概率习题答案3

1、第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为XY1 2 3  11/6 1/9 1/18 2 1/3a1/9求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性质ijPij=1, 可知               1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得      

2、;                    a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：  (1)Pa<Xb,Yc;解答：Pa<Xb,Yc=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：  (2)P0<Yb; 解答：P0<Yb

3、=F(+,b)-F(+,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：  (3)PX>a,Yb.解答：PX>a,Yb=F(+,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：  (1)P12<X<32,0<Y<4; 解答：P12<X<23,0<Y<4   PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=14+0+0=14.习题3(

4、2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：  (2)P1X2,3Y4;解答：P1X2,3Y4=PX=1,Y=3+PX=1,Y=4+PX=2,Y=3+PX=2,Y=4=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：  (3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且      PX0,Y0=37,

5、60;PX0=PY0=47,求PmaxX,Y0.解答：PmaxX,Y0=PX,Y至少一个大于等于0                  =PX0+PY0-PX0,Y0                  =47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列

6、数值中的值：                 (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：  

7、  X=-1,Y=0,  X=0,Y=13,    X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表： XY  01/31  -1  01/121/3 0 1/600 2 5/1200(2)PY=0=PX=-1,Y=0+PX=0,Y=0+PX=2,Y=0         &#

8、160;  =0+16+512=712,同样可求得       PY=13=112,PY=1=13,关于的Y边缘分布见下表：Y    01/31  pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为             

9、0;       f(x,y)=1200ex2+y2200,求PXY.解答：由于PXY+PX>Y=1，且由正态分布图形的对称性，知          PXY=PX>Y, 故       PXY=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; &

10、#160;           (2)求PX<1,Y<3;  (3)求PX<1.5;          (4)求PX+Y4.解答：如图所示(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1, 确定常数k.0224k(6-x-y)dydx=k02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)PX<1,Y<3=01dx2318(6-x-y)

11、dy=38.(3)PX<1.5=01.5dx2418(6-x-y)dy=2732.(4)PX+Y4=02dx24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为                 f(x,y)=cxy,0x1,0y10,其它,试求：(1)常数c;  (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=-+-+f(x,y)dxdy=c0101xydxdy=c4,c=4

12、.(2)当x0或y0时，显然F(x,y)=0;当x1,y1时，显然F(x,y)=1;设0x1,0y1, 有           F(x,y)=-x-yf(u,v)dudv=40xudu0yvdv=x2y2.设0x1,y>1, 有          F(x,y)=PX1,Yy=40xudu01ydy=x2.最后，设x>1,0y1, 有 &

13、#160;        F(x,y)=PX1,Yy=401xdx0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式              F(x,y)=0,x0或y0x2,0x1,y>1x2y2,0x1,0y1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为        

14、;      f(x,y)=4.8y(2-x),0x1,xy10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=-+f(x,y)dy      =0x4.8y(2-x)dy,0x10,其它=2.4x2(2-x),0x10,其它.fY(y)=-+f(x,y)dx      =0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里

15、服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为                  f(x,y)=6,0x1,x2yx0,其它,从而fX(x)=-+f(x,y)dy=6x2xdy=6(x-x2),0x1, 即         &

16、#160;        fX(x)=6(x-x2),0x10,其它,         fY(y)=-+f(x,y)dx=6yydx=6(y-y),0y1,即fY(y)=6(y-y),0y10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为XY    01  01 7/157/307/301/15(1)求Y的边缘分布律；(2)

17、求PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定X与Y是否独立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值.   Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7   Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3.(2)Py=0x=0=Px=0,y=0Px=0=23,   Py=1x=0=13.(3)已知Px=0,y=0=715, 由(1)知Py=0=0.7, 类似可得      &#

18、160;       Px=0=0.7.因为Px=0,y=0Px=0Py=0, 所以x与y不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为 XY  5152535455  5152535455 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.0

19、3(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答：(1)边缘分布律为X   5152535455pk  0.180.150.350.120.20对应X的值,将每行的概率相加,可得PX=i.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得PY=j.Y  5152535455pk  0.280.280.220.090.13(2)当Y=51时,X的条件分布律为   PX=kY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28,

20、 k=51,52,53,54,55.列表如下:k  5152535455 PX=kY=51 6/287/285/285/285/28习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律;(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律.XY    012  012 1/41/8001/301/601/8解答：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为X   012 pk  3/81/37/24&

21、#160;Y   012  pk 5/1211/241/8故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为X(Y=1)    012 pk 3/118/110(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为Y(X=2)   012 pk 4/703/7习题4 已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=3x,0<x<1,0<y<x0,其它, 求：(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.解答：

22、(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=3x2,0<x<10,其它,  fY(y)=-+f(x,y)dx=32(1-y2),0<y<10,其它.(2)对y(0,1),  fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,y<x<1,0,其它,对x(0,1),  fYX(yx)=f(x,y)fX(x)=1x,0<y<x0,其它.习题5X与Y相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布，PX+Y=1, PX+Y0.X-2-101/2 

23、60;pi 1/41/31/121/3表(a) Y-1/213  pi 1/21/41/4表(b)解答：由X与Y相互独立知          PX=xi,Y=yi=PX=xiPY=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为XY-1/213-2-101/2PX=-2PY=-1/2PX=-1PY=-1/2PX=0PY=-1/2PX=1/2PY=-1/2PX=-2PY=1PX=-1PY=1PX=0PY=1PX=1/2PY=1PX=-2PY=3PX=-1PY

24、=3PX=0PY=3PX=1/2PY=3亦即表XY  -1/213 -2-101/2  1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12    PX+y=1=PX=-2,y=3+PX=0,Y=1=116+148=112,    PX+Y0=1-PX+Y=0              &#

25、160;  =1-PX=-1,Y=1-PX=12,Y=-12                 =1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:558:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为               

26、;    fY(y)=2(5-y)25,0y50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为                  fX(x)=15,0x50,其它,因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：          fXY(x,y)=2(5-y)12

27、5,0y5,0x50,其它,故此人能及时上火车的概率为             PY>X=05x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是              fX(x)=12e

28、-x22，  fY(y)=12e-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是                    f(x,y)=12e-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-x(-<x<+),问：X与X是否相互独立？解答：若X与X相互独立，则a>0, 各有    &

29、#160;      PXa,Xa=PXaPXa,而事件XaXa, 故由上式有    PXa=PXaPXa,PXa(1-PXa)=0PXa=0或1=PXa(a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与X不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)=12e-y2,y>00,y0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知f

30、X(x)=1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)fY(y)=12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因a有实根=判别式2=4X2-4Y0=X2Y,故如图所示得到：    Pa有实根=PX2Y=x2>yf(x,y)dxdy=01dx0x212e-y2dy                =-01e-x22d

31、x=1-1e-x22dx-0e-x22dx                =1-212-1e-x22dx-12-0e-x22dx                =1-2(1)-(0),又(1)=0.8413, (0)=0.5, 于是(1)-(0)=0.3413

32、, 所以    Pa有实根=1-2(1)-(0)1-2.51×0.3413=0.1433. 3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=maxX,Y和V=minX,Y的联合分布.解答：由于UV, 可见PU=i,V=j=0(i<j).此外，有      PU=V=i=PX=Y=i=1/9(i=1,2,3),      PU=i,V=

33、j=PX=i,Y=j+PX=j,Y=i=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为 V概率U1 2311/92/92/9201/92/93001/9习题2设(X,Y)的分布律为XY   -112  -12 1/101/53/101/51/101/10试求：(1)Z=X+Y;   (2)Z=XY;    (3)Z=X/Y;        (4)Z=ma

34、xX,Y的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.概率      1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymaxx,Y  (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1)X+Y -20134  pi 1/101/51/21/101/10(2)XY -2013

35、4  pi 1/21/51/101/101/10(3)X/Y -2-1-1/212  pi 1/51/53/101/51/10(4)maxX,Y -112  pi1/101/57/10 习题3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D=(x,y0x2,0y1的均匀分布，且                 U=0,XY1,X

36、>Y,  V=0,X2Y1,X>2Y,求U与V的联合概率分布.解答：依题(U,V)的概率分布为    PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY                    =01dxx112dy=14,    PU=0,V=1=PXY,X>2Y=0,  

37、;  PU=1,V=0=PX>Y,X2Y=PY<X2Y                    =01dyy2y12dx=14,PU=1,V=1=1-PU=0,V=0-PU=0,V=1-PU=1,V=0=1/2,即UV   01 01 1/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为  

38、60;           f(x,y)=12e-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：                     FZ(z)=PZz=PX2+Y2z.当z<0时，FZ(z)=P()=0;当z0时，    FZ(z)

39、=PX2+Y2z2=x2+y2z2f(x,y)dxdy         =12x2+y2z2e-x2+y22dxdy=1202d0ze-22d     =0ze-22d=1-e-z22.故Z的分布函数为                     

40、60; FZ(z)=1-e-z22,z00,z<0.Z的分布密度为                      fZ(z)=ze-z22,z>00,z0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为              

41、  f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy         =0+12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x0         under2line令x+y=tx+12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x0,由对称性知fY(y)

42、=12(y+1)e-y,y>00,y0, 显然            f(x,y)fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=-+f(x,z-x)dx.当x>0z-x>0 即 x>0x<z时，f(x,z-x)0, 所以当z0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为 &#

43、160;           fZ(z)=12z2e-z,z>00,z0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为            fX(x)=1,0<x<10,其它, fY(y)=e-y,y00,y<0,由卷积公

44、式得Z=X+Y的概率密度为    fZ(z)=-+fX(x)fY(z-x)dx=-+fX(z-y)fY(y)dy         =0+fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=0+0e-ydy=0;当z>0时，     fZ(z)=0+fX(z-y)e-ydy=max(0,z-1)ze-ydy=e-max

45、(0,z-1)-e-z,即                fZ(z)=0,z01-e-z,0<z1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=be-(x+y),0<x<1,0<y<+,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=maxX,Y的分布函数.解答：（1）由-+-+f(x,y)dxdy=1，确定常数b. 

46、          01dx0+be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而              f(x,y)=11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得        

47、0;fX(x)=0+11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，          fY(x)=0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故          FU(u)=PmaxX,Yu=PXu,Yu=FX(u)FY(u)，其中   

48、; FX(x)=0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以        FX(x)=0,x0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x1.同理FY(y)=0ye-tdt=1-e-y,0<y<+,0,y0，因此     FU(u)=0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0u<1,1-e-u,u1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为

49、X与Y, 其概率密度分别为        1(x)=e-x,x>00,x0, 2(y)=e-y,y>00,y0,其中>0,>0, 试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=minX,Y, 则    F(z)=PZz=Pmin(X,Y)z        =1-Pmin(X,Y)>z=1-PXz,Yz   

50、60;    =1-1PX<z1-PY<z=1-1-F1z1-F2z  由于 F1(z)=0ze-xdx=1-e-z,z00,z<0,    F2(z)=1-e-z,z00,z<0, 故    F(z)=1-e-(+)z,z00,z<0,从而       (z)=(+)e-(+)z,z>00,z0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：

51、0;               Pa<minX,Yb=PX>a2-PX>b2.解答：设minX,Y=Z,则    Pa<minX,Yb=FZ(b)-FZ(a),    FZ(z)=PminX,Yz=1-PminX,Y>z         =1-PX

52、>z,Y>z=1-PX>zPY>z         =1-PX>z2,代入得    Pa<minX,Yb=1-PX>b2-(1-PX>a2)                        =P

53、X>a2-PX>b2.证毕. 复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X=0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y=0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：PX=0,Y=0=10×1012×12=2536; PX=1,Y=0=2×1012×12=536,PX=0,Y=1=10&#

54、215;212×12=536, PX=1,Y=1=2×212×12=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：PX=0,Y=0=10×912×11=4566, PX=0,Y=1=10×212×11=1066,PX=1,Y=0=2×1012×11=1066, PX=1,Y=1=2×112×11=166,Y X  01   01 45/6610/6610/661/66 习题2假设随机变量Y服从参数为1的

55、指数分布，随机变量 Xk=0,若Yk1,若Y>k(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1=0,若Y11,若Y>1, 所以有 PX1=1=PY>1=1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1,同理 PX2=1=PY>2=2+e-ydy=e-2, PX2=0=1-e-2,因为 PX1=1,X2=1=PY>2=e-2， PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1-e-2, PX1=0,X2=0=PY1=1-e-1, PX1=0,X2=1=PX1=0-PX1=0,X2=0=0,故(X1,X

56、2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：X1slashX201PX1=i01-e-101-e-11e-1-e-2e-2e-1PX2=j1-e-2e-2 习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求(X,Y)的联合分布.解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2. PX=0,Y=0=P=0, PX=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70, PX=0,Y=2=C30C22C32/C84=3/70, PX=1,Y=0=C31C20C33/C84=3/70, PX=1,Y=1=C31C21C32

57、/C84=18/70, PX=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70, PX=2,Y=0=C32C20C32/C84=9/70, PX=2,Y=1=C32C21C31/C84=18/70, PX=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70, PX=3,Y=0=C33C20C31/C84=3/70, PX=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70, PX=3,Y=2=P=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：XY   0123   012 03/709/703/702/7018/7018/702/703/

58、709/703/700习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：XY y1 y2 y3 pi  x1 1/8    x21/8     pj1/6   1 解答：由题设X与Y相互独立，即有 pij=pipj(i=1,2;j=1,2,3), p1-p21=p11=16-18=124,又由独立性，有

59、p11=p1p1=p116故p1=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1p2, 即18=14p2.从而p2=12. 类似的有 p3=13,p13=14,p2=34.将上述数值填入表中有XY y1 y2 y3 pi  x11/24 1/8 1/12 1/4  x21/8 3/8 1/4 3/4  pj1/6 1/2 1/3 1 习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：求：(1)

60、a值； (2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)； (3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答：(1)because由分布律的性质可知ijPij=1, 故14+14+16+a=1,a=13.(2)因F(x,y)=PXx,Yy当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;当1x<2,-1y<0时，F(x,y)=PX=1,Y=-1=1/4;当x2,-1y<0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5/12;当1x<2,y>0时， F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2;当x2,y0时， F(x,

61、y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1 +PX=1,Y=0+PX=2,Y=0 =1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为 F(x,y)=0,x<1或y<-11/4,1x<2,-1y<05/12,x2,-1y<01/2,1x<2,y01,x2,y0.(3)由FX(x)=PXx,Y<+=xi<xj=1+pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为： FX(x)=0,x<114+14,1x<214+14+16+13,x2=0,x<11/2,1x<21,x2,同理，由FY(y)=PX<+,Yy=yiyi=1+Pij,

62、得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为 FY(y)=0,y<-12/12,-1y<01,y0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2R,求：(1)常数c; (2)PX2+Y2r2(r<R).解答：(1)因为 1=-+-+f(x,y)dydx=x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy =020Rc(R-)dd=cR33,所以有c=3R3.(2)PX2+Y2r2=x2+y2<r23R3R-x2+y2dxdy =020r3R3(R-)dd=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)=1,0x2

63、,max(0,x-1)ymin(1,x)0,其它, 求fX(x)和fY(y).解答： max(0,x-1)=0,x<1x-1,x1, min(1,x)=x,x<11,x1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为 0x1,0yx,1x2,1-xy1,即f(x,y)=1,0x1,0yx1,1x2,x-1y1,0,其它 所以 fX(x)=0xdy=x,0x<1x-11dy=2-x,1x20,其它, fY(y)=yy+1dx=1,0y10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则,应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则=¯,=¯.解答：应填+=13;29

64、;19.由分布律的性质可知ijpij=1, 故 16+19+118+13+=1,即+=13.又因X与Y相互独立，故PX=i,Y=j=PX=iPY=j, 从而 =PX=2,Y=2=PX=iPY=j, =(19+)(14+)=(19+)(13+13)=29, =PX=3,Y=2=PX=3PY=2 =(118+)(13+)=(118+)(13+13)， =19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)=ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求PYX;(5)求条件概率密

65、度函数fXY(xy); (6)求PX<2Y<1.解答：(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1求常数c. 0+0+ce-(2x+y)dxdy=c(-12e-2x)vline0+(-e-y)0+=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=-+f(x,y)dy=0+2e-2xe-ydy,x>00,x0=2e-2x,x>00,x0,fY(y)=-+f(x,y)dx=0+2e-2xe-ydx,y>00,其它=e-y,y>00,y0.(3)F(x,y)=-x-yf(u,v)dvdu =0x0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它 =(1-e-2x

66、)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)PYX=0+dx0x2e-2xe-ydy=0+2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时， fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2e-2xe-ye-y,x>00,x0=2e-2x,x>00,x0.(6)PX<2Y<1=PX<2,Y<1PY<1 =F(2,1)01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)=0,当x<0时1,当x0时,

67、设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有 F(x,y)=PXx,Yy=P(Xx)(Yy) =P(Yy)=P=0=FX(x)FY(y);当x0时，对任意y, 有 F(x,y)=PXx,Yy=P(Xx)(Yy) =PS(Yy)=PYy=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证PXY=1/2.解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y). PXY=xyf(x,y)dxdy=xyfX(x)fY(y

68、)dxdy =-+fY(y)-yfX(x)dxdy=-+fY(y)FY(y)dy =-+FY(y)dFY(y)=F2(y)2-+=12,也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有 PXY=PYX,而PXY+PXY=1, 故 PXY=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为X  x1x2x3 pka+1/9b+1/9c+1/3 关于Y的边缘分布为Y    y1y2 pk1/9+a+c4/9+b 由于X与Y独立，

69、则有p22=p2p2 得 b=(b+19)(b+49) p12=p1p2 得 19=(a+19)(b+49) 由式得b=29, 代入式得a=118. 由分布律的性质，有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足pij=pi×pj.因此，所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且PX1X2=0=1.(1)求X1和X2的联合分布律； (2)问X1和X2是否独立？解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件PX1X2=0=1, 求出联合分布.

70、列表如下：X2X1-101 PX2=j    01 1/401/401/20   1/21/2PX1=i 1/41/21/4     1由已知PX1X2=0=1, 即等价于PX1X20=0, 可知PX1=1,X2=1=0,PX1=-1,X2=1=0.再由p1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1=p-11=14,p10=p1-p11=14,从而得p00=0.(2)由于p-10=14p-1p0=1412=18, 所以知X1与X2不独立.习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=1R2,x2+y2R20,其它,(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？解答：(1)当x<-R或x>R时，fX(x)=-+f(x,y)dy=-+0dy=0;当-RxR时，fX(x)=-+f(x,y)dy=1R2-R2-x2R2-x2dy=2R2R2