(完整word版)复变函数试题库

1、11、复变函数论试题库梅一A111复变函数考试试题(一)dz(z-ZoT(n为自然数)2.sin2z+ cos2z =3.函数sinz的周期为_1z21，则f (z)的孤立奇点有QO5. 幕级数nzn的收敛半径为 _ .n =e6. 若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是 _H乙+Z2+ + znlim zn= E lim=7. 若“护，贝 ynYn_ .z8.ReS&，0)=，其中 n 为自然数.9.沁的孤立奇点为_z乙f(z)lim f(z)二10.若z0 是T(z)的极点，则z z三.计算题(40 分)：f (z)二1.设内的罗朗展式.11(z-1)(z-2)，求f(z)

2、在D = z:0|z| 1.dz.2.|z1cosz3.设心巳Pd，其中C二z:|z|=3，试求f(i).z -1w =4.求复数z 1的实部与虚部.四.证明题.(20 分)1.函数f(z)在区域D内解析.证明：如果|f(z)|在D内为常数,那么它在D内为常数.2.试证：f (z)z(1 - z)在割去线段0乞Rez乞1的z平面内能分出两个单值解析分支，并求出支割线0乞Rez乞1上岸取正值的那支在z - -1的值.2复变函数考试试题(二)二.填空题(20 分)1. 设 z=-i，则| z|= _,argz= _,z = _2.设 f (z) = (x22xy) i(1 -sin( x2y2),

3、 - z = x iy 三 C, 则z 1 -if (z)m3.dzST(z- zo)(n为自然数)oO4.幕级数 vnzn的收敛半径为n=05.若z是 f(z)的 m 阶零点且 m0，则z是f(z)的_ 零点.6.函数 ez的周期为_ .7.方程2z5 z3+3z+8=0在单位圆内的零点个数为 _18.设f(z)=-2，贝U f (z)的孤立奇点有 _ .1 +z9.函数f (z) =| z |的不解析点之集为 _.10.Res(呼,1)=_z三.计算题.(40 分)1.求函数sin(2z)的幕级数展开式2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数.z在正实轴取正实值的一个解析分

4、支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z二i处的值.i3.计算积分：dz， 积分路径为(1)单位圆(|z|= 1)-i的右半圆.4.求sin zdz(z)2四.证明题.(20 分)1.设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是f (z)在 D 内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题(三)二.填空题.(20 分)11.设f(Z)=2丄，则f(z)的定义域为_z +12.函数ez的周期为_.3，那么它在D内为常数.9.若ZQ是f(z)的极点，则lim f(z) =尸ZQez10.Res(en，0p_.z三.计算题.(40 分)11.将函数f(

5、z)二Z2ez在圆环域0|z：二内展为 Laure nt 级数.2.设f (z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数R及M使得当| zp R时| f(z)F M |z|n，证明f(z)是- -个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题(四)3.若Zn1+ i(1 +_)n，贝U lim Zn =1 nnn：2.4.sin2z cos2z =dz5.|zW(Z- Z)n.(n为自然数)6.幕级数 anxn的收敛半径为n =07.，则f(Z)的孤立奇点有+3C试求幕级数、n =3.算下列积分:n!n=zn的收敛半径eZdzCz2(z2- 9)51.4.求z9- 2Tz2- 8z - 2二0在|z

6、|1 内根的个数.四.证明题.(20 分)1.函数f(z)在区域D内解析.证明：如果|f(z)|在D内为常8.n,以及两个正数4.填空题(20 分)7.设C:|z|=1，则J (z1)dz=_.Csin z8.- 的孤立奇点为_.z9.若z0是f(z)的极点，则lim f(z)=_zz10.Res(e；,0)=z -三.计算题.(40 分)1.解方程z30.1.证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析.2.证明z4-6z 3=0方程在1 ”：|z|：2内仅有 3 个根.复变函数考试试题(五)二.填空题.(20 分)1.设z=1* 3，则|z|=_,argz二_,z=1.

7、1设z二1- iRez= _,lm z =ze2.设f (z，求Res(f (z),：).z -12.3.4.5.6.的limz1z2.znn :若lim召=,函数 ez的周期为1函数f(z)=-的幂级数展开式为1 +z2若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是 _ .若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是3.dz.1 14.函数f(z) = ez-1 z有哪些奇点？各属何类型(若是极点，指明它的阶数)四.证明题.(20 分)5z2.当 z=_ 时，e为实数.3.设ez= 1，贝u z =z4.e的周期为.5设C:|z|=1，则(z1)dz=_.Cez- 16.

8、Res( ,0)=_.z7.若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_ 。18.函数f(z)=石的幂级数展开式为1 +z2sin z9.- 的孤立奇点为_ .z10.设 C 是以为 a 心，r 为半径的圆周,(n为自然数)三计算题.(40 分)z11.求复数-的实部与虚部.Z+ 12.计算积分：I二Rezdz，L在这里 L 表示连接原点到1 i的直线段.勿d日3.求积分：I2，其中 0a1 .01-2acoS + a4.应用儒歇定理求方程Z二:(z)，在|z|1 内根的个数，在这里(z)在| zF 1上解析，并且|(z) | T.四.证明题.(20 分)21.

9、证明函数f (z)=| z |除去在z 0外，处处不可微.2.设f(z)是- -整函数，并且假定存在着一个正整数n,以及两个数 R及M，使得当| z |- R时I f(z) H M |z|n，6证明：f(Z)是一个至多 n 次的多项式或一常数复变函数考试试题(六)1.一、填空题(20 分)1.若zn丄)n，则lim Zn=_.1 nn12.设f(z)=丁 ， 则f(z)的 定义域为Z +13.函数sin z的周期为4.sin2z COS2z =be5.幕级数v nzn的收敛半径为n6.若Zo是f(z)的m阶零点且m=1，则Zo是f(z)的_ 零占八、-7.若函数f(Z)在整个复平面处处解析，则

10、称它是 _8.函数f (Z)=|z 的不解析点之集为 _539.方程2z -z +3z+8=0在单位圆内的零点个数为 _ix10.公式e二cosx isinx称为二、计算题(30 分)2+7人+1r2、设f (z)= - dk,其中C = z: z2 K-zze3、设f (z)二二 ，求Re s( f (z),i).z +134、 求函数在o：z：:内的罗朗展式.zz 15、 求复数w的实部与虚部.z + 1二i6、求e3的值.三、证明题(20 分)7631、方程z 9z 6z0在单位圆内的根的个数为2、若函数f (z) = u(x, y) iv(x, y)在区域D内解析,则f (z)在D恒等

11、于常数，试求f (V i).6.v(x, y)等于常数,713若z是f（z）的m阶零点，则zo是帀的m阶极点.试卷一至十四参考答案(1)比：严；（-2）(2)?z2dzzz2(z_3)7.计算积分 “*5+3cos日求下列幕级数的收敛半径.（6分）8.(6分)(1)(1 i)nzn；n注2(2(n)nnz.6.计算下列积分.（8分）复变函数考试试题（一）参考答案二.填空题2i n=11. c, ；2. 1；3.2k： ,（k z）；4.z二_i；5.0 n = 116.整函数;10.:三.计算题.7.；18.5-1)!9.0;1.解因为0c|z 1,所以0c|z max -J_： ,1,当z在

12、C:z = R上时,有I10)lJ砕| 伞Rn+囘二R+&I c(a+|an|)Rnc a。Rn.= f.由儒歇定理知在圆z R内， 方程a0za1znJ+anz + an=0与a0zn=0有相同个数的根 .而a0z =0在zR内有一个n重根z0.因此n次方程在; 乙R内有n个根.复变函数考试试题(三)参考答案二.填空题.z = -i,且z- C ;2.2k二i1.(k z);3. -1ei;4. 1;5.2in =106. 1;n =17. -i;8.z =(2k1)二i；10.(n -1)!三.计算题.2一1.解z ez:-n 2zn=0n!2.解l inL:n! (n+ 1)*

13、mn ” ne.所以收敛半径为3.解令f (z)二zeZ2(Z2-9)(n+ 1) !l-rm(n；：nze,贝U Res f (z)2z=0、7z2-9zd0lrmn1(1e.)n2兀i故原式二2二iResf(z).zm94.解令f (z) = z9- 2z6z2- 2,:(z) - -8z.则在C: |z=1上f(z)与(z)均解析，且|f (z)兰6 N( f, C).即在四.证明题.1.证明 证明设在D内f(z)= C.令f (z)二u iv,贝U f (z)2二u2v2两边分别对x, y求偏导数，得Z：1内,uux+vvx= 0UUyVVy = 0因为函数在D内解析，所以Ux= Vy

14、, Uy -Vx.代入uuxvvx022.消去Ux得，(U v )Vx= 0.vUx- uvx = 0方程只有一个根.(1)(2)(2)则上述方程组变12131)u2v0,则f (z)=0为常数.2) 若Vx=0,由方程 (2)及C.-R.方程有Ux=0,Uy=0,Vy =0所以u =G,v =C2.(c1,C2为常数).1(n 1)! 三.计算题.1.解：z3= -1 =Z = cos所以f (z) y iC2为常数.2证明 取f(k)(0)|wk!r R,f(z)2zkidz则对一切正整数kn” k!Mrnk r于是由r的任意性知对一切k n均有f(k)(0) =0.复变函数考试试题(四)

15、 参考答案二.填空题.1.1,1; 2.；3.2k二i(k z);42 2QO(z 1);5.、(-1)nz2n整函数；n 6.亚纯函数；7. 0;8.Z =0;9.:;10n故f(z)cnzn,即f (z)是一个至多n次多项式或常数k =0兀1乙二cos i sin 332z2二cos亠i sin二-15兀Z3= cos i sin32.3.解R評二513 -zez 1i sin33i2zT2 k二亠k二0,1,2、3i22 Resf二-1ez 1-2z-_1-1、故原式=2二i(Res f (z) Res f (z) = : i(e- e j.z=1z解原式二2-i Re s f (z)二

16、2-iz=iz9- z2z=-i51z- ez1z /解e-1k二1,2,4.z(ez- 1)，令z(ez“imzez1z )0(ez-1)z1-，得z= 0,z= 20 iz-e=四z* z+ zze e zeZ = 0为可去奇点14当z = 2kn:i时，(kO), z-e +1式0(ez_1)z= ez_ +zez而z=2Ez=2k一阶极点.四.证明题.z二2k二i为1.证明 设F(z)=f(z),在下半平面内任取一点 于zo的点，考虑zo,z是下半平面内异limzZoF(z) -F(zo)Z Zof (z) - f(zo)0z _zo而z0,z在上半平面内，已知f (z)在上半平面解析

17、，因此F (z0)=f (z0),从而F (z) = f (z)在下半平面内解析.2.证明 令f (z -6z 3,(z z4，则f (z)与：(z)在全平面解析，且在G:忖=2上,f(z)兰15p(z) =16, 故在z v2内N(f+巴0)=肌巴0)=4.在C2：z =1上,f (z)| 33A|(Z)=1,故在z 1内N(f +,C2) =N(f,C2)=1.所以f+ 在1c|z V2内仅有三个零点，即原方程在1c|zc2内仅有三 个根.复变函数考试试题(五)参考答案一. 判断题.1.V2.V 3.X4.V5.X6. x 7.X8. V 9. V10. V.二. 填空题.1.2,1一3i

18、;33.(2k1)二i,(k z);6. 0; QO7.亚纯函数；8.(-1)nZ2nn=0丄2二i n = 1i.0 n = 1三.计算题.1.解令z二a bi,贝Uz 1 ,2, 2a 1biW11 i22z 1 z 1 (a 1) b故Re(Z)=1_z+12(a 1)(a 1)2b22.a 2 k二i4.Im(k z,a为任意实数);2k二i,( k z);5. 0;(z : 1);9. 0;10.)23(*1)丄b2(a21) b a21 ).b2b(a 1)2b22.解 连接原点及1 i的直线段的参数方程为z = (1 i)t 0岂t岂1,故Rezdz = j0Re(1+i)t(1

19、 + i)dt = (1 + i)ftdt =dziz15161 -2acosv a2=1 - a(z - z)a2=(z_a)(1_az)zdzZ(z-a)(1-az)，且在圆z：1内f(z)只以(z-a)(1 - az)级极点在z=1上无奇点1Res f (z):-zza1 - azz =a1- ,(0 V a 1),由残数定理有1 -a口，w).4解令f(z)二-z,则f (z),:(z)在z1内解析，且在C : z=1上,(z)十f(z),所以在z 1内，N(f C) =N(f,C)=1,即原方程在z : 1内只有一个根 四证明题2 21证 明因 为u(x, y)=xy,v(x, y)

20、=0, 故Ux=2x, Uy=2y,Vx=Vy=0.这四个偏导数在 故f (z)只在除了 2证明 取k!2兀(k)(0)辽z平面上处处连续，但只在z=0处满足C.-R.条件,z = 0外处处不可微.r R,llldz则对一切正整数k n时，.k!Mrnkr于是由r的任意性知对一切k n均有f(k)(0) = 0.n故f(z)Cnzn,即f(z)是一个至多n次多项式或常数k =0复变函数考试试题(六)参考答案二、 填空题：1. -Vei2.Z圧士13.2二4. 15.16.m-1阶 7.整函数8.9.010.欧拉公式三、 计算题：& 2-i il 1V5d1.解：因为- =一+= v1，6V9 366故lim( - ) = 0.2. 解：T 1 + i=应3,-(z)宀斗2兀iCk z327、-1