差的等差数列所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为 S30= 30 × 0.5+30 × 292× 0.03 + 30 × 1.3 +30× 29、,X20.013 = 61.395.故选 B.a(1 + p) + a= (ap+ 2a)(元).依题意，2019年1月1日存款a元后，账户中一共有2022年1月1日可取出钱的总数为a(1 + p)4+ a(1 + p)3+ a(1 + p)2+ a(1 + P)1 + P 1 1 + P 4=a 1 1 + Pa=p(1 + p)5- (

4、I + P)=p(1 + P)5- 1- p.a C答案(1)B(2)ap+ 2a p(1 + p)5- 1 - p题组训练1. （2019贵阳适应性考试）九章算术是我国古代的数学名著，书中均输章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问 五人各得多少钱？（ “钱”是古代的一种重量单位 ）在这个问题中，丙所得为（）A.7钱B钱6 6C.3钱D . 1钱3解析：选D 因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a-2d, a-d

5、, a, a+ d, a+ 2d,贝U a 2d + a d+ a + a + d+ a+ 2d= 5,解得 a= 1,即丙所得为 1 钱，故选 D.2. （2018安徽知名示范高中联考）中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊 食人苗，苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半. ”打算按此比率偿还， 他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，C升，1斗为10升，则下

6、列判断正确的是（）A . a, b, C成公比为2的等比数列，且a = 0B . a, b, C成公比为2的等比数列，且C= I0150C. a, b, C成公比为2的等比数列，且 a=150D . a, b, C成公比为2的等比数列，且 C=1 1 1解析：选D由题意可得，a, b, C成公比为$的等比数列，b= -a, C= ?b,故4c+ 2c+ C= 50,解得C=50.故选D.3. （2019 西金溪一中月考）据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养 5年后，鱼的质量预计为原来的 t倍.下列选项中，与t值最接近的 是（）B .

7、13D . 17A . 11C. 15解析：选B 设鱼原来的质量为 a,饲养n年后鱼的质量为an,q= 200% = 2,则a1= a(1 + q), a2= a1 1 +q111405=a(1 + q) 1 + 2 ,，a5= a(1 + 2) × (1 + 1) × 1 + ? × 1 + P × 1 + 23 = "35a 12.7a,即卩 5 年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.考点二等差数列与等比数列的综合计算典例(2018北京高考)设an是等差数列，且 a= In 2 , a2+ a3= 5ln 2.(1) 求an的通项公

8、式；(2) 求 eaTea2+ ean.解设an的公差为d.因为 a2+ a3 = 5ln 2 ,所以 2a+ 3d = 5ln 2.又 a= In 2 ,所以 d= In 2.所以 an = a+ (n 1)d= nln 2.ean(2)因为 ea1= eln 2 = 2,= ean-an-1 = eln 2 = 2,e所以数列ean是首项为2,公比为2的等比数列，2 × 1 2n a aan+ IC所以 e 1 + e2+ e n= 2 2.1 2解题技法等差数列与等比数列综合计算的策略(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求

9、解求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程求解过程中注意合理选择 有关公式，正确判断是否需要分类讨论.一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即an为等差数列？ aan(a>0且a 1)为等比数列；an为正项等比数列？ log aan( a>0且a 1)为等差数列.题组训练1. 已知等差数列an的公差为5,前n项和为Sn,且a1, a2, a5成等比数列，则 Se=()A. 95B. 90C. 85D. 80解析：选B 由a1, a2, a5成等比数列，得 a2= a1 a5.又等差数列an的公差为5,所以(a1 + 5)2= a1(a1556 &#

10、215; 5+ 4× 5),解得 a1= 5.所以 Se= 6× 寸+丁 × 5= 90.故选 B.2. 已知数列an是公差为整数的等差数列，前n项和为Sn,且a1+ a5+ 2 = 0,2S,3S2,8S3成等比数列，则1数列的前10项和为.anan+1解析：设等差数列an的公差为d,因为 a1 + a5 + 2= 0,所以 2a1+ 4d+ 2= 0, a1= 1 2d.因为2S1,3S2,8S3成等比数列，所以16SS3= 9S$,即 16( 1 2d)( 3 3d)= 9( 2 3d)2.因为d为整数，所以解得 d= 2,贝U a1 = 3,所以 an =

11、 3 2(n 1)= 5 2n.1anan+ 115 2n 3 2n =1 _112 2n 5 2n 3，所以数列1 “ 一 ， 1 1 1 1 1 1 1的刖 10 项和为 2 × 3 二 + 2 X 1 1 + + 2 Xanan +11 115171 丄=10 3 17 = 51.答案:10513. (2019武汉调研)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn, au 1, b1= 1, a2 + b2 = 3.(1)若a3+ b3= 7, 求bn的通项公式； 若 T3= 13, 求 3.解：(1)设 an的公差为d, bn的公比为q, 则 an= 1 +

12、 (n 1)d, bn= qn .由 a2+ b2= 3,得 d+ q= 4,由 a3+ b3= 7, 得 2d + q所以数列an是以1为首项，11为公差的等差数列,= 8 , 联立，解得q = 2或q = 0(舍去), 因此bn的通项公式为bn= 2n1. T3= b1(1+ q+ q2),1 + q+ q2= 13,解得 q= 3 或 q= 4, 由 a2+ b2= 3得 d= 4 q, d = 1 或 d = 8.1由 Sn= na1 + 2n(n 1)d,13得 Sn=尹2 尹 或 Sn= 4n2 5n.考点三数列与函数、不等式的综合问题1 1 1(1)因为 an = f典例设函数f

13、(x) = 1+ X ,正项数列an满足a1 =1, an=f席,n N*, 且 n 2.求证：1 + 1 + 1 + 1 <2 a1a2 a2a3 a3a4anan+1(1)求数列an的通项公式;1an 11所以 an = 2+ an-1 , n N* ,且 n2 ,1n + 1所以 afl = a + (n 1)d= 1 + q(n 1)=.14111 .+ _±_ 15 n + 1n+ 241 -亠2 n+ 2(2)证明：由(I)可知=n + 1 n + 2 = 4+7 n+2，所以丄+丄+丄+1 = 4 1 1 + 1 1 + 1a1a2 a2a3 a3a4ana+12

14、33 44<2.解题技法1. 数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1) 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2) 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同， 数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.2. 数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.题组训练1.已知数列a

15、n的前n项和为Sn,点(n, Sn + 3)(n N*)在函数y= 3× 2x的图象上，等比数列bn满足 bn + bn +1 = an(n N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是()A . Sn= 2TnB . Tn= 2bn+ 1C . Tn>anD . Tn<bn+1解析：选D 因为点(n, Sn+ 3)在函数y= 3× 2x的图象上， 所以 Sn + 3= 3× 2n, 即卩 Sn= 3× 2n 3.当 n2 时，an= Sn S-1= 3× 2n 3 (3× 2n 1 3) = 3× 2n 1 又

16、当 n= 1 时，a1 = S1 = 3,所以 an = 3× 2n 1.设 bn= b1qn 1,则 b1qn1 + 3qn = 3 × 2n1,可得 b1 = 1, q = 2,所以数列bn的通项公式为bn= 2n1.由等比数列前n项和公式可得Tn= 2n 1.结合选项可知，只有 D正确.2n2+ 2n + 82. (2019昆明适应性检测)已知数列an的前n项和为3,且an= 4n,若不等式Sn + 8 n寸任意的n N*都成立，则实数 的取值范围为 .解析：因为an= 4n,所以Sn= 2n2+ 2n,不等式Sn+ 8 n寸任意的n N*恒成立，即又2n +2n+

17、8 = 2n + 8+ 2 10(当且仅当n= 2时取等号)，所以实数的取值范围为(一, 10.答案：( 10课时跟踪检测A级1. (2019昆明高三摸底调研测试)已知等差数列an的公差为2 ,且a4是a2与a8的等比中项，则a=()A . 2B. 2C. 2 1D. 2+ 1解析：选B 由题意得等差数列 a的公差d = 2,所以a= a1+ 2( 1),因为a4是a2与a8的等比中项， 所以 a?= a2a8,即(a1+ 6)2= + 2)(a1 + 14),解得 a1 = 2,所以 a= 2,故选 B.2. 设y= f(x)是一次函数，若f(0) = 1,且f(1), f(4), f(佝成

18、等比数列，则f(2) + f(4) + f(2)等于()A . (2 + 3)B. ( + 4)C. 2(2 + 3)D. 2( + 4)解析：选 A 由题意可设 f(x)= kx+ 1(k 0),则(4k+ 1)2= (k+ 1)(13k+ 1),解得 k= 2, f(2) + f(4) + f(2)= (2 × 2 + 1) + (2 × 4 + 1) + + (2× 2+ 1) = (2+ 3).S3 S23. 已知公差不为0的等差数列a满足a1, a3, a4成等比数列，Sn为a的前项和，则SS的值为S5 S3( )A . 2B . 3C.1D. 45解析

19、：选A设等差数列 a的公差为d(d 0)./a1,a3,a4成等比数列，'a1a4= a3,即卩a1(a1 + 3d)4 . （2018郑州一中入学测试）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为 有一个人走378里路，第一天健步行走， 从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了（）B . 48 里D . 24 里A . 96 里C . 192 里a1 1解析：选A 依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为1的等比数列，记为a,

20、其前61项和等于378,于是有I = 378,解得a1 = 192,因此a2 = a1 = 96,即该人第二天走了 96里,选A.5.定义：n(n N*)为n个正数Pi, P2, Pn的“均倒数”.若数列an的前n项的“均Pl十P2十十Pn倒数”为2n7,则数列an的通项公式为(A . an = 2n 1an= 4n 1C. an = 4n 3an= 4n 5解析：选 Ca1+ a2+ + an 2n 1a1 + a2+ + an C =2n 1 , a1 + a2 + an= (2n 1)n, a1+ a2+ + an-1= (2n 3)(n 1)(n2),二当n2 时，an = (2n1)

21、n (2n 3)(n 1) = 4n 3,又 a1= 1, an = 4n 3.6. (2019河南六市联考)若正项递增等比数列an满足 1 + a2 a4 + a3 a5) = 0( R),贝V a6 + a 的最小值为(解析：选D 设等比数列 an的公比为q, q 0,因为数列an为正项递增等比数列，所以a4 a2>0且q>1.因为 1+ a2 a4+ Xa3 a5) = 0 ,所以 1 + I= a4 a2,所以 a6 + 7 = a6(I + 入0 = q2 + 1 +q 1 q 11 1百=q2 1 + 尸 +2 2q21+ 2 = 4当且仅当q2 1 =艺三时，即q=

22、2时，取等号q 1q 1,即a6 + a的最小值为4,故选D.7.某公司去年产值为a,计划在今后5年内每年比上年产值增加10% ,则从今年起到第 5年，这个厂的总产值为.解析：每年的产值构成以 a(1 + 10%) = 1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，所以从今年起到第5年的1.1a 1 1.55总产值 S5= 11(1.1和为. 1)a.1 1.1答案：11(1.15 1)a&已知Sn是等比数列an的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，a2+a5= 4,则as=.解析：因为S3, S9, SB成等差数列，所以公比q 1,穿亠 =+ j1q-,整理得2q解析：T等差数列an满足

23、 an-1 + an + an+1 = 3n(n2), 3an = 3n,即 an = n又函数 f(x) = 2x, f(an)= 1+ q答案：2 9.已知等差数列 an满足 an-1 + an + an+1=3n(n 2),函数 f(x)= 2x, bn= l0g4f(an),则数列 bn的前 n 项,所I q1 q 1 q+ + 1=2n, b1+ b2+ bn= Iog4f(a1) f(a2)f(an) = Iog4(2 × 22× × 2n) = log421 2n=× (1 + 2+n n+ 1n) = 答案：叮+410. (2018 沈阳

24、质检)在数列an中，a = 1, a2= 2, an+1 = 3an-2an-(2)，贝V an =解析：法一：因为 an+1= 3an 2an-1 (n 2),所以 = 2(n 2),所以 an+1 an= (a2 a1)2n 1= 2n an an 11(n2),又a2 a1 = 1,所以 an an-1= 2n2,an-1an-2=2n3,，a2 a1 = 1 ,累加，得an = 2n1 (n 法-二二 :因为 an+1 = 3an 2an- 1(n 2), 所以 an+1 2an = an 2an-1 ,得 an+1 2an = an 2an-1= an -1 2an-2= = a2

25、2a1= 0 ,即an= 2an-1( n 2),所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 an = 2n 1(n N*).答案：2n 111 .已知等比数列3an的前n项和为Sn,公比为解:12.(1)若 S4= 64,求a1.若 a1 = 2, Cn= 1an+ nb,365(I) T公比 q = 2，s4= 68,a"- 246512 =24,8165的/曰 1 亦 a1= 68,解得且C2, C4, C5成等差数列，求 b.1 a1= 3.3(2) / a1= 2,公比为 2, a2 = 3,F1乂 Cn= ?an + nb,2781a4=T，a5 =亍 C2= 2

26、a2+ 2b= 3 + 2b, C4 =如+ 4b =' c2,C4,C5成等差数列,27+ 4b, C5 = 2a5+ 5b =器 + 5b. 2 27+ 4b = 3 + 2b+ 81+ 5b,解得 b = 136.设数列an的前n项和为Si,点n, Sn , n N*均在函数y= X的图象上.(1)求数列an的通项公式;贾老师数学1记数列anan+1的前n项和为Tn,若对任意的n N*,不等式4Tn<a2 a恒成立，求实数a的取值范围.CSI解：(1)依题意得Sn = n,即Sn= n2.当 n 2 时，an= Sn一 SI = 2n 一 1, 当 n = 1 时，a1=

27、S1= 1= 2 × 1 1= 1,° an= 2n 1._l111 一 1 anan+12n 1 2n + 12 2n 1 2n+ 1 '1 111 1 1 1 1 1+ . +In= 2 133 52n 1 2n+ 1 = 2 1 2n + 1 <2，又 4Tn<a2 a, 2 a2 a,解得 a 1 或 a 2, 即实数a的取值范围为(一, 1 2, + ).B级31.若定义在R上的函数y = f(x)是奇函数且满足f 2 X = f(x), f( 2) = 3,数列an满足a1 = 1 ,且SIann = 2×+ 1(其中 Sn为 an

28、的前 n 项和)，则 f(a5)+ f(a6)=()C. 3D. 23 3解析：选C 由f 2 X = f(x)可知函数f(x)的图象的对称轴为直线X= 4又函数y= f(x)是奇函数，所以有 f 3X = f(x)= f X 2 ,所以 f x 2 = f(x),即 f(x 3) = f(x),所以函数 y= f(x)的周期为 3由Sn= 2× 岸 + 1 得 Sn= 2an + n.当 n2 时，an = Sn Sn 1 = 2an + n (2an1 + n 1) = 2an 2an1 + 1 ,即卩 an = 2an 1 1, 所以 a2= 3, a3= 7, a4= 15, a5= 31, a6= 63,贝U f(a5) + f(a6)= f( 31)+ f( 63) = f( 1) + f(0) =f(1) + f(0).由函数 y= f(x)是奇函数可得 f(0)= 0,由 f( 2) = 3 可得 f( 2) = f(1) = 3,所以 f(a5) + f(a6) = 3.故选 C.2. 为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换 5 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则 淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两