向量在几何证题中的运用

1、向量在几何证题中的运用学生姓名 阿卜杜合力力阿不力孜 学 号： 20080101002 系 部：数学系 专 业：数学与应用数学 年 级：2008-1 班 指导教师：完成日期：2013 年 月 日摘要向量是数学中的重要概念之一。在数学中我们通常用点表示位置，用射线表示方向，几何问题的向量证法是一种新颖的具有很多优点的证题方法，它不但能使问题简化而且还能在证题过程中使各类知识融合贯通。在本文中主要介绍几种用向量法来证明几何问题的方法。并说明这种方法在解题中的应用和重要性。关键词关键词：向量；向量的线性运算；共线向量；数量积；向量积目录摘摘要要 .1引引言言 .11.1.向量的线性运算在证题中的运用

2、向量的线性运算在证题中的运用 .12.2.共线点问题共线点问题 .23.3.共点线问题共点线问题 .34.4.共面问题共面问题 .55.5.向量的数量积在证题中的运用向量的数量积在证题中的运用 .76.6.向量的向量积在证题中的运用向量的向量积在证题中的运用 .97.7.三向量的混合积在证题中的运用三向量的混合积在证题中的运用 .11参参考考文文献献 .13致谢致谢 .14引言向量在数学和物理中的应用很广泛的一个概念。利用向量解决一些相关数学问题将大大减少解决步骤，大多数问题用向量来解决往往解法简单明快，尤其是用向量法解决三线共点，三点共线等问题比较方便。总之，许多几何证明题用向量法来解间单明

3、快。1.1.向量的线性运算在证题题中的应用向量的线性运算在证题题中的应用向量的加法，减法，数乘向量统称为向量的线性运算。与向量有关的任何问题都有向量的线性运算。用向量的线性运算解决问题时，必须注意向量的方向。例 1证明连结三角形两边中点的线段平行于第三边 ，且等于第三边的一半。 证明：如图所示设三角形 ABC 两边AB,AC 之重点分别为 M,N则1111()2222MNANAMACABACABBC 故 且/ /MNBC12MNBC例 2.证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证明：设平行四边形 ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于 M 且互相平分（如图所示）可以看出：ABAMMBMB

4、AMDMDMMCDC 因此 , / /ABDC ABDC 即四边形 ABCD 是平行四边形2.共点线问题共点线问题 共点线是指：两个或两个以上的不同直线都相交于同一点，那么称这些直线为共点线。 解决此类问题往往用下列两种方法来，欲证三直线共点，可通过下列方法来证明：123,L L L(1).在三线上取三点，去证这三点关于某定点由相同的定位向量。(2).如令交于，去证点关于某定点由相同的定位12,L Lp1, ()p p pL向量。例 3：平行六面体的四条对角线及四对对棱中点线共八条，证它们必共点。证：如图（3-1） ，设平行六面体的一组对菱的OADBCGEF,DB GC中点为且连线中点为，其他

5、三组对棱中点连线的中点为,M N,M N1p234,ppp再设 则,OAa OBb OCc 11()2OPOMON 1 11()()2 22ODOBOGOC 1 11()2 22abac1()2abc同理1(),(1,2,3)2iopabci 这说明四点重合，最后设的中点依次为1234,p ppp,AF GB CD OE 则5678,pppp5111()()()222OPOAOFOAOBOCabc 同理 1(),(6,7,8)2iOPabci这说明八点重合，于是命题得证。12345678,p ppppppp3.共线点问题共线点问题共线点问题是指：三个或三个以上的不同点都在同一条直线上，那么称这

6、些点为共线。解决此类问题往往用两个向量 与共点的充要条件为a(0)b b 或两个向量 共线的充要条件是ab1122,ax ybxy或两个向量与共线的充要条件12210 x yx y111,ax y z222,bxyz是来解决。111222:xyzxyz例 4：过抛物线焦点的直线交抛物线上的两点。22(0)ypx p,A B点是在抛物线上的准线上，且。证明直线过原点。C/ /OxBCAC证明：要证明直线过原点与共线，设ACAOAC从条件知道221212(,), (,)22yyAyBypp2(,),(,0)22PpCyF2221111,0,222PypyAFyypp 222221212121,22

7、2yyyyAByyyyppp 因为三点共线,A F B所以/ /AFBC 2222121211()()22pyyyyyypp 化简得或21yy212.y yp 221pyy 222221112110,22ypypyACyyppy 。2211110,0,22yyAOyypp 。2222222222111111111()()() ()().()02222pyypyy pyypyyppypp 在一条直线上。/ /,AOACA O C所以直线是过原点。AC 例 5：试证，三点 A,B,C 共线点的充要条件是存在不全为零的实数使得且,其中 O 是任意取定的, , 0ABOBOC 0一点。 证明：必要性，

8、若 A,B,C 共线则与共线，所以存在不全为AB AC零的实数 K,L 使得任取一点 O，由上式得0K ABLAC 0K OBOAL OCOA 即令,则0KL OAKOBLOC KL ,1K且0ABOBOC 0 充分性，若对某一点 O，有不全为零的实数使得, , 且则于是0ABOBOC 0 即因此0OAOBOC 0OBOAOCOA ,0ABAC 由于和 不能全为零，从而与共线，所以三点 A,B,C 是共AB AC线4.4.共面问题共面问题如果一组向量都与一平面平行则称它们是共面的。这组向量就叫做共面向量。解决此类问题往往用向量的共面条件，如果两向量不共线则向量与向量共面的充要条件是，存在不全为

9、零的, a b p , a b 实数小使或三个向量, x ypxayb 共面的充要条件是：它们的坐111222333,ax y zbxyzcxy z标为行（列）三价行列式的值为 .即01112223330 xyzxyzxyz推论：四个点共面的充要条件是,1,2,3,4iiiiA X Y Zi 11122233344411011xyzxyzxyzxyz例 6：对于任何空间四边形，试证它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一个平面。证明：如图（4-1）利用多边形加法则可得EFEAADDF 1EFEBBCCF 又分别是的中点,E F,AB CD故有 （2）EAEB DFCF 将（2）代入（1）

10、中两式相加得2EFADBC 即与共面。1122EFADBC EF ,AD BC 与平行于一个平面。EF,AD BC例 7：平面栽空间四边形的各边与点OABC,OA AB BC CO如图（4-2）证明。,E F G H1OEAFBG CHEAFB GC HO证明：设建立仿射坐标系则令123,OAe OBe OCe 123; ,o e e e 再令1231,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1eee 则,OEAFBGCHEAFBGCHO111,0,0 ,0 ,0,0,0,11111OEOFOHOGHG 由于四点共面，所以,E F G H00110100110011将第列乘以加到第四列得1,2,31化

11、简得001100001000110 即 。1OEAFBG CHEAFB GC HO5.5.向量的数量积在证题中的应用向量的数量积在证题中的应用向量的数量积是:两个向量的模和它们夹角的余弦之积叫做, a b 向量 和 的数量积，记作即 。aba b cos,a baba b 用数量积可以解决两个线段相等，两角相等。两条直线垂直等问题。要证明两个线段相等，先把两个线段改为两个向，然后去证明这两个向量数量平方相等。用数量积证明两角相等，多采用计算角度的方法去解。用数量积证明垂直问题的一般步聚为：欲证量线段（或直线）垂直，可将此两线段改为两个向量，然后证这两个向量的数量积为零，积或0a bab 那么或

12、1122,ax ybx y12120abx xy y那么 。111222,ax y zbxyz1212120abx xy yz z欲证直线与平面垂直，可在直线上配置一个非零向量 ，在平a面上配置不共线向量 和 ，去证和即可达到目的，或bc0a b 0a c 平面的法向量平行于向量 。a例 8：如图（5-1）在正方体中分别是的1111ABCDABC D,E F1,BB CD中点。证明：面面 AED 11AFD。证明：建立空间直角坐标系Dxyz设正方体的菱长为 ，则110,0,1 ,1,0,1 ,AA1111,1,0,0 ,0,0,122EFD1,1,1,0 ,1,1,1BB如 111,0,0 ,

13、1,0,0DAD A 又设平面的法向量分别为1111,1,0, 122DED F 11,AED AFD则12,n n 1111,0,01,1,0,122nDADE xyZ图 5-1A1ABCC1D1DB1EF2111111,0,00, 10,1,.22nD AD F ， 1211.011022n n ，即面面 。12nn AED 11AFD例 9：求证 。coscoscossinsin证明：建立直角坐标系。以 为中心作单位圆，在的半圆oxy00y 上任取两点 。,A B设并假设,OAa OBb ( , )( , )22ia j AA则并设( , )i b A于是 cos ,sinacos,si

14、nb.coscossinsinab 另外.cos( , )aba ba b cos( , )cos()a b 故。cos()coscossinsin例 10。证明三角形的三条高交于一点。证明：如图所示 H 是三角形 ABC 的高 AD与 BE 的交点只需证 CH 垂直于 AB 证法一：因即故0HB BC 0HCCABC HC BCAC BC 同理由得因此0AB AC HC ACBC AC 于是这就证0HC ABHC ACHC CBBC ACAC BC HCAB 明了三角形的三条高交于一点。证法二：令则因,HAa HBb HCc ,ABba BCcb CAac 故同理由得从而HABC 0,acb

15、a ca b HBCA a bb c ，所以a cb c 0cbaHCAB 6.6.向量的向量积在证题中的应用向量的向量积在证题中的应用任意两个向量的向量积是由下列条件决定的向量，记为, a b 或 。ab, a b它的长度为：sin( , ).aba ba b 它的方向为：（1）与都垂直；（2）三个向量按此, a b , ,a b ab 顺序构成右手系。向量积常用来处理几何中和面积有关的问题。例如：求三角形和四边形的面积，证明面积比或等比，求点到直线的距离等。用向量积时必须注意。abba例 11：试证三角形面积的海伦公式：试中2()()()p papbpc 1()2pabc 是三角形的三边长

16、，为面积。, ,a b c证明: 12ab 设 ,aa bb cc221()2ab 2221sin( , )4aba b 22211cos( , )4a ba b 2222221142abca bab2222222222211(2)()(2) 21616ababcababcababc2222111616abccababcabccbacab11112222222abcabccabcaabcbp papbpc2p papbpc 例 12。用向量积证明三角形的正弦定理sinsinsinabcABC 证：记, ,于是，因此有ABc ACbBCa cabbcab，又, sin,sin,sin,b cb

17、ca ca ca ba b ,b cA ,，所以 ,a cB ,a bC aabbcc即.sinsinsinbcAacBabCsinsinsinabcABC 7.三向量的混合积在证题中的应用任意三个向量的混合积是一个数量，它等于与先作向量积，, ,a b c abab然后再与向量作数量积的结果，记作或。c.ab c , ,a b c 三个不共面向量的混合积的绝对值于以.为菱的平行六面体的, ,a b c , ,a b c 体积。所以三向量的混合积多用于证明有关体积的问题。利用三向量的混合积还可以解决共面问题。例 13: 设两直线是异面直线。直线依次与交于和12,L L12,m m12,L L,A B四点，试证直线是异面直线 。,C D,AB CD证明：设的方向向量为则因为异面直线故12,L L12,.BAa CDb 12,L L12,0a CDaCBBAAD 210a 所以 1121,aCDaa 1212,0aa 这说明直线是异面直线。,AB CD总结在本文中主要讨论了利用向量法来证明有关线性运算，共线点，共点线，共面等几何问题，还有利用向量的向量积，数量积，和混合积等性质来证明几何问题。由这些方法表明了向量在几何证题中的优越性。即把几何问题化为向量问题来解决时可以使问题很容易解决。所以掌握好向量概念，应用这些概念解决问题是不错之选。 参考文献1席振伟、张明 向量