122函数的表示法

1、1.2.1函数的表示法函数的表示法（一）（一）知识探究（一）知识探究（一）下表是某校高一下表是某校高一（1 1）班三位）班三位同学在高一学年度六同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：次数学测试的成绩及班级平均分表： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次王 伟988791928895张 城907688758680赵 磊686573727582班平分882 783 854 803 757 826思考思考1 1:上表反映了几个函数关系？这些函数上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？的自变量是什么？定义域是什么？4 4个；测试序号；个；测试序号；11，2 2，3 3

2、，4 4，5 5，6. 6. 思考思考2:2:上述上述4 4个函数能用解析法表示吗？能个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？用图象法表示吗？思考思考3:3:若分析、比较每位同学的成绩变化情若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？况，用哪种表示法为宜？100O Ox xy y5 54 43 32 21 16 6赵磊赵磊王伟王伟张张城城 平均分平均分90807060思考思考4:4:试根据图象对这三位同学在高一学年度的数试根据图象对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析学学习情况做一个分析. 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水

3、平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提升势，表明他的数学成绩在稳步提升.100O Ox xy y5 54 43 32 21 16 6赵磊赵磊王伟王伟张张城城 平均分平均分90807060函数的三种表示方法函数的三种表示方法数学表达式数学表达式图象图象表格表格思考：思考：任何一个函数都可以用解析法表示

4、吗？任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：提示：不一定不一定. .如某一地区的绿化面积与年份关系等受如某一地区的绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示. .函数三种表示方法的优缺点函数三种表示方法的优缺点(1)(1)解析法解析法. .优点：优点：简明、全面概述变量之间的关系简明、全面概述变量之间的关系; ;利用解析式可以求任意函数值利用解析式可以求任意函数值. .缺点：不够形象、直观，并且不是每一个函数都有解析式缺点：不够形象、直观，并且不是每一个函数都有解析式. .(2)(2)图象法图象法. .优点：能形象直观表示函数

5、的变化情况优点：能形象直观表示函数的变化情况. .缺点：只能近似求出函数值且有时误差较大缺点：只能近似求出函数值且有时误差较大. .(3)(3)列表法列表法. .优点：不用计算可直接看出与自变量对应的函数值优点：不用计算可直接看出与自变量对应的函数值. .缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的函数值缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的函数值. .类型一类型一 函数解析式的求法函数解析式的求法 【典型例题】【典型例题】 1.1.已知反比例函数已知反比例函数f(x)f(x)满足满足f(3)f(3)-6-6，f(x)f(x)的解析式为的解析式为_._.2.2.已知已知 求求f(x)f(x)fx 1

6、x2 x ，18xf(x)=类型一类型一 函数解析式的求法函数解析式的求法 【典型例题】【典型例题】 1.1.已知反比例函数已知反比例函数f(x)f(x)满足满足f(3)f(3)-6-6，f(x)f(x)的解析式为的解析式为_._.2.2.已知已知 求求f(x)f(x)fx 1x2 x ，18xf(x)=2.2.方法一：方法一：( (换元法换元法) )令令 1 1t(t1)t(t1)，则，则x x(t(t1)1)2 2，f(t)f(t)(t(t1)1)2 2 t t2 21.1.f(x)f(x)x x2 21(x1)1(x1)方法二：方法二：( (配凑法配凑法) )xx2 2 ( ( 1)1)

7、2 21 1，f( f( 1)1)( ( 1)1)2 21.1.又又 1111，f(x)f(x)x x2 21(x1)1(x1)x22t 1xxxxx求函数解析式的两种方法求函数解析式的两种方法方法一：方法一：待定系数法待定系数法适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等. .操作过程：操作过程：方法二：方法二：换元法换元法适用条件：已知适用条件：已知y=f(g(x)y=f(g(x)，求，求f(x)f(x)的解析式的解析式. .操作过程：操作过程：提醒：提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域.

8、 .【变式训练】【变式训练】1.1.已知已知f(x)f(x)是一次函数，且是一次函数，且f(f(x)f(f(x)4x4x3 3， 求求f(x)f(x)【解析】【解析】设设f(x)=ax+b(a0),f(x)=ax+b(a0),则则f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=af(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2 2x+ab+b=4x+3,x+ab+b=4x+3, 解得解得 或或故所求的函数为故所求的函数为f(x)=2x+1f(x)=2x+1或或f(x)=-2x-3.f(x)=-2x-3.2a4,ab b 3, a2,b 1a2,b3.2.2.已知已知g(x-1)=2x+

9、6,g(x-1)=2x+6,则则g(3)=_.g(3)=_.答案：答案：14143.3.若若g(x+1)=2x-2,g(x)=4g(x+1)=2x-2,g(x)=4，则，则x x的值为的值为_._.答案：答案：4 44.4.如图，函数如图，函数f(x)f(x)的图象是曲线的图象是曲线OABOAB，其中点，其中点O O，A A，B B的坐标的坐标分别为分别为(0,0)(0,0)，(1,2)(1,2)，(3,1)(3,1)，则，则f( )f( )的值等于的值等于_._.【解析】【解析】f(3)=1, =1,f( )=f(1)=2.f(3)=1, =1,f( )=f(1)=2.答案：答案：2 21f

10、(3)1f(3)1f(3)类型类型 二二 函数的图象及其简单应用函数的图象及其简单应用1.1.函数函数y=x+ y=x+ 的图象是图中的的图象是图中的( )( )2.2.画出下列函数的图象画出下列函数的图象(1)y= +1,x1,2,3,4,5.(1)y= +1,x1,2,3,4,5.(2)y=x(2)y=x2 2+2x,x+2x,x-2,2-2,2. .xxx2C C2.(1)2.(1)用列表法可将函数用列表法可将函数y= +1,xy= +1,x1,51,5，xZxZ表示为：表示为： x2x x1 12 23 34 45 5y y2 23 3325272【拓展提升】【拓展提升】1.1.描点法

11、画函数图象的流程描点法画函数图象的流程2.2.画函数图象的三点注意画函数图象的三点注意注意一：先确定定义域，在定义域内画图；注意一：先确定定义域，在定义域内画图；注意二：实、虚点注意二：实、虚点( (线线) )要分清；要分清；注意三：标出关键点注意三：标出关键点. .例例 画出函数画出函数y=|x|y=|x|的图象的图象. .x xo oy y知识探究（二）知识探究（二）解：由绝对值的概念，有解：由绝对值的概念，有,0,0.x xyx x所以，函数的图像所以，函数的图像如图所示。如图所示。 所谓所谓“分段函数分段函数”，习惯上指在定义域的不同，习惯上指在定义域的不同部部分，有不同的对应法则的函

12、数，对它应有以下两点分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。域是各段值域的并集。练练. 已知函数已知函数f (x)=x+2, (x1)x2, (1x2)2x, ( x2 )若若f(x)=3, 则则x的值是的值是( )A. 1B. 1或或32C. 1, , 332D. 3D 练习：画出函数练习：画出函数y=|x-2|的图像的图像.x xo oy y 今后，在画出一些简单函

13、数如一今后，在画出一些简单函数如一次函数、反比例函数、二次函数的图次函数、反比例函数、二次函数的图像时，我们可以不再列表，直接描点像时，我们可以不再列表，直接描点作出即可。作出即可。归纳：归纳：图形平移的方法图形平移的方法1.2.1函数的表示法（二）函数的表示法（二）1. 已知函数已知函数f (x)=2x+3, x1,x2, 1x1,x1, x1 .(1)求求fff(2) ;(2) 当当f (x)=7时时,求求x ;x=-502. 设设A=0,2, B=1,2, 在下列各图在下列各图中中, 能表示能表示f:AB的函数的函数是是( ).xxxxyyyy000022222222ABCDD3.已知函

14、数已知函数f(x)在在-1,2上的图象如图所示，求上的图象如图所示，求f(x)的解析式的解析式.2021011)(xxxxxf4.函数函数y=f(x)的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为（的解析式为（ ）A.f(x)=(x-a)2(b-x) B.f(x)=(x-a)2(x+b)C.f(x)=-(x-a)2(x+b) D.f(x)=(x-a)2(x-b)A问题提出问题提出1.1.设集合设集合A=x|xA=x|x是正方形是正方形 ，B=y|y0,B=y|y0,对对应关系应关系f f：正方形：正方形面积，那么从集合面积，那么从集合A A到集到集合合B B的对应是否是函数

15、？为什么？的对应是否是函数？为什么？2.2.函数是函数是“两个数集两个数集A A、B B间的一种确定的对间的一种确定的对应关系应关系”，如果集合，如果集合A A、B B不都是数集，这种不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？对应关系又怎样解释呢？知识探究（一）知识探究（一）考察下列两个对应：考察下列两个对应：AB图图1 1图图2 2AB思考思考1:1:上述两个对应有何共同特点？上述两个对应有何共同特点？集合集合A A中的任何一个元素，在集合中的任何一个元素，在集合B B中都有唯中都有唯一确定的元素和它对应一确定的元素和它对应. .思考思考2:2:我们把具有上述特点的对应叫做映我们把具有上述特点的

16、对应叫做映射，那么如何定义映射？射，那么如何定义映射？ 设设A A、B B是两个非空的集合，如果按某一是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系个确定的对应关系f f，使对于集合，使对于集合A A中的任中的任意一个元素意一个元素x x，在集合，在集合B B中都有唯一确定的中都有唯一确定的元素元素y y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f f：ABAB为为从集合从集合A A到集合到集合B B的一个映射的一个映射. . 其中集合其中集合A A中的元素中的元素x x称为称为原象原象，在集合，在集合B B中与中与x x对应的元素对应的元素y y称为称为象象. .思考思考3:3:下图中的对应

17、是不是映射？为什么？下图中的对应是不是映射？为什么？AB B图图1 1AB B图图2 2思考思考4:4:在我们的生活中处处有映射，你能举在我们的生活中处处有映射，你能举一个实例吗？一个实例吗？0000906045301232221BA求正弦判断下列对应关系是不是映射？判断下列对应关系是不是映射？BA求平方332211941941332211BA开平方BA2 乘以123456123(1)A=P|P数轴上的点数轴上的点,B=R,对应关系对应关系f：数：数轴上的点与它所代表的实数对应轴上的点与它所代表的实数对应(2)A=P|P是平面直角坐标系中的是平面直角坐标系中的点点,B=(x,y)|xR,yR,对应关系对应关系f：平面：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应直角坐标系中的点与它的坐标对应(3)A=x|x是育华中学的班级是育华中学的班级,B=x|x是育华中是育华中学的学生学的学生,对应关系对应关系f：每一个班级对应班里的：每一个班级对应班里的学生学生映射映射f:ABf:AB，可理解为以下几点：，可理解为以下几点：2 2、A A中每个元素在中每个元素在B B中必有惟一的元素和中必有惟一的元素和它对应；它对应；3 3、A A中元素与中元