解析几何第四版吕林根课后习题答案

1、第三章平 面 与 空 间 直 线§ 3.1平面的方程1. 求以下各平面的坐标式参数方程和一般方程：(1) 通过点Mi(3,1, 1)和点M2(1, 1,0)且平行于矢量 1,0,2的平面(2)通过点Mi(1, 5,1)和M2(3,2, 2)且垂直于xoy坐标面的平面；(3)四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直 线CD的平面，并求通过直线 AB且与ABC平面垂直的平面。解：(1) M1M2 2, 2,1，又矢量 1,0,2平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：4x 3y 2z 70(2) 由于平面垂直于xoy面，

2、所以它平行于z轴，即0,0,1与所求的平面平行，又M；M； 2,7, 3，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：7(x 1)2( y 5)0，即卩 7x 2y 170。(3) (i)设平面通过直线AB,且平行于直线CDAB 4,5, 1 , CD 1,0,2从而的参数方程为：一般方程为：10x 9y 5z 740。(ii)设平面 通过直线AB,且垂直于 ABC所在的平面AB 4,5, 1 , AB AC 4,5, 1 0, 1,1 4,4,4 41,1,1均与平行，所以的参数式方程为：一般方程为：2x y 3z 20.2. 化一般方程为截距式与参数式：解：与三个坐标轴的交点

3、为：(4,0,0),(0 2,0), (0,0,4),所以，它的截距式方程为： 上丄？ 1.424又与所给平面方程平行的矢量为：4, 2,0,4,0,4,所求平面的参数式方程为：3. 证明矢量v X,Y,Z平行与平面Ax By Cz D 0的充要条件为：AX BY CZ 0.证明：不妨设A 0，那么平面Ax By Cz D 0的参数式方程为： 故其方位矢量为： B,1,0, C,0,1，AA从而v平行于平面Ax By Cz D 0的充要条件为："BCV，BA ,1,0,C,0,1共面AAAX BY CZ 0.4. 连接两点A(3,10, 5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x

4、4y z 10，求B点的z坐标.解:AB 3,2,5 z而AB平行于7x 4y z 10由题 3 知：(3) 7 2 4 (z 5)0从而z 18.5. 求以下平面的一般方程.通过点1 2, 1,1和2 3, 2,1且分别平行于三坐标轴的三个平面；过点 3,2, 4且在x轴和y轴上截距分别为2和3的平面；与平面5x y 2z 3 0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面两点i 3, 1,2 , 2 4, 2, 1 ,求通过i且垂直于1,2的平面；原点在所求平面上的正射影为2,9, 6 ；求过点i 3, 5,1和2 4,1,2且垂直于平面x 8y 3z 1 0的平面.x 2 y 1 z 1解：平行于

5、X轴的平面方程为1100.即z 1 0.1 0 02419同理可知平行于y轴，z轴的平面的方程分别为z 1 0,x y 1 0.设该平面的截距式方程为丄？ 1,把点 3,2, 4代入得c2 3 c故一般方程为12x 8y 19z 240.假设所求平面经过X轴，那么0,0,0为平面内一个点，5,1, 2和1,0,0为所求平面的方位矢量，x 0 y 0 z 0二点法式方程为51201 0 0二一般方程为2y z 0.同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x 5z 0,x 5y 0. 1 21, 1, 3 . 1 2垂直于平面该平面的法向量n 1, 1,3 ,平面通过点1 3, 1,2 ,的点位

6、式方程为y 13 z 20.化简得x y 3z(5) op2,9, 6 .2 cos,cos11因此平面2 0.9,cos11那么该平面的法式方程为：-x11611.9 y 11眾 11 0.(6)平面x 8y 3z 10的法向量为n 1, 8,3 , M1M21,6,1，点从4,1,2写出平面的点位式方程为0，那么A3kJ126,3 11 3B2,C1 11 114,D那么一般方程Ax By262874 ,Cz D0,即：13x y7z 370.6.将以下平面的一般方程化为法式方程。解： D 3.将的一般方程乘上靑.得法式方程盏2y5z303。0.1.12.将的一般方程乘上12X3. D2.

7、1.将的一般方程乘上1.得法式方程x 20.1.即-或99将的一般方程乘上0.191或9或?得法式方程为r447cx y z 0.9997 .求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解：1 .D35.1化为法式方程为即爲30原点指向平面 的单位法矢量为J它的方向余弦为cos2,cos7討s乡原点o到平面的距离为PD 5.2。21.£化为法式方程为-3x |y 3z7 0原点指向平面的单位法矢量为n01 23,3,，它的方向余弦为cos1,cos32,cos3扌原点0到平面的距离pD 7.第20页8.三角形顶点A 0, 7,0 ,B 2, 1,1,C 2,

8、2,2.求平行于VABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。uuur uuurrrr解：设ABa, ACb.点A 0, 7,0 .那么a2,6,1 ,b2,9,2写出平面的点位式方程x y 7 z2 610292设一般方程 Ax By Cz D 0. A 3.B2,C6, D 140.那么 】.p D 2.7相距为2个单位。那么当p 4时D 28.当 p 0时D 0.所求平面为3x 2y 6z 28 0.和3x 2y 6z 0.9 .求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴 ox,oy与oz上的截距之比为 a:b:c 1:3: 2的平面。解：设a x,b 3x, c 2x.Q abc 0.设

9、平面的截距方程为-1. a b c即 bcx acy abz abc.又Q原点到此平面的距离d6.abc6.所求方程为x y - 7.3 210.平面-1 - 1分别与三个坐标轴交于点A,B,C.求VABC的面积。 abc&uuruur解A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0, c) AB a,b,0, AC a,0,cuuu uuur AB ACuu uuir Lbc,ca,ab ; AB AC 寸b2c2 3c2a2a2b2 . svabc = 2、.KF11.设从坐标原点到平面的距离为求证证明：由题知:p.111.ab22 c1P从而有-1P1 1b2 c2.3.2平面与

10、点的相关位置1. 计算以下点和平面间的离差和距离:(1)M ( 2,4,3)，2xy 2z(2)M (1,2, 3)，5x3y z40.解:故离差为:的方程法式化,2x3(M)( 2)(3的距离d得:12y z331-4313.2)(M)(2)类似(1)，可求得(M)v'35v'35v'35 35(M)0.2. 求以下各点的坐标:(1)在y轴上且到平面2 2y 2z0的距离等于4个单位的点;解：(1)设要求的点为M(O,y°,O)那么由题意yo 16 yo 5或 7.即所求的点为(0, -5 , 0)及(0, 7, 0)。(2) 设所求的点为(0,0, Z0)

11、那么由题意知：由此，z。2 或-82/13。故，要求的点为(0,0, 2)及(0,0, 82)。13(3) 设所求的点为(X0,0,0)，由题意知：由此解得：X。2或11/43。所求点即(2, 0，0)及(11/43，0，0)。3.四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B( 2,11, 5),C(1, 1,4)，计算从顶点S向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程为:所以，咼h4.求中心在C(3, 5,2)且与平面2x3z 110相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面：2xy 3z 110的距离，它为:2 在X轴上且到平面12x 16y 15z 1 0和2x 2y z 1

12、0距离相等的点。 5 6 11282.14 ,1414所以，要求的球面的方程为:(x 3)2 (y5)2(z 2)256.即：x2 y2 z2 6x 10y 4z 185 .求通过x轴其与点M 5,4,13相距8个单位的平面方程。解：设通过x轴的平面为By Cz 0.它与点M 5,4,13相距8个单位，从而4B 13C| B2 C28. 48B2 104BC 105C20.因此 12B 35C 4B 3C0.从而得 12B 35C0 或 4B 3C 0.于是有 B:C 35:12 或 B:C 3:4 .所求平面为35y 12z 0或3y 4z 0.6.求与以下各对平面距离相等的点的轨迹 3x6

13、y 2z 70和4x3y 50 ； 9xy 2z 140和9xy 2z60.1解：1 :丄 3x 6y 2z 7071令3x 6y 2z 771 4x 3y 55化简整理可得:13x51 y 10z0 与 43 x9y 10z 700.对应项系数相同,可求d'D1 D 21464 从而直接写屮所求的方2,从而直接写出所求口J方2程：9x y 2z 40.9判别点M(2 -1 1 )和N (1 2 -3)在由以下相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内?(1) 1：3x y 2z 30与(2) 1： 2x y 5z 10 与 2解：(1)将 M( 2 -1

14、 1)，那么M N在1的异侧2 2 1再代入2，得：2 2 1'1 4 32: x 2y z 403x 2y 6z 10N (1 2 -3)代入 1，得:4 7 04 4 06 12 303 2 6 3 0MN在 2的同侧MN在相邻二面角内代入i，得:(2)将 M (2 -1 1) N (1 2 -3那么MN在1的异侧。再代入2，得:6 6 2 1 13 03 4 18 120 0那么MN在2的异侧MN在对顶的二面角内10试求由平面1 :2x y 2z 3 0 与 23x 2y 6z 1 0所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点1，2，-3P到1 2的距离相解：设px y z 为二

15、面角的角平分面上的点，点2x y 2z 3一 22 12 223x 2y 6z 1 化简得 5x 3y 32z 19 0(1)7? 22 衣化旧得 23x y 4z 24 0(2)把点P代入到1 2上，1 02 0在1上取点18 0 0代入 1 2，10 2 05在2 上取点0 0 -6 代入 1 2， 1' 0 2 02为所求，解平面的方程为：3x y 4z 24 03.3两平面的相关位置1.判别以下各对直线的相关位置:(1)x2y4z1 0与八z4230 ；(2)2xy2z50 与 x 3y z10 ；(3)6x2y4z50 与 9x 3y6z920。解：(1)1:2:1 14形：

16、1，1中的两平面平行不重合；2中两平面相交;(2)2:( 1):( 2)1:3:( 1)，2.分别在以下条件下确定l,m,n的值：1使l 3x m 1y n 3z 80和m 3x n 9y l 3z 160表示同一平面；2使2x my 3z 50与lx 6y 6z 20表示二平行平面；3使lx y 3z 10与7x 2y z 0表示二互相垂直的平面。解：1欲使所给的二方程表示同一平面，那么:即：从而：171337，m， n 。9992欲使所给的二方程表示二平行平面，那么:所以：14， m 3。3欲使所给的二方程表示二垂直平面，那么:所以：l 1。73. 求以下两平行平面间的距离：119x 4y

17、 8z 210， 19x 4y 8z 420 ；23x 6y 2z 70， 3x 6y 2z 140。解：1将所给的方程化为：所以两平面间的距离为：2-1 = 1。2同1可求得两平行平面间的距离为 1+2=3。4. 求以下各组平面所成的角：1 x y 110，3x80 ；(2) 2x 3y 6z 120， x 2y 2z 70。解:(1)设1 : xy 110,23x 80(1,2)或3。44(2)设1:2x 3y6z 120 ,2 : x 2y 2z 70(1,2)cos 1 或(1,1 82)cos 。21215.求以下平面的方程：(1)通过点Mj 0,0,1和M2 3,0,0且与坐标面x

18、Oy成60°角的平面；过z轴且与平面2x y ,5z 70成60°角的平面.设所求平面的方程为舟b又xoy面的方程为z=0,所以cos60z 1.1110 0 13b_22_1 11 3b12解得b矗匸所求平面的方程为y"T".261,即 x . 26y 3z 30设所求平面的方程为Ax By0；那么 cos602A B15 2、A B2 .4 13A2 8AB 3B20, A3B所求平面的方程为x3y 0 或 3x y 0.§ 3.4空间直线的方程1. 求以下各直线的方程:(1) 通过点A( 3,0,1)和点B(2, 5,1)的直线；(2)

19、通过点M0(X0,y0,Z0)且平行于两相交平面(3) 通过点M(1 5,3)且与x,y,z三轴分别成60 ,45 ,120的直线；(4) 通过点M(1,0, 2)且与两直线上 三和- 山 垂直的直线;111110(5) 通过点M(2, 3, 5)且与平面6x 3y 5z 20垂直的直线。解：(1)由本节(3.4 6)式，得所求的直线方程为: 即：丄，亦即上三J。5 50110(2)欲求直线的方向矢量为：所以，直线方程为:xX。B1B2C1C2C1C2zZ0A1B1A2B2A1A2y y。(3)欲求的直线的方向矢量为：cos60 ,cos45 ,cos120故直线方程为：y 5空。 1421(

20、4) 欲求直线的方向矢量为：1,1, 1 1, 1,01, 1, 2 ,所以，直线方程为：x 1 y z 2 。1 1 2(5) 欲求的直线的方向矢量为：6, 3, 5 ,所以直线方程为：x 2 y 3 z 5。6 352 .求以下各点的坐标：(1)在直线口 上与原点相距2 5个单位的点;2 13(2)关于直线；xyy4J： 0与点艸1)对称的点解：(1)设所求的点为M(x, y,z)，贝卩：即：(12t)2(8 t)2(8 3t)2252 ,解得：t 4或627所以要求的点的坐标为：(9,12,20),(6, 1|°)。(2)直线的方向矢量为：1, 1, 42,1, 26, 6,3

21、，或为2, 2,1 ,过P垂直与直线的平面为：2(x 2) 2y (z 1) 0，即 2x 2y z 30，该平面与直线的交点为(1,1,3)，所以假设令P(x,y,z)为P的对称点,1 zTX 0, y 2,z7，即 P (0,2,7)。3.求以下各平面的方程:(1) 通过点P(2,0, 1)，且又通过直线丄 口 的平面;2 13(2) 通过直线 口 口 以且与直线1 51平行的平面；(3)通过直线(4)通过直线y -二且与平面3x 2y z 50垂直的平面;3 2；：；z 19 00向三坐标面所引的三个射影平面。解: (1因为所求的平面过点p(2,0, 1)和p ( 1,0,2)，且它平行

22、于矢量2,1,3 ,所以要求的平面方程为:即 x 5y z 10。1,3,5 ,(2)直线的方向矢量为 2, 1,11,2, 1平面方程为：1,8,13 ,(3)要求平面的法矢量为2, 3,2 3,2, 1平面的方程为：(x 1) 8(y 2) 13(z 2)0,即 x 8y 13z 90。(4)由方程5x 8y 3z 9 02x 4y z 10分别消去x , y , z得到：36 y 11z 230， 9x z 70， 11x 4y 60此即为三个射影平面的方程。4. 化以下直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦:(1)2x3xz 102z 3 0(2)x2xz 64y(

23、3)解：(1)1 11 2211 22 331直线的方向数为:(3):1:( 5射影式方程为:3z51z5259 ，3z51 z5z，方向余弦为:cos35355335cos15-3551 35，标准方程为:cos15 35. 355(2)直线的方向数为:°44:3:( 4),x射影式方程为：y24418，4z 639z42x 即y标准方程为：耳方向余弦为： cos14144,cos .41cos1 11 1:1 10 00 1:1 0(3)直线的方向数为:0:( 1):( 1)441。0:1:1 ,射影式方程为:标准式方程为：罕方向余弦为：cos 0， cos1，cos5. 一线与

24、三坐标轴间的角分别为,.证明sin2sin2si n22.2 2 2 ,cos cos cos 1 ,sin21si n21 sin21 ,即§ 3.5直线与平面的相关位置1. 判别以下直线与平面的相关位置：(1) 一?与4x2y 2z 3 ;2 73(2) X 丄-与 3x 2y 7z 8 ；3 275x3y2z50(3) y与 4x 3y 7z 70 ；2x y z 10x t(4) y 2t 9 与 3x 4y 7z 100。z 9t 4解：(1)( 2) 4(7)(2)3(2)0 ,而 432( 4)203170 ,所以，直线与平面平行。(2) 3 3 2 ( 2)17 70

25、所以，直线与平面相交，且因为©21，3 27直线与平面垂直。(3) 直线的方向矢量为：5, 3,22, 1, 15,9,1，4 5 3 9 7 10，而点M( 2, 5,0)在直线上，又4 ( 2)3 ( 5)70，所以，直线在平面上。(4) 直线的方向矢量为1, 2,9，直线与平面相交。2. 试验证直线I : J 与平面：2x y z 3 0相交，并求出它的1 1 2交点和交角。解:2 ( 1) 1 1 1 230直线与平面相交又直线的坐标式参数方程为： y 1 tz 1 2t设交点处对应的参数为to ,to1，从而交点为1，0, -1又设直线I与平面的交角为，那么:sin2(1)

26、 11 12 1岛6263.确定I, m的值，使：1直线口 口 ？与平面lx 3y 5z 1 0平行;4 31x 2t 22直线 y 4t 5与平面lx my 6z 7 0垂直。z 3t 1解：1欲使所给直线与平面平行，那么须:2欲使所给直线与平面垂直，那么须:所以：l 4, m 8。4.决定直线AxA2xBy C1z °和平面(A1B?y C2Z 0A2)x (B1 B2)y (C1 C2)z 0 的相互位置解：在直线上任取M1X1，y1，zJ，有:这说明M1在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上证明 设直线与X,Y,Z轴的交角分别为依次为,.那么，一，2 2 2 cos 22

27、2 coscos 2 2从而有cos22 2coscos2.6.求以下球面的方程,.而直线与yoz,zox,xoy面的交角-.而 cos2cos2cos21.21.(1) 与平面x+2y+3=0相切于点M 1,1, 3且半径r=3的球面;(2) 与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点M 5, 1, 1的球面.解：y 1 |t为过切点且垂直与平面的直线33显见是这条直线的方向余弦3 3 3取t 3,那么得x 2,y 3；取t 3,那么得 x 0, y 1,z5.故所求球面有两个：x22 y 32 z 1 29,与x2 y 1 2 z 5 29

28、.x 5 6t,y 1 3t,z 1 2t为过点且垂直于两平面的直线，将其代入第 二个平面方程，得t 2,反代回参数方程，得x 7,y 5,z 3.设球之中心为C ,半径为r ,那么C 1,2,1,r25 1 21 2 21 1 249 .故所求球面方程为 x 1 2 y 2 2 z 1 249.3.7空间直线的相关位置1.直线方程A： B： Ci D2 0o的系数满足什么条件才能使:3直线与x轴重合1 直线与x轴相交；2直线与x轴平行;解：1所给直线与x轴相交Xo使A1x0 D10 且 A2x0 D20A1 D10且A， A不全为零。A? D 22 x轴与平面Ax B1y C1z D1 0平

29、行又x轴与平面A2X B?y C2Z D2 0平行，所以 即A1 A2 0，但直线不与x轴重合，D1,D2不全为零。3 参照2有 A1 A2 0，且 D1 D2 0。2. 确定值使以下两直线相交：13X ： 2Z 6 0 与 z 轴；x 4y z 15 02口 口 口与 x 1 y 1 z。1 2解：1假设所给直线相交，那么有类似题1： 从而5。2假设所给二直线相交，那么从而： 5。43. 判别以下各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。x 2y 2z 0 与 x 2y z 11 03x 2y 6 0 与 2x z 14 0(2) x

30、 3 y 8 z 3 与 x 3 y 7 z 6 ；1 "i 3 r 4 ；x t(3) y 2t 1 与 2LJ y 4 一。4 175z t 2解：(1)将所给的直线方程化为标准式，为：(-2 ): 3: 4=2: (-3 ): (-4 )二直线平行。又点(3,3，0)与点(7, 2, 0)在二直线上，矢量7 3,2 3,011,5,0平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量2 42 4为：11 52,3,4, ,05,22, 19，2 40。873 611270 0 ,24|6153I311324270_ J270 究303, 1,13,2,4 |厉_15_310从而平面方程为

31、：5(x 7) 22(y 2) 19(z 0) 0， 即 5x 22 y 19z 93 3(2)因为 33二直线是异面的。二直线的距离：d131 0 ,5工 4： 7： (-5 )(3)因为1 24 7但是：1： 2：(-1 )3,1, 1 ,所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为1,2 14,7, 5平面的方程为：3x4.给定两异面直线:1，试求它们的公垂线方程。解：因为2,1,01,0,11, 2,公垂线方程为:即 x 2y 5z 8,2x 2y 2z 20亦即 x 2y 5z 8 0。x y z 105.求以下各对直线间的角1宁4yy2z2z6z3z 2解1cosx1x2&quo

32、t;"2y1y22222乙 一 X2yZ2Z1Z263654124i 4813672776.aa bbarccos72 或773x2x直线4x4yy72arccos .77y3zarccos烫或1952z2z6z20的对称式方程为02 0的对称式方程为:098arccos195设d和d分别是坐标原点到点cc dd时，直线MM通过原点uiuuOM a, b,cuumrOM a ,b , cx10z116124z 34M (a,b,c)和 Muuuu uumrOM OMa ,b ,c的距离，证明当aa bb ccuuuu uuuir uuuu uuuur OM OM OM OMuuuu

33、uuuur/. OM /OMuuuu uuuirt 、亠 uuuu uuuurcos(OM ,OM ) dd 时，必有 cos(OM ,OM )1当aa bb cc dd时，直线MM 通过原点.7.求通过点1,0, 2且与平面3x y 2z 1 0平行,又与直线 乞丄卫- 421相交的直线方程.解 设过点1,0, 2的所求直线为/ 它与平面3x y 2z 1 0平行,所以有3x y 2z 0(1)又T直线与直线相交，那么必共面. 又有7x+|8y-12z=0由(1),(2)得 X：Y：Z23 : 312 7 : 74:50:31而 4:50:314:2 :1所求直线的方程为 丄工口.45031

34、8.求通过点4,0, 1且与两直线xyz1,与xyz3都相交的直2x y z 2 2x 4y z 4线方程.解设所求直线的方向矢量为v x, y, z , 那么所求直线可写为上互.X Y ZT 直线h平行于矢量n1n21,1,12, 1, 10,3, 3矢量v 0,3, 3为直线h的方向矢量.1 1由于110因此令y=o解方程组得1 2x=1,z=o二点(1,0,0) 为直线li上的一点.二直线li的标准方程为 丄7 丄 J2 .5 16v I与li,l2都相交且h过点Mi 1,0,0方向矢量为v0,3, 3.3 01有 m1 p, v1, v 0330X Y Z即 X+3 Y+3Z=0.即

35、X-13 Y-3Z=0.得 X: Y:Z=30:6:-16又V 30:6: 160:3: 3,即v不平行v1 -30:6: 16 5:1:6,即v不平行v2 -所求直线方程为:9.求与直线x2y 1 z 3平行且和以下两直线相交的直线.871z5x6z2x4丿z4x3,z3y5x2t3x5t10y3t5,y4t7z tz t解 在两直线上分别取两点M1 9,0,39 ,M 2 0, 3, 4,第一条直线的方向矢量为v1 0,1,0 ,第二条直线的方向矢量为 v 3,2,6 ,作两平面：即 x 8z 3030;8x 9y z 310,将其联立即为所求直线的方程x 3 y 5 z2310,即 2x

36、 3y 5z 210(1)(2)联立:2x 3y 5z 210x y z 170871x 10y 7 z541871(2)0,即 x y z 170这就是所要求的直线方程.10-.求过点210且与直线1写舟筈垂直相交的直线方程-解设所求直线的方向矢量为v0那么所求直线I。可写为X,Y,Zz 0z . 3X+2 Y-2Z=0(1)即 50X-69Y+6Z=0由(1),(2) 得 X :Y: Z 120:131:311二所求直线Io为:§ 3.6空间直线与点的相关位置1. 直线Ax By C1z D1 0通过原点的条件是什么?A2x B2y C2z D20解：直线通过原点 故条件为D1 D2 0。2. 求点p(2,3, 1)到直线2x 2y z 3 0