华师大版九年级数学上册全册教案用

1、第 22 章 一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1. 知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式2ax+bx+c=O (a 0).2. 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元 二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加 对一元二次方程的感性认识 .【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概 念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际 问题的能力 .【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 .【教学重点】判定一个数是否是

2、方程的根 .【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实 际问题的根 .一、情境导入，初步认识问题 1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x (x+10) =900,整理可得 x2+10x-900=0. ( 1 )问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增长率 .解：设这两年的年平均增长率为 x,我们知道，去年年底的图书数是 5万 册，那么今年年底的图书数是5( 1

3、+x)万册，同样，明年年底的图书数又是今年 年底的(1+x)倍，即5 (1+x)( 1+x) =5 (1+x) 2万册.可列得方程5 (1+x)22=7.2，整理可得 5x2+10x-2.2=0 (2)【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题 .二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程( 1)和(2) .显然，这两个方程都不是 一元二次方程 . 那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同 特点呢？共同特点：( 1 )都是整式方程( 2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是 2【归纳总结】 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是

4、2，这样的方程叫做一元二次方程 . 通常可写成如下的一般形式：22ax +bx+c=0 (a、b、c是数，a0).其中ax叫做二次项，a叫做二次项系 数， bx 叫做一次项系数， c 叫做常数项 .例 1 判断以下方程是否为一元二次方程：解：是；不是；是；不是；不是；是 【教学说明】1 一元二次方程为整式方程；2类似这样的方程要 化简后才能判断 .例 2 将方程 8-2x 5-2x =18化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数 . 一次项系数及常数项 .解:2x43x2-7x+1=0； 3， -7， 1.2. 根据以下问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形 式

5、.14 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x；2一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x；-13x+1 仁0; 2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正， 化分为整 .三、运用新知，深化理解1. 将以下方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、 一次项系数及常数项 .2 1 5x2- 1 =4x 2 4x2=81 3 4x x+2 =254 3x-2 x+1 =8x-32解： 1 5x2-4x-1=0 ； 5， -4 ， -1 ；2 2 4x2-81=0； 4， 0， -812 3 4x2+8x-25=

6、0； 4， 8， -253把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一 段的长的平方，求较短一段的长 X.解：14x2=25; 4x2-25=0 ；2xx-2=100; x2-2x-100=0 ;3x= 1-x2; x2-3x+1=0.3. 假设x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，求a的值.解：T x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.3二 4a+8-5=0 解得：a=-.4四、师生互动，课堂小结1. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+c=0 a 0，元二次方程的项及 系数都是根据一般

7、式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3. 在实际问题转化为数学模型一元二次方程的过程中，体会学习一元 二次方程的必要性和重要性.1. 布置作业：从教材相应练习和“习题 22.1 中选取.2. 完成练习册中本课时练习的“课时作业局部.22.2 一元二次方程的解法1. 直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1. 会用直接开平方法解形如a(x-k) 2=b (a O,ab > 0)的方程.2. 灵活应用因式分解法解一元二次方程 .3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用 .【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法 进行教学 .【情感态

8、度】 鼓励学生积极主动的参与“教与“学的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心 .【教学重点】 利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程 .【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程 .一、情境导入，初步认识问：怎样解方程 (x+1) 2=256？解：方法 1 ：直接开平方，得 x+1=±16所以原方程的解是 x1=15,x2=-17方法 2：原方程可变形为：(x+1) 2-256=0，方程左边分解因式，得( x+1+16)( x+1-16) =0 即( x+17)( x-15 ) =0所以 x+17=0 或 x-15=0原方程的解

9、 x1=15,x2=-17教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书二、思考探究，获取新知例 1 用直接开平方法解以下方程(1) (3x+1)( 4)x2+2x+1=42. 用因式分解法解以下方程：3. 把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求 小圆形场地的半径 .解：设小圆形场地的半径为 xm.2那么可列方程2n x=n( x+5)=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如(x+m 2=n (n?0)的方程时，最容易 出现的错误是漏掉负根 .例 2 用因式分解法解以下方程：( 1)5x2-4x=0( 2)3x(

10、 2x+1) =4x+2(3) (x+5)2=3x+15【教学说明】解这里的( 2)( 3)题时，注意整体划归的思想 .三、运用新知，深化理解1. 用直接开平方法解以下方程2( 1)3( x-1 )2-6=02( 2)x2-4x+4=52(3) (x+5)2=25解得 xi=5+5 、2 ,x 2=5-5 , 2 舍去答：小圆形场地的半径为5+5.、2 m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评四、师生互动，课堂小结1. 引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2. 对于形如a x-k 2=b a 0,b > 0的方程，只要把x-k 看作一个整

11、 体，就可转化为x2=n n?0的形式用直接开平方法解.3. 当方程出现相同因式单项式或多项式时，切不可约去相同因式，而 应用因式分解法解.1. 布置作业：从教材相应练习和“习题 22.2 中选取.2. 完成练习册中本课时练习的“课时作业局部.2. 配方法【知识与技能】1. 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2. 在配方法的应用过程中体会“转化的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加 学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二

12、次方程【教学难点】发现并理解配方的方法一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多 6m并且面积为16吊，场地的长和宽分 别是多少？设场地的宽为xm那么长为(x+6)m根据矩形面积为16吊,得到方程x(x+6)=16,整理得到 x【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发 学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0 ？问题1通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例 说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即( x+m 2=n (n

13、 > 0)，运用直接开平方法可求解.问题2你会用直接开平方法解以下方程吗？ ( x+3) 2=252 x +6x+9=252 x+6x=162 x+6x-16=0+6x-16=0.【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 1 / 1 2 2x -x+= x- 234x2+4x+1= 2x+1 2例2列方程：1x2+6x+5=0 2 2x2+6x+2=0 3 1+x 2+2 1+x -4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：1把方程化为一般形式ax2+bx+c=0;2把常数项移到方程的右边;+6x-16=0转

14、化为x+3 2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16,两边都加上9即-2,使左边配成x2+bx+ b2 2的形式，得: 22x +6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：x+3 2=25,开平方,得：x+3=± 5,降次即 x+3=5 或 x+3=-5解一次方程得：xi=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个 非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法例1填空:12x +8x+16= x+43方程两边同时除以二次项系数 a；4方程两边同时加上一次项系数一半的平方；5此时方程的左边是一个完

15、全平方形式，然后利用直接开平方法来解三、运用新知，深化理解1. 用配方法解以下方程：12x2-4x-8=02x2-4x+2=03x -丄 x-1=022. 如果 x2-4x+y2+6y+ . z 2 +13=0, 求 xyz 的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路四、师生互动，课堂小结1. 用配方法解一元二次方程的步骤2. 用配方法解一元二次方程的考前须知.1. 布置作业：从教材相应练习和“习题 22.2 中选取.2. 完成练习册中课时练习的“课时作业局部.3. 公式法【知识与技能】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元

16、二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一 步认识特殊与一般的关系 .【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观 点.八、【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用 .【教学难点】一元二次方程求根公式的推导 .一、情境导入，初步认识用配方法解方程： 1 x2+3x+2=022x2-3x+5=0解： 1x1=-1,x 2=-22无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0 a 0,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 ax2+bx+c=0 a0,试推导它的两个根【分析】因为前面具

17、体数字的题目已做得很多，现在不妨把 a,b,c 也当成 具体数字,根据上面的解题步骤就可以推导下去 .探究 一元二次方程ax2+bx+c=0 a 0的根由方程的系数a,b,c而定，因此:(1) 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac> 0时，将a,b,c代入式子xb . b2 4ac2a就得到方程的根，当2b -4ac v0时,方程没有实数根.(2) X b叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a =0)的求根公式(3) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识 的过程，体会成功的喜

18、悦，可让学生小组展示例1用公式法解以下方程：2 2 2x -4x-仁0 5x+2=3x23( x-2 )(3x-5 ) =0 4x -3x+1=0解：乂1=1+空,X2=1-空2 21 xi=2,x 2=-35 xi=2,x 2=3 无解【教学说明】(1)对、要先化成一般形式；(2)强调确定a,b,c的 值，注意它们的符号；(3)先计算b2-4ac的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1. 用公式法解以下方程：(1) x2+x-12=0(2) x2-2 x- - =042(3) x+4x+8=2x+11(4) x (x-4 ) =2-8x(5) x2+2x=0(6) x2+2、.5x+10=

19、0解：(1) xi=3,X2=-4;2.3、2.3(2) xi=,x 2=2 2(3) Xi=1,X2=-3;(4) Xi=-2+ 6 , X2=-2- 6 ;(5) xi=0,X2=-2;(6) 无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式四、师生互动，课堂小结1. 求根公式的概念及其推导过程.2. 公式法的概念.3. 应用公式法解一元二次方程.1. 布置作业：从教材相应练习和“习题 22.2 中选取.2. 完成练习册中本课时练习的“课时作业局部.4. 一元二次方程根的判别式【知识与技能】1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证;2. 会运用根的判别式求一

20、元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1. 经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2. 向学生渗透分类讨论的数学思想；3. 培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1. 体验数学的简洁美；2. 培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解以下一元二次方程21x +5x+6=0229x -6x+1=023x -2x+3=0解：1X1=-2,x 2=-312X1=x2=3(3)无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回忆已有知识二、思考探究，获取新知

21、观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定 a,b,c的 值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把 b2-4ac叫做一元二 次方程根的判别式，通常用符号“来表示，即 =b2-4ac.我们回忆一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】(1)当4> 0时，方程有两个不相等的实数根：bb2 4acb . b2 4acXi, X2；2a2a(2) 当4 =0时，方程有两个相等的实数根,x i=X2=-;2a(3) 当< 0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定以下方程的根的情况：解：(1)有两个不相等的实数根；(2) 有两个相等的实数根；(3)

22、无实数根；(4) 有两个不相等的实数根.例2 当m为何值时，方程(m+i x2- (2m-3) x+m+1=0,(1) 有两个不相等的实数根？(2) 有两个相等的实数根？(3) 没有实数根?解：(1) mK 丄且 nn-1;41(2) m=i;41(3) m> -.4【教学说明】注意(1)中的m+R0这一条件.三、运用新知，深化理解1. 方程x2-4x+4=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根2. x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2n必有两个不相等的实数 根【答案】1.B2. 证明： x2+2x-m+1

23、=0没有实数根，4-4 (1-m)K 0,二 mK0.对于方程 x2+mx=1-2m即 x2+mx+2m-1=0 =nn-8m+4, / mK 0, > 0,二 x2+mx=1-2m必有 两个不相等的实数根【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1. 用判别式判定一元二次方程根的情况(1) A> 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;(2) A =0时，一元二次方程有两个相等的实数根(3) AV 0时，一元二次方程无实数根.2. 运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为 0这一隐含条 件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述 .1.

24、布置作业：从教材相应练习和“习题 22 . 2 中选取 .2. 完成练习册中本课时练习的“课时作业局部 .*5. 一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1. 引导学生在已有的一元二次方程解法的根底上，探索出一元二次方程根 与系数的关系，及其关系的运用 .2. 通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程 .【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断 的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神 .【情感态度】在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成 质疑和独立思考的习惯 .【教学重点】一元二次方程根与系数

25、之间的关系的运用 .【教学难点】元二次方程根与系数之间的关系的运用、情境导入，初步认识1. 完成以下表格问题你发现了什么规律？ 用语言表达你发现的规律：(两根之和为一次项系数的相反数；两根之 积为常数项) 设方程x2+px+q=0的两根为xi,X2，用式子表示你发现的规律.(x1+x2=-p,x1 x2=q)2. 完成以下表格问题 上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律： 用语言表达发现的规律：(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的 相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比) 设方程ax2+bx+c=0的两根为Xi,X2,用式子表示你发现的规律.(Xi+X2=- b ,x 1 X2

26、 = c )aa二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.ax2+bx+c=0 的两根 X!b b2bb2 4ac,xi+x2=-,2a2aacXi X2=.a【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系,体会知识形成的过程，加深对知识的理解例1不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积：(1) x2-6x-15=0;(2) 3x2+7x-9=0;(3) 5x-1=4x2.解：(1) x1+x2=6,x1 x2=-15;(2) x1+x2=-7,x1 x2=-3 ;351(3)

27、x1+x2=5,x1 x2=-.44【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数例2方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.解：另一根为3， k=3.2【教学说明】此题有两种解法，一种是根据根的定义，将 x=-3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3a , B是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求以下代数式的值三、运用新知，深化理解1. 不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积：(1) x2-3x=15(2) 5x2-1=4x2(3) x2-3x+2=10(4) 4x2-144=0(5) 3x ( x-1 ) =2 ( x-1 )2 26

28、2x-1 = 3-x 2. 两根均为负数的一元二次方程是A. 7x86Xi+X2=- ,X 1X2=- 32. C【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1. 一元二次方程的根与系数的关系.2. 一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.空/谣15作业-12x+5=02B. 6x -13x-5=0C. 4x2+21x+5=02D. x +15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和 为负数，两根之积为正数.【答案】1. 1 Xi+X2=3,x iX2=-152x汁X2=0,x iX2=-13x汁X2=3,XiX2=-84x汁X2=0,

29、x iX2=-36525Xi+X2= ,X 1X2=331.布置作业：从教材相应练习和“习题 22.2 中选取 .2. 完成练习册中本课时练习的“课时作业局部 .22.3 实践与探索【知识与技能】 使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数 学模型来建立一元二次方程 .【过程与方法】 让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会 如何寻找实际问题中的等量关系 .【情感态度】 通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能 力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神 .【教学重点】列一元二次方程解决实际问题 .【教学难点】寻找

30、实际问题中的等量关系 .一、情境导入，初步认识问题1学校生物小组有一块长32m宽20m的矩形试验田，为了管理方便， 准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？问题 2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率二、思考探究，获取新知问题 1 【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540m2 来列方程，设小道的宽为xm,如何来表示种植面积？方法一：如图，由题意得，32X 20-32x-20x+x 2=540 方法二：如图，采用平移的方法更简便 .由题意可得： 20-x32-x

31、=540解得 x1=50,x2=2由题意可得xv 20,x=2【教学说明】引导学生学会一题多解 , 同时要注意检验所解得的结果是否符 合实际意义 .问题 2 【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价 56元经过两次降价降为31.5元，设每次降价的百分率为x，由题意得561-x2=31.5解得 x 1=0.25,x 2=1.75舍去三、运用新知，深化理解1. 青山村种的水稻2021年平均每公顷产量为7200kg,2021年平均每公顷产 量为8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.2. 用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.1求此长方形的宽 .2能

32、围成一个面积为101cm的长方形吗？如能，说明围法.3 假设设围成一个长方形的面积为 S cni,长方形的宽为x cm，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大，最大面积为多少【答案】1.解：设年平均增长率为x,那么有 7200 (1+x) 2=8450,1解得xi=0.08,1224 X2=- 24 -2.08 (舍去).12即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2. 解：(1)设此长方形的宽为xcm,那么长为(20-x)cm.根据题意，得x( 20-x)=75解得：x1=5,x2=15 (舍去).答：此长方形的宽是5cm.(2) 不能.由 x (20-x

33、 ) =101，即 x2-20x+101=0, , 知 A =202-4 X 101=-4 V 0,方程无解，故不能围成一个面积为101cm的长方形.(3) S=x (20-x) =-x2+20x.由S=-x2+20x=- (x-10) 2+100可知，当x=10时，S的值最大，最大面积为2100cm.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第(2)、(3)问中的应用.四、师生互动，课堂小结1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2. 用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程3. 假设平均

34、增长降低率为x，增长或降低前的基数是a,增长或降 低n次后的量是b,那么有：a 1 ± x n=b 常见n=2.1. 布置作业：从教材相应练习和“习题 22.3 中选取.2. 完成练习册中本课时练习的“课时作业局部 .本章复习【知识与技能】掌握一元二次方程的根本概念及其解法；灵活运用一元二次方程知识解决 一些实际问题 .【过程与方法】通过梳理本章知识，回忆解决问题中所涉及到的化归思想、建模思想的过 程，加深对本章知识的理解 .【情感态度】在运用一元二次方程的有关知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学 来源于生活又应用于生活，增强数学的应用意识，感受数学的应用价值，激发 学生的学习兴

35、趣 .【教学重点】一元二次方程的解法及应用 .【教学难点】一元二次方程的应用 .一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1 .一元二次方程的解法教学说明】一般考虑选择方法的顺序：直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法 .2. 一元二次方程根的判别式 =b2-4ac(1) 当4> 0时，方程有两个不相等的实数根；(2) 当4 =0时，方程有两个相等的实数根；(3)当< 0时，方程无实数根.在应用时，要根据根的情况限定的取值，同时应注意二次项系数不为0这一条件 .3. 一元二次方程y=ax2+bx+c (a0)的根与系数的关系，在应用时要注意 变形. 同时要明确根与系数的关系成立

36、的两个条件：(1) a0，(2)A> 04. 应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系， 列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意 .三、典例精析，复习新知例 1 用适当的方法解以下方程2( 1 ) x2-7x=02( 2) x2+12x+27=0( 3) x( x-2 ) +x-2=02( 4) x2+x-2=422( 5) 4( x+2) 2=9( 2x-1 ) 2解：( 1) x1=0,x2=7;( 2) x1=-3,x 2=-9;(3) xi=2,X2=-1;(4) Xi=2,X2=-3;71(5) xi= ,x 2=.48【教学说明】依据各种不同

37、方法所对应方程的特点来解例2关于x的方程ax2- (3a+1) x+2( a+1)=0,有两个不相等的实数根 xi,x 2,且有 xi-x iX2+X2=1-a，贝U a 的值是().A. 1B.-1C.1或-1D.2例3(2021 江苏徐州)为了倡导节能低碳生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，那么一个月的电费为20元；假设超过a千瓦时，那么除交20元外，超过局部每千瓦时要交 元，100 某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20 元.(1) 求a的值；(2) 假设该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦

38、时？解：(1)由题意得 20+ (80-a)x 旦=35,解得 a=30,a2=50, v a>45，100-a=50.(2)设5月份用电x千瓦时，依题意得20+ (x-50 )X卫9=45,解得100x=100，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时.【教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程 的知识来解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的根底上构建方程模型.四、复习训练，稳固提高.A. x=OB. x=3C. xi=O,x 2=-3D. Xi=O,x 2=32. 2021 河北用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是A. x+2 2=3B. x-2 2=

39、3 C. x-2 2=5D.x+2 2=53. 2021 -辽宁本溪一元二次方程 x2-8x+15=0的两个根恰好分别是等腰 ABC的底边长和腰长，那么 ABC的周长为A.13B.11 或 13C.11D.124. 2021 山东日照关于 x的一元二次方程k-2 2x2+ 2k+1x+仁0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是4厂A. k V 且 U 23B. k > 4 且 k工23C. k > 3 且 k工24D. k > 3 且 k工245. 设a,B是一元二次方程 X2+3x-7=0的两个根，那么a 2+4 a + B =.2 1 26. 2021 内蒙古包头关于x

40、的两个方程x -x-2=0与 一有一x 1 x a个解相同，那么a=.7. 2021 湖北鄂州设X1,X2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个根，且2x1 X22+6x2-3 +a=4,那么 a=.8. (2021 山东济宁)一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购置了一 批树苗，园林公司规定：如果购置树苗不超过 60 棵，每棵售价 120 元；如果购 买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但 每棵树苗最低售价不得少于 100元. 该校最终向园林公司支付树苗款 8800元， 请问该校共购置了多少棵树苗？【答案】 1 .D 2.A 3.B 4.C 5.

41、4 6.4 7.108.解：60棵树苗的售价为120X 60=7200 (元)，而7200V 8800,二该 校购置的树苗超过 60棵. 设该校共购置了 x 棵树苗，由题意得 x120-0.5 (x- 60) =8800,解得 x1=220,x2=80，当 x1=220 时，120-0.5 X( 220-60) =40v 100,A x=220不合题意，舍去；当 x=80 时，120-0.5 X( 80-60) =110> 100， x=80，即该校共购置了 80棵树苗.五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回忆本章所学的有关一元二次方程的知识吗？你还有哪 些困惑与疑问？1. 布置作业：

42、从教材本章“复习题中选取 .2. 完成练习册中“本章热点专题训练 .第 23 章 图形的相似23.1 成比例线段1. 成比例线段知识与技能】1. 了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例2. 会利用比例的性质，求出未知线段的长 .【过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力 .【情感态度】感受数学逻辑推理的魅力 .【教学重点】成比例线段的定义 ; 比例的根本性质及直接运用 .【教学难点】比例的根本性质的灵活运用，探索比例的其他性质 .一、情境导入，初步认识挂上两张照片，问：1. 这两个图形有什么联系？它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形 .2. 这两个图形是相似图形

43、，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来 相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的 特征，本节课先学习线段的成比例 .、思考探究，获取新知1. 两条线段的比(1) 回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比拟两线段的大小如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD的长度分别是m n,那么就说这两条线段的比AB：CD=m n,或写成ABCDm，其中，线段AB CD分别 n叫做这两个线段比的前项和后项.如果把m表示成比值k，那么°B=k或AB=kCD.nCD注意：在量线段时要选用同一个长度单位(2) 做一做量出数学书的长和宽(精确到 0.1cm)，并

44、求出长和宽的比.改用m作单位，那么长为0.211m,宽为0.148m,长与宽的比为0.211 :0.148=211 : 148.只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.(3) 求两条线段的比时要注意的问题 两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比； 两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； 两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？学生讨论答：线段的长度比与所采用的长度单位无关2. 成比例线段的定义四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的长度之 比等于

45、另外两条线段的长度之比，女口 -，那么这四条线段a、b、c、d叫做b d成比例线段，简称比例线段3. 比例的根本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a、b、c、d四个数满足a -，那么ad=bc吗？反过来，如果说ad=bc，那么- -吗？与b db d同伴交流如果-c，那么ad=bc.b d假设ad=bca、b、c、d都不等于0，那么-.b d例1在某市城区地图比例尺1 : 9000上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm 10cm.1新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？2新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？解：1 1440 米，900 米.

46、2 8： 5,8 : 5.例2如图，旦-=3,求和；b db d解：4, 口=4.三、运用新知，深化理解【教学说明】分组讨论完成并展示 .四、师生互动，课堂小结1.注意点： 1两线段的比值总是正数； 2讨论线段的比时，不指明 长度单位； 3对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示 .2. 比例尺：图上长度与实际长度的比 .3. 熟记成比例线段的定义 .4. 掌握比例的根本性质，并能灵活运用 .1.布置作业：从教材相应练习和“习题 23.1 中选取 .2. 完成练习册中本课时练习的“课时作业局部 .2. 平行线分线段成比例【知识与技能】了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容 . 能应用

47、定理证明线 段成比例等问题，并会进行有关的计算 .过程与方法】通过定理的推导证明与应用，培养学生探索新知识、提高分析问题和解决 问题的能力，提高学生的识图能力和发散思维能力，以及现有知识向新知识迁 移的能力.【情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学 表达式的对称美.【教学重点】定理的应用.【教学难点】定理的推导证明.一、情境导入，初步认识问题1翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成 的，如图在作业本上任意画一条直线 m与相邻的三条平行线交于 A、B、C三点,得到两条线段AB BC，量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？相等即AB=BC由学

48、生答复.思考：再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两条线段 DE和EF,你发现DE与 EF的长度存在什么关系？由此，我们可以得到AB DFBC EF问题2选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画 m n与它们相交，如 果m n这两条直线平行，观察并思考这时所得的 AD DB FE、EC这四条线段 的长度有什么关系.如果m n这两条直线不平行，你再观察一下，量一量，算 一算，看看它们是否存在类似关系.归纳:ADDBFEEC两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 .简称“平行线分线段成比例二、思考探究，获取新知思考：1如图，当图3中的点A与点F重合时就形成一个三角形的 特殊情况，此时，A

49、D DB AE EC这四条线段之间会有怎样的关系？2如图，当图3中的直线m n相交于第二条平行上某点时，是否也 有类似的成比例线段呢？归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的 对应线段成比例.例 1 如图，I 1 /1 2 /1 3.1 AB=3,DE=2,EF=4求 BC2 AC=8 DE=2 EF=3 求 AB.三、运用新知，深化理解1. 如图，I1/I2/I3,以下比例式中错误的选项是2. 如图，I1/I2/I3,以下比例式中成立的是【答案】 1.D 2.D【教学说明】可由学生独立完成抢答，教师最后点拨 .四、师生互动，课堂小结1. 平行线分线段成比例定理及其推论，注

50、意“对应的含义2. 研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想 .1. 布置作业：从教材相应练习和“习题 23.1中选取 .2. 完成?创优作业?中本课时练习的“课时作业局部 .23.2 相似图形【知识与技能】知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等 . 识别两个多边形是否相似的方法 .过程与方法】在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能力.情感态度】让学生感受数学知识源于生活、用于生活教学重点】相似图形的定义和性质 .【教学难点】相似图形的性质 .一、情境导入，初步认识复习：1. 假设线段 a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm, 那么线段 a,b

51、,c,d 会成比例吗？2. 两张相似的地图中的对应线段有什么关系？都成比例二、思考探究，获取新知相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个 结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本 第 58 页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果 写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流 .同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对 应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有 一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？同学们用格点图 画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是

52、否也具有这种关系对应边成比 例，对应角相等？由此可以得到两个相似多边形的特征：由同学答复，教师板书对应边成比例，对应角相等实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法即如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似识别两个多边形是否相似的标准有：边数相同，对应边要成比例， 对应角要都相等.括号内要求同学填填一填：1两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？ 两个等腰直角三角形呢？2所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？正方形呢？例 1 矩形 ABCDf矩形 A'BCD'中,AB=1.5cm,BC=4.5cm AB=0.8cm,B'

53、C' =2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？例2如下图，四边形ABCD四边形AB'CD'相似，求的度数与x的值:三、运用新知，深化理解1. 矩形 ABCD与矩形 A'BCD 中，AB=16cm,AD=10cm,D'=6cm,矩形 A'BCD'的面积为54cm2这两个矩形相似吗？为什么？ 2.如图，四边形ABCD与四边 形A'BCD是相似的，且CDEC,根据图中的条件，求出未知的边x、y及角a.【答案】1.这两个矩形不相似，由矩形 AB CD的面积为54知A B=54-6=9AB 16 AD 15 AB 厶 AD _.严cm , AfBf 9 WD1 63ArDr2. x=14,y=18, a=85【教学说明】教师引导学生独立完成，让学生演示并讲解，师生共同点评四、师生互动，课堂小结1 .相似多边形的性质：对应边成比例；对应角相等 .2