2017-2018版高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用学案新人教A

1、1.1 回归分析的基本思想及其初步应用学习目标导航1了解回归分析的思想和方法.（重点）2掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法.（重点）3了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法.（难点）0，因此y与x具有正的线性相关关系，(1)正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(X，7 )，(2)正确；AA依据回归方程中b的含义可知，x每变化 1 个单位，y相应变化约 0.85 个单位，(3)正确； 用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确.【答案】(2)(3)教材整理 2 刻画回归效果的方式阅读教材 P4“探究”以下至 P6“例 2”以上内容，完成下列问题.残差A

2、A对于样本点(Xi,yi)(i= 1,2，n)的随机误差的估计值ei=屮一yi,称为相应于点(Xi,y)的残差残差图利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图续表残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高残差平nA残差平方和为瓦yiyi2,残差平方和越小，模型的拟合效果越好方和i = 1nEAyi-yi2i =1相关指1-,氏表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2数R2Ei = 1yiy2越接近于1，表示回归的效果越好-O体验-甲、乙、

3、丙、丁 4 位同学各自对A、B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平nA方和 v (yi-yi)2如表所示:i =13小组合作型（1）有下列说法:1线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法;2利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示;3通过回归方程y=bx+a,可以估计和观测变量的取值和变化趋势；4因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.其中正确命题的个数是（）A.1B. 2C. 3D. 4A AA（2）如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e（单位：亿元），其中AAb= 0.8 ,

4、a= 2, |e| 0.5，如果今年该地区财政收入10 亿元，则今年支出预计不会超过_ 亿.【导学号：81092000】【自主解答】（1）反映的是最小二乘法思想， 故正确.反映的是画散点图的作用，也正确.解释的是回归方程y=bx+a的作用，故也正确.是不正确的，在求回归方程之拟合精度高.【解根据线性相关的知识,散点图同时保持残差平方和越小（对于已经获取的样本数据,nR2表达式中 V （屮一7 ）2为确定的数，则残差平方和i = 1越小，R2越大），由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好，由试验结果知丁要好些【答案】 丁阶股21介作探究通关回归分析的有关概念4前必须进行相关性检验，以体现两

5、变量的关系.5由题意可得：y= 0.8x+ 2+e,当x= 10 时，y= 0.8 x 10+ 2+e= 10 +e,又 |e| 0.5 ,9.5 y0 且 1,c0,a,c为常数)的周围，如何进行适当变换化为线性关系？xX【提示】对y=ca两边取自然对数 Iny= ln(ca),即 Iny= Inc+xlna,y= Iny,令，原方程变为y= Inc+x Ina,x=x,然后按线性回归模型求出 Ina, Inc即可.探究 2 已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个?y=3X2x 1；y=log2x;2y= 4x;y=x.【提示】观察散点图中样本点的分布规律可判断样

6、本点分布在曲线y= 3X2x1附近所以模拟效果最好的为.枚I某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110体重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170所以,5zi = 1氏=1-x123y35.9912.0111体重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)试建立y与x之间的回归方程;12(2)如果一名在校男生身高为168 cm,预测他的体重约为多少？【精彩点拨】先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求

7、解.【自主解答】(1)根据表中的数据画出散点图，如下：60込/20 , *10八身高亦0- - - - - -二-*20 40 60 SO 100 120 140 160 180求由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y=ciec2x的周围，于是令z= Iny,列表如下:x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散点图，如下:02040 W U0 )00 120 I4Q 1M)土AA由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为z= 0.693 + 0.020 x，则

8、有y= e693+20 x.(2)由知，当x= 168 时，y= e.693+.2* 57.57，所以在校男生身高为168 cm,预测他的体重约为 57.57 kg.两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y=C1ec2x,我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z= lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a a= lnC1,b=C2的周围.名师j13再练一题3在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数据如下表:x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程.【解】 作出变量y与x之间的散点图

9、如图所示.由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系.t4210.50.25y1612521由图可知y与t呈近似的线性相关关系.55又t= 1.55 ,y= 7.2，二:tiyi= 94.25，二 t：= 21.312 5 ,i =1i =194.255X1.55X7.2221.312 55X1.554.134 4 tf 5t2i =1a=yb t=7.24.134 4X1.550.8,y= 4.134 4t+ 0.8.A4 134 4所以y与x的回归方程是y=+ 0.8.01234 Jki设y= -，令t= -，贝 Vy=kt.由y与x的数据表可得y与t的数据表:XX作出y与t的散点图如图所示

10、.5_ _vtiyi- 5t yi =1514i.下列结论正确的是()函数关系是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系；回归分析是对具有 函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；回归分析是对具有相关关系的两个变量进 行统计分析的一种常用方法.A.B.C.D.【解析】 函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系， 故正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故错误，正确.【答案】 C2下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点()x1234y1357A.(2,3)B. (1.5,4)C. (2.5,4)D. (2.5,5)【解析】

11、线性回归方程必过样本点的中心(x,y),即(2.5,4)，故选 C.【答案】 C3在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4 个不同的模型它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A. 模型 1 的相关指数R2为 0.98B. 模型 2 的相关指数R2为 0.80C. 模型 3 的相关指数R2为 0.50D. 模型 4 的相关指数R2为 0.25【解析】 相关指数氏越接近于 1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高.【答案】 A4.对具有线性相关关系的变量x和y,由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5 ,且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为 _ .【导学号：81092002】

12、阶股3体验落实评价(课堂回请即时达标15_ AA _ A_【解析】由题意知x= 2,y= 3,b=6.5，所以a=ybx= 3 6.5x2= 10, 即回归直线的方程为y= 10+ 6.5x.A【答案】y= 10+ 6.5x5.某零售店近五个月的销售额和利润额资料如下表:月份ABCDE销售额x(千万兀)35679利润额y(百万兀)23345画出散点图.观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；(2)用最小二乘法求利润额y关于销售额x的线性回归方程；当销售额为 4(千万元)时，利用的结论估计该零售店的利润额(百万元).【解】(1)散点图如下.-02468万无两个变量呈正线性相关关系.设线性回归方

13、程是y=bx+a. 由题中的数据可知y= 3.4 ,x= 6.5Z XixyiyAi =1所以b=-5 2Z Xixi =1+1Xijjl+!XLI+1X0.6+3X1.6=9+1+1+9_ u=20=2.A _ A1a=yb x=3.4x6=0.4.所以利润额y关于销售额x的线性回归方程为y= 0.5x+ 0.4.A(3)由(2)知，当x= 4 时，y= 0.5x4+ 0.4 = 2.4 ,所以当销售额为 4 千万元时，可以估计该店的利润额为2.4 百万元.学业分层测评16nA2（yiyi）2越小，即残差平方和越小，故选B.i =1【答案】B3.已知x和y之间的一组数据xo123y1357则

14、y与x的线性回归方程y=bx+a必过点()A. (2,2)B. 2, 0C. (1,2)D. 2，4131【解析】 x = 4(0 + 1 + 2+ 3) = 2，y= -(1 + 3+ 5+ 7) = 4,A A A冷、选择题（建议用时：45 分1 在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（）【解结合线性回归模型y=bx+a+e可知，解释变量在x轴上，预报变量在y轴上，故选 B.2.在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（)A.越大B.越小C.可能大也可能小D.以上均错yiyi【解 R2= 1 一nzi = 12yiyR2越大时,【答案】BnZi =1八217回归方程y=bx+a

15、必过点；2,【答案】4.已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为y= 0.577X 0.448，如果某人 36 岁，那么这个人的脂肪含量()【导学号：81092003】A. 定是 20.3%B. 在 20.3%附近的可能性比较大C. 无任何参考数据D. 以上解释都无道理【解析】 将X= 36 代入回归方程得y= 0.577X36 0.44820.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在 20.3%附近的可能性较大，故选B.【答案】 B5.若一函数模型为y=ax2+bx+c(a0),为将y转化为t的线性回归方程，则需作变 换t=()22A. xB.(x+a)C.x+舊2D.以上都不对

16、【解析】y关于t的线性回归方程，实际上就是y关于t的一次函数，又因为y=b 4acb2a x+石 +4a，所以可知选项 C 正确.【答案】 C二、填空题6. 在一组样本数据(X1, y , gy2)，(xn,yn)(n2,X1,X2,Xn不全相等)1的散点图中，若所有样本点(为，yi)(i= 1,2，n)都在直线y= x+ 1 上，则这组样本数据的样本相关系数为_.【解析】 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.【答案】 17.已知方程y= 0.85x 82.71 是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是 cmy的单位是 kg，那么针对某个体(1

17、60,53)的残差是_ .18【解析】 把x= 160 代入y= 0.85x 82.71 ,得y= 0.85X160 82.71 = 53.29 ,所以残差e=yy= 53 53.29 = 0.29.【答案】 0.29&调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查19于是a=yb x= 5 1.23X4= 0.08.所以线性回归方程为y= 1.23x+ 0.08.当x= 10 时，y= 1.23X10+ 0.08 = 12.38(万元),即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元.显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对

18、x的回归直线方程：y= 0.254x+ 0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1 万元，年饮食支出平均增加_万元.【解析】以X+ 1 代X,得y= 0.254(x+ 1) + 0.321，与y= 0.254x+ 0.321 相减可得,年饮食支出平均增加 0.254 万元.【答案】0.254三、解答题9关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：X23456y2.23.85.56.57.0(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少?【解+ 3 + 4 + 5+ 6(1)x= 4,2.2 + 3.8 + 5.5 + 6.5 + 7.05=5,52 Xi=9

19、0,i =15% Xiyi= 112.3 ,i = 15xXiyi 5x yi =1A112.35X4X52905X41.23.如由资料可知y对x呈线性相关关系.试求:n(1)线性回归方程:ybx,i = 1n Xin xi =12010 关于x与y有如下数据：21x24568y3040605070为了对x,y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型乙模型y= 7x+ 17,试比较哪一个模型拟合的效果更好.因为 84.5%82%所以甲模型拟合效果更好.能力提升1 某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表:考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数

20、x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为( )A.y= 0.7x+ 5.25B.y= 0.6x+ 5.25C.y= 0.7x+ 6.25D.y= 0.7x+ 5.25【解析】由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.考1 1试次数的平均数为x= 4x(1 + 2 + 3 + 4) = 2.5，所减分数的平均数为y=(4.5 + 4 + 3+ 2.5) = 3.5.即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y= 0.7x+ 5.25 成立，选 D.【答案】 D2.已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为

21、y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组数 据(1,0)和(2,2)求y= 6.5x+ 17.5 ,【解5Zi =1R甲= 1 5Zi = 1yiy155-=1 -1 0002=0.8455Zi = 1Rl= 1 八2yiyi1801 000=0.8222得的直线方程为y=b x+a , 则 以 下 结 论 正 确 的 是23由(1,0) , (2,2)求b,aa=02X1= 2.求b,a时，6、Xiy= 0+ 4 + 3 + 12+ 15 + 24 = 58,i =113x=3.5,y=6,6、X2= 1 + 4 + 9+ 16+ 25 + 36 = 91,i =113586X3.5X A6b=2916X3.5ba【答案】 C3.已知x,y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且线性回归方程为y= 0.95x+ 2.6，那么表格中的数据m的值为_x0134y2.24.34.8m0+ 1 + 3 + 422+ 4.3 + 4.8 +m11.3 +m一x=4=2，y=4=厂，把(x，113 +m回归方程得4=0.95X2+ 2.6，解得 m= 6.7.【答案】 6