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1、第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为XY1 2 3 11/6 1/9 1/18 2 1/3a1/9求a.分析:dsfsd1f6d54654646解答:由分布律性质ijPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得
2、; a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示: (1)Pa<Xb,Yc;解答:Pa<Xb,Yc=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示: (2)P0<Yb; 解答:P0<Yb
3、=F(+,b)-F(+,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示: (3)PX>a,Yb.解答:PX>a,Yb=F(+,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (1)P12<X<32,0<Y<4; 解答:P12<X<23,0<Y<4 PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=14+0+0=14.习题3(
4、2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (2)P1X2,3Y4;解答:P1X2,3Y4=PX=1,Y=3+PX=1,Y=4+PX=2,Y=3+PX=2,Y=4=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (3)F(2,3).解答:F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量,且 PX0,Y0=37,
5、60;PX0=PY0=47,求PmaxX,Y0.解答:PmaxX,Y0=PX,Y至少一个大于等于0 =PX0+PY0-PX0,Y0 =47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列
6、数值中的值: (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布.解答:(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件:
7、 X=-1,Y=0, X=0,Y=13, X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均为不可能事件,其概率必为零. 因而得到下表: XY 01/31 -1 01/121/3 0 1/600 2 5/1200(2)PY=0=PX=-1,Y=0+PX=0,Y=0+PX=2,Y=0
8、160; =0+16+512=712,同样可求得 PY=13=112,PY=1=13,关于的Y边缘分布见下表:Y 01/31 pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为
9、0; f(x,y)=1200ex2+y2200,求PXY.解答:由于PXY+PX>Y=1,且由正态分布图形的对称性,知 PXY=PX>Y, 故 PXY=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; &
10、#160; (2)求PX<1,Y<3; (3)求PX<1.5; (4)求PX+Y4.解答:如图所示(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1, 确定常数k.0224k(6-x-y)dydx=k02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)PX<1,Y<3=01dx2318(6-x-y)
11、dy=38.(3)PX<1.5=01.5dx2418(6-x-y)dy=2732.(4)PX+Y4=02dx24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为 f(x,y)=cxy,0x1,0y10,其它,试求:(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答:(1)由于1=-+-+f(x,y)dxdy=c0101xydxdy=c4,c=4
12、.(2)当x0或y0时,显然F(x,y)=0;当x1,y1时,显然F(x,y)=1;设0x1,0y1, 有 F(x,y)=-x-yf(u,v)dudv=40xudu0yvdv=x2y2.设0x1,y>1, 有 F(x,y)=PX1,Yy=40xudu01ydy=x2.最后,设x>1,0y1, 有 &
13、#160; F(x,y)=PX1,Yy=401xdx0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)=0,x0或y0x2,0x1,y>1x2y2,0x1,0y1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
14、; f(x,y)=4.8y(2-x),0x1,xy10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答:fX(x)=-+f(x,y)dy =0x4.8y(2-x)dy,0x10,其它=2.4x2(2-x),0x10,其它.fY(y)=-+f(x,y)dx =0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里
15、服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度.解答:区域G的面积A=01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)=6,0x1,x2yx0,其它,从而fX(x)=-+f(x,y)dy=6x2xdy=6(x-x2),0x1, 即 &
16、#160; fX(x)=6(x-x2),0x10,其它, fY(y)=-+f(x,y)dx=6yydx=6(y-y),0y1,即fY(y)=6(y-y),0y10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为XY 01 01 7/157/307/301/15(1)求Y的边缘分布律;(2)
17、求PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定X与Y是否独立?解答:(1)由(x,y)的分布律知,y只取0及1两个值. Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7 Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3.(2)Py=0x=0=Px=0,y=0Px=0=23, Py=1x=0=13.(3)已知Px=0,y=0=715, 由(1)知Py=0=0.7, 类似可得
18、160; Px=0=0.7.因为Px=0,y=0Px=0Py=0, 所以x与y不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为 XY 5152535455 5152535455 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.0
19、3(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律.解答:(1)边缘分布律为X 5152535455pk 0.180.150.350.120.20对应X的值,将每行的概率相加,可得PX=i.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加,可得PY=j.Y 5152535455pk 0.280.280.220.090.13(2)当Y=51时,X的条件分布律为 PX=kY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28,
20、 k=51,52,53,54,55.列表如下:k 5152535455 PX=kY=51 6/287/285/285/285/28习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示,试求:(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律;(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律.XY 012 012 1/41/8001/301/601/8解答:由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为X 012 pk 3/81/37/24&
21、#160;Y 012 pk 5/1211/241/8故(1)在Y=1条件下,X的条件分布律为X(Y=1) 012 pk 3/118/110(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律为Y(X=2) 012 pk 4/703/7习题4 已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=3x,0<x<1,0<y<x0,其它, 求:(1)边缘概率密度函数;(2)条件概率密度函数.解答:
22、(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=3x2,0<x<10,其它, fY(y)=-+f(x,y)dx=32(1-y2),0<y<10,其它.(2)对y(0,1), fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,y<x<1,0,其它,对x(0,1), fYX(yx)=f(x,y)fX(x)=1x,0<y<x0,其它.习题5X与Y相互独立,其概率分布如表(a)及表(b)所示,求(X,Y)的联合概率分布,PX+Y=1, PX+Y0.X-2-101/2
23、60;pi 1/41/31/121/3表(a) Y-1/213 pi 1/21/41/4表(b)解答:由X与Y相互独立知 PX=xi,Y=yi=PX=xiPY=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为XY-1/213-2-101/2PX=-2PY=-1/2PX=-1PY=-1/2PX=0PY=-1/2PX=1/2PY=-1/2PX=-2PY=1PX=-1PY=1PX=0PY=1PX=1/2PY=1PX=-2PY=3PX=-1PY
24、=3PX=0PY=3PX=1/2PY=3亦即表XY -1/213 -2-101/2 1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12 PX+y=1=PX=-2,y=3+PX=0,Y=1=116+148=112, PX+Y0=1-PX+Y=0
25、160; =1-PX=-1,Y=1-PX=12,Y=-12 =1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:558:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为
26、; fY(y)=2(5-y)25,0y50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答:由题意知X的密度函数为 fX(x)=15,0x50,其它,因为X与Y相互独立,所以X与Y的联合密度为: fXY(x,y)=2(5-y)12
27、5,0y5,0x50,其它,故此人能及时上火车的概率为 PY>X=05x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布,且X与Y相互独立,求(X,Y)的联合概率密度函数.解答:由题意知,随机变量X,Y的概率密度函数分别是 fX(x)=12e
28、-x22, fY(y)=12e-y22因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合概率密度函数是 f(x,y)=12e-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-x(-<x<+),问:X与X是否相互独立?解答:若X与X相互独立,则a>0, 各有 &
29、#160; PXa,Xa=PXaPXa,而事件XaXa, 故由上式有 PXa=PXaPXa,PXa(1-PXa)=0PXa=0或1=PXa(a>0)但当a>0时,两者均不成立,出现矛盾,故X与X不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y)=12e-y2,y>00,y0,(1)求X与Y的联合概率密度;(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答:(1)由题设易知f
30、X(x)=1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立,故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)fY(y)=12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因a有实根=判别式2=4X2-4Y0=X2Y,故如图所示得到: Pa有实根=PX2Y=x2>yf(x,y)dxdy=01dx0x212e-y2dy =-01e-x22d
31、x=1-1e-x22dx-0e-x22dx =1-212-1e-x22dx-12-0e-x22dx =1-2(1)-(0),又(1)=0.8413, (0)=0.5, 于是(1)-(0)=0.3413
32、, 所以 Pa有实根=1-2(1)-(0)1-2.51×0.3413=0.1433. 3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立,且都等可能地取1,2,3为值,求随机变量U=maxX,Y和V=minX,Y的联合分布.解答:由于UV, 可见PU=i,V=j=0(i<j).此外,有 PU=V=i=PX=Y=i=1/9(i=1,2,3), PU=i,V=
33、j=PX=i,Y=j+PX=j,Y=i=2/9(i>j),于是,随机变量U和V的联合概率分布为 V概率U1 2311/92/92/9201/92/93001/9习题2设(X,Y)的分布律为XY -112 -12 1/101/53/101/51/101/10试求:(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=ma
34、xX,Y的分布律.解答:与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型,本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意,Z的相同值的概率要合并.概率 1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymaxx,Y (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1)X+Y -20134 pi 1/101/51/21/101/10(2)XY -2013
35、4 pi 1/21/51/101/101/10(3)X/Y -2-1-1/212 pi 1/51/53/101/51/10(4)maxX,Y -112 pi1/101/57/10 习题3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D=(x,y0x2,0y1的均匀分布,且 U=0,XY1,X
36、>Y, V=0,X2Y1,X>2Y,求U与V的联合概率分布.解答:依题(U,V)的概率分布为 PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY =01dxx112dy=14, PU=0,V=1=PXY,X>2Y=0,
37、; PU=1,V=0=PX>Y,X2Y=PY<X2Y =01dyy2y12dx=14,PU=1,V=1=1-PU=0,V=0-PU=0,V=1-PU=1,V=0=1/2,即UV 01 01 1/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为
38、60; f(x,y)=12e-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答: FZ(z)=PZz=PX2+Y2z.当z<0时,FZ(z)=P()=0;当z0时, FZ(z)
39、=PX2+Y2z2=x2+y2z2f(x,y)dxdy =12x2+y2z2e-x2+y22dxdy=1202d0ze-22d =0ze-22d=1-e-z22.故Z的分布函数为
40、60; FZ(z)=1-e-z22,z00,z<0.Z的分布密度为 fZ(z)=ze-z22,z>00,z0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为
41、 f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立?(2)求Z=X+Y的概率密度.解答:(1)fX(x)=-+f(x,y)dy =0+12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x0 under2line令x+y=tx+12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x0,由对称性知fY(y)
42、=12(y+1)e-y,y>00,y0, 显然 f(x,y)fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=-+f(x,z-x)dx.当x>0z-x>0 即 x>0x<z时,f(x,z-x)0, 所以当z0时,fZ(z)=0;当z>0时,fZ(z)=0z12xe-xdx=12z2e-z.于是,Z=X+Y的概率密度为
43、160; fZ(z)=12z2e-z,z>00,z0.习题6设随机变量X,Y相互独立,若X服从(0,1)上的均匀分布,Y服从参数1的指数分布,求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答:据题意,X,Y的概率密度分布为 fX(x)=1,0<x<10,其它, fY(y)=e-y,y00,y<0,由卷积公
44、式得Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)=-+fX(x)fY(z-x)dx=-+fX(z-y)fY(y)dy =0+fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见:当z0时,有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=0+0e-ydy=0;当z>0时, fZ(z)=0+fX(z-y)e-ydy=max(0,z-1)ze-ydy=e-max
45、(0,z-1)-e-z,即 fZ(z)=0,z01-e-z,0<z1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=be-(x+y),0<x<1,0<y<+,0,其它.(1)试确定常数b;(2)求边缘概率密度fX(x),fY(y);(3)求函数U=maxX,Y的分布函数.解答:(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1,确定常数b.
46、 01dx0+be-xe-ydy=b(1-e-1)=1,所以b=11-e-1,从而 f(x,y)=11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+,0,其它.(2)由边缘概率密度的定义得
47、0;fX(x)=0+11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它, fY(x)=0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+,0,其它(3)因为f(x,y)=fX(x)fY(y),所以X与Y独立,故 FU(u)=PmaxX,Yu=PXu,Yu=FX(u)FY(u),其中
48、; FX(x)=0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1,所以 FX(x)=0,x0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x1.同理FY(y)=0ye-tdt=1-e-y,0<y<+,0,y0,因此 FU(u)=0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0u<1,1-e-u,u1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成,L1和L2的寿命分别为
49、X与Y, 其概率密度分别为 1(x)=e-x,x>00,x0, 2(y)=e-y,y>00,y0,其中>0,>0, 试求系统L的寿命Z的概率密度.解答:设Z=minX,Y, 则 F(z)=PZz=Pmin(X,Y)z =1-Pmin(X,Y)>z=1-PXz,Yz
50、60; =1-1PX<z1-PY<z=1-1-F1z1-F2z 由于 F1(z)=0ze-xdx=1-e-z,z00,z<0, F2(z)=1-e-z,z00,z<0, 故 F(z)=1-e-(+)z,z00,z<0,从而 (z)=(+)e-(+)z,z>00,z0.习题9设随机变量X,Y相互独立,且服从同一分布,试证明:
51、0; Pa<minX,Yb=PX>a2-PX>b2.解答:设minX,Y=Z,则 Pa<minX,Yb=FZ(b)-FZ(a), FZ(z)=PminX,Yz=1-PminX,Y>z =1-PX
52、>z,Y>z=1-PX>zPY>z =1-PX>z2,代入得 Pa<minX,Yb=1-PX>b2-(1-PX>a2) =P
53、X>a2-PX>b2.证毕. 复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下:X=0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y=0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.解答:(1)有放回抽样,(X,Y)分布律如下:PX=0,Y=0=10×1012×12=2536; PX=1,Y=0=2×1012×12=536,PX=0,Y=1=10
54、215;212×12=536, PX=1,Y=1=2×212×12=136,(2)不放回抽样,(X,Y)的分布律如下:PX=0,Y=0=10×912×11=4566, PX=0,Y=1=10×212×11=1066,PX=1,Y=0=2×1012×11=1066, PX=1,Y=1=2×112×11=166,Y X 01 01 45/6610/6610/661/66 习题2假设随机变量Y服从参数为1的
55、指数分布,随机变量 Xk=0,若Yk1,若Y>k(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答:因为Y服从参数为1的指数分布,X1=0,若Y11,若Y>1, 所以有 PX1=1=PY>1=1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1,同理 PX2=1=PY>2=2+e-ydy=e-2, PX2=0=1-e-2,因为 PX1=1,X2=1=PY>2=e-2, PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1-e-2, PX1=0,X2=0=PY1=1-e-1, PX1=0,X2=1=PX1=0-PX1=0,X2=0=0,故(X1,X
56、2)联合分布率与边缘分布率如下表所示:X1slashX201PX1=i01-e-101-e-11e-1-e-2e-2e-1PX2=j1-e-2e-2 习题3在元旦茶话会上,每人发给一袋水果,内装3只橘子,2只苹果,3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只,以X记橘子数,Y记苹果数,求(X,Y)的联合分布.解答:X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2. PX=0,Y=0=P=0, PX=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70, PX=0,Y=2=C30C22C32/C84=3/70, PX=1,Y=0=C31C20C33/C84=3/70, PX=1,Y=1=C31C21C32
57、/C84=18/70, PX=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70, PX=2,Y=0=C32C20C32/C84=9/70, PX=2,Y=1=C32C21C31/C84=18/70, PX=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70, PX=3,Y=0=C33C20C31/C84=3/70, PX=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70, PX=3,Y=2=P=0,所以,(X,Y)的联合分布如下:XY 0123 012 03/709/703/702/7018/7018/702/703/
58、709/703/700习题4设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处:XY y1 y2 y3 pi x1 1/8 x21/8 pj1/6 1 解答:由题设X与Y相互独立,即有 pij=pipj(i=1,2;j=1,2,3), p1-p21=p11=16-18=124,又由独立性,有
59、p11=p1p1=p116故p1=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1p2, 即18=14p2.从而p2=12. 类似的有 p3=13,p13=14,p2=34.将上述数值填入表中有XY y1 y2 y3 pi x11/24 1/8 1/12 1/4 x21/8 3/8 1/4 3/4 pj1/6 1/2 1/3 1 习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表:求:(1)
60、a值; (2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答:(1)because由分布律的性质可知ijPij=1, 故14+14+16+a=1,a=13.(2)因F(x,y)=PXx,Yy当x<1或y<-1时,F(x,y)=0;当1x<2,-1y<0时,F(x,y)=PX=1,Y=-1=1/4;当x2,-1y<0时, F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5/12;当1x<2,y>0时, F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2;当x2,y0时, F(x,
61、y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1 +PX=1,Y=0+PX=2,Y=0 =1;综上所述,得(X,Y)联合分布函数为 F(x,y)=0,x<1或y<-11/4,1x<2,-1y<05/12,x2,-1y<01/2,1x<2,y01,x2,y0.(3)由FX(x)=PXx,Y<+=xi<xj=1+pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为: FX(x)=0,x<114+14,1x<214+14+16+13,x2=0,x<11/2,1x<21,x2,同理,由FY(y)=PX<+,Yy=yiyi=1+Pij,
62、得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为 FY(y)=0,y<-12/12,-1y<01,y0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2R,求:(1)常数c; (2)PX2+Y2r2(r<R).解答:(1)因为 1=-+-+f(x,y)dydx=x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy =020Rc(R-)dd=cR33,所以有c=3R3.(2)PX2+Y2r2=x2+y2<r23R3R-x2+y2dxdy =020r3R3(R-)dd=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)=1,0x2
63、,max(0,x-1)ymin(1,x)0,其它, 求fX(x)和fY(y).解答: max(0,x-1)=0,x<1x-1,x1, min(1,x)=x,x<11,x1,所以,f(x,y)有意义的区域(如图)可分为 0x1,0yx,1x2,1-xy1,即f(x,y)=1,0x1,0yx1,1x2,x-1y1,0,其它 所以 fX(x)=0xdy=x,0x<1x-11dy=2-x,1x20,其它, fY(y)=yy+1dx=1,0y10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则,应满足的条件是¯, 若X与Y独立,则=¯,=¯.解答:应填+=13;29
64、;19.由分布律的性质可知ijpij=1, 故 16+19+118+13+=1,即+=13.又因X与Y相互独立,故PX=i,Y=j=PX=iPY=j, 从而 =PX=2,Y=2=PX=iPY=j, =(19+)(14+)=(19+)(13+13)=29, =PX=3,Y=2=PX=3PY=2 =(118+)(13+)=(118+)(13+13), =19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)=ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数;(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求PYX;(5)求条件概率密
65、度函数fXY(xy); (6)求PX<2Y<1.解答:(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1求常数c. 0+0+ce-(2x+y)dxdy=c(-12e-2x)vline0+(-e-y)0+=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=-+f(x,y)dy=0+2e-2xe-ydy,x>00,x0=2e-2x,x>00,x0,fY(y)=-+f(x,y)dx=0+2e-2xe-ydx,y>00,其它=e-y,y>00,y0.(3)F(x,y)=-x-yf(u,v)dvdu =0x0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它 =(1-e-2x
66、)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)PYX=0+dx0x2e-2xe-ydy=0+2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时, fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2e-2xe-ye-y,x>00,x0=2e-2x,x>00,x0.(6)PX<2Y<1=PX<2,Y<1PY<1 =F(2,1)01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量,证明X与Y相互独立.解答:因为X的分布函数为F(x)=0,当x<0时1,当x0时,
67、设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y),则当x<0时,对任意y, 有 F(x,y)=PXx,Yy=P(Xx)(Yy) =P(Yy)=P=0=FX(x)FY(y);当x0时,对任意y, 有 F(x,y)=PXx,Yy=P(Xx)(Yy) =PS(Yy)=PYy=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义,由F(x,y)=FX(x)FY(y)知,X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立,且服从同一分布,试证PXY=1/2.解答:因为X,Y独立,所以f(x,y)=fX(x)fY(y). PXY=xyf(x,y)dxdy=xyfX(x)fY(y
68、)dxdy =-+fY(y)-yfX(x)dxdy=-+fY(y)FY(y)dy =-+FY(y)dFY(y)=F2(y)2-+=12,也可以利用对称性来证,因为X,Y独立同分布,所以有 PXY=PYX,而PXY+PXY=1, 故 PXY=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立,求参数a,b,c的值.解答:关于X的边缘分布为X x1x2x3 pka+1/9b+1/9c+1/3 关于Y的边缘分布为Y y1y2 pk1/9+a+c4/9+b 由于X与Y独立,
69、则有p22=p2p2 得 b=(b+19)(b+49) p12=p1p2 得 19=(a+19)(b+49) 由式得b=29, 代入式得a=118. 由分布律的性质,有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.易验证,所求a,b,c的值,对任意的i和j均满足pij=pi×pj.因此,所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且PX1X2=0=1.(1)求X1和X2的联合分布律; (2)问X1和X2是否独立?解答:(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律,再根据条件PX1X2=0=1, 求出联合分布.
70、列表如下:X2X1-101 PX2=j 01 1/401/401/20 1/21/2PX1=i 1/41/21/4 1由已知PX1X2=0=1, 即等价于PX1X20=0, 可知PX1=1,X2=1=0,PX1=-1,X2=1=0.再由p1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1=p-11=14,p10=p1-p11=14,从而得p00=0.(2)由于p-10=14p-1p0=1412=18, 所以知X1与X2不独立.习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=1R2,x2+y2R20,其它,(1)求X与Y的边缘概率密度;(2)求条件概率密度,并问X与Y是否独立?解答:(1)当x<-R或x>R时,fX(x)=-+f(x,y)dy=-+0dy=0;当-RxR时,fX(x)=-+f(x,y)dy=1R2-R2-x2R2-x2dy=2R2R2
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