最新八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题资料

1、精品文档八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球精品文档类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)b2c2，即 2/a2 b2 c2，求出 R=a例1A.16 ：（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为B 20二 C 24二体积为16，则这个球的表面积是（C ） 32 二(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 . 3，则其外接球的表面积是9:解:2 2 2 2 2(1) V =a h =16 , a =2 , 4R =a a h=4 416 =24，S = 24 ,选 C；(2)4R2 =3 3 3 =9，

2、S =4：R2 =9二(3)在正三棱锥 S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM _ MN ,若侧棱SA = 2、3 ,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是。 36二解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图（3） -1，取AB, BC的中点D, E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH _平面ABC, SH_AB ,AC=BC , AD=BD , CD _ AB, AB _ 平面 SCD ,-AB_SC，同理：BC _ SA, AC _ SB，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3) -2 , AM _MN , SB/MN

3、 ,AM _SB, AC_SB , SB_平面 SAC ,SB_SA, SB_SC, SB_SA, BC _ SA,-SA_平面 SBC,SA_ SC,故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，题-1C题-2.(2R)2 =(2 一 3)2 (2,3)2 (2、,3)2 =36，即 4R2 =36 ,1040D.-33，那么它的外接球的表面积是 (6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几解析：(4)在 ABC 中，BC2 二 AC2 AB2 2AB BC COS120 =7，BC 7， ABC的外接球直径为BCsi

4、n _ BAC.(2R)2 =(2r)2 SA2 =40:，选D(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b,c( a,b,c R ')，则精品文档.正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 36 :(4)在四面体S-ABC中，SA_平面ABC , ZBAC =120 ,SA= AC =2, AB =1,则该四面体的外接球的表面积为(D ) A.11二B.7 :(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为ab =12bc=8 ，二 abc = 24，二 a=3，b=4，c = 2，(2r)2 = a2+b2+c2 = 29，S = 4 兀 R2 = 29 兀，ac =6L(2R

5、)2"2 b2 亠3，RV，R 诗V二R3二3333兀8 2类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设：如图5, PA_平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝U PD必过球心O ;第二步：O1为 ABC的外心，所以OO1 平面ABC，算出小圆O1的半径O1r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得OCDBa bsin A sin Bcsin C=2r)第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 =PA2 (2r)2：= 2R二.PA2 (2r)2 ； R2 二 r200i2 = R 十2 OO

6、j2.题设：如图6, 7, 8, P的射影是ABC的外心 三棱锥P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点二 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 二P点也是圆锥的顶点第一步：确定球心 0的位置，取ABC的外心Oi，则PQO三点共线;第二步：先算出小圆 0勺的半径AOr，再算出棱锥的高 POh (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 =OjA2 O1O2= R2 =(h-R)2 r2，解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()C16兀A. 3二B. 2-C.D .以上都不对3解：选 C, ( 3 -R)2 1 =R2, 3-2

7、 .3R R2 1 二 R2, 4-2.3R = 0,16精品文档类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）PAOCB图9-4精品文档1题设：如图9-1，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC = 2r ;第二步：在.'PAC中，可根据正弦定理 bC 2R，求出Rsin A sin B sin C2.如图9-2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径）OC2 9C2 OlO2 = R2 二 r2 0i02 = AC = 2. R2-OQ23如图9-3，平

8、面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且 P的射影是 ABC的 外心=三棱锥P-ABC的三条侧棱相等 =三棱P-ABC的底面- ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是 圆锥的顶点解题步骤： 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AOr，再算出棱锥的高 PO h （也是圆锥的高）；2 2 2 2 2 2第三步：勾股定理： OA =O1A O1O = R =（h-R） r，解出R4如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且 PA _ AC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接

9、球半径：（2R）2 =PA2 （2r）2二2R二PA2 （2r）2 ； R2 二 r2 OO/ 二 R 2 OO12例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2、一 3，则该球的表面积为 （2）正四棱锥S -ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2R =7, S =4二R2 =49二，4兀（2）方法一：找球心的位置，易知r =1 , h=1, h=r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R =1, V =方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是丄SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径

10、,4兀2R =2，R =1，V 亠3（3）在三棱锥P ABC中，PA = PB = PC = 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ，则该三棱锥外接球的体积为（）A.D.4 二兀B.C. 4兀33解：选D圆锥A, B,C在以r的圆上 R二12（4）已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，厶ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径,且SC = 2，则此棱锥的体积为（）AA.J662解：00! = - r2，"注，vShJ 三 2"233334类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱

11、柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，O1是 ABC的外心，则OOj 平面ABC ；第二步：算出小圆11Oj的半径AOr , OO1AA1h（ AA, = h也是圆柱的高）；22第三步：勾股定理：2222 h 222 h 2OA =01A O1O = R =( ) r = R = r (?)，解出 R例4（1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3，则这个球的体积为 81解：设正六边形边长为 a，正六棱柱的高为 h，底面外接圆的关径为 r，则a =-,2底面积为十乎才二晋

12、，sh二詈“8，h3，（尹，R /，球的体积为-3（2）直三棱柱 ABC - ABC的各顶点都在同一球面上，若AB = AC=2, . BAC =120，则此球的表面积等于解：BC =2.、3， 2r4， r=2， R = . 5 ， S = 20 二sin 120 -（3）已知. EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA = EB =3, AD = 2,. AEB 二 60，则多面体 E- ABCD 的外接球的表面积为。16二解析：折叠型，法一： ：EAB的外接圆半径为r,二-3，313R = -1 *3=2 ；法二：O1M， r2 = O2D = '2213 -4，

13、R = 2，S = 1 &44（4）在直三棱柱 ABC -AG中，AB =4, AC =6, A,AA4则直三棱柱 ABC -A1B1C1的外接球3的表面积为160。 32 1解析：BC2 =16 36 -2 4 6 -2160S 二-3类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）第一步：先画出如图所示的图形，将-BCD画在小圆上，找出BCD和 A BD的外心H1和H2 ；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接OE,OC ；精品文档02精品文档第三步：解 OEHi，算出OHi，在Rt.lOCHi中，勾股

14、定理： 0H； CH； = 0C2例5三棱锥P ABC中，平面PAC _平面ABC， PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P- ABC外接球的半径为2解析：2” =2r2 :sin 602 13，°2H 二3，R2 =O2H2-3311法二：，。屮，AH =1R2 = AO2 = AH 2 OjH 2 O1O2153类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；(AB 二 CD , AD 二 BC , AC 二 BD )第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c

15、，AD二BC二x，AB二CD二y，AC二BD二z，列方程组,'a2 +b2 =x2*b2 +c2 = y2 二(2R)2丄 22c +a = z2 =a2b2c2 =x2 y2z22 ，补充：Va_bcd11=abc abc 4 abc63a图12第三步：根据墙角模型,2R 二 a2 b2 c2x2y2 z222 2 2R2/ y z，8R冷x2二广2，求出r，例如，正四面体的外接球半径可用此法。题1的球面上，其中底面的三个顶点）例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是 （2）一个正三棱锥的四个顶点都

16、在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A. 口 B .山43312P（1）题解答图解：（1）截面为 PCO1，面积是 2 ；精品文档3，Ta'（2）高h =R=1，底面外接圆的半径为R=1，直径为2R=2 ,设底面边长为a，则2R a .2，sin 60'1J3三棱锥的体积为V =Sh 334（3）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2, AD 二 BC =3,AC=BD =4,则三棱锥 A_ BCD外接球的表精品文档29面积为。 '设长宽高分别为a, b, c，则a亠b? = 9，2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,22 22 2

17、22 222b2c2=4，c2a2=16. 2(a2b2c2) = 94 16 =29，2(a2 b2 c2)= 9 4 16 = 29，2 u22 29“2 29 。 29a b c ， 4R ， S =2 2 2（4）如图所示三棱锥 A - BCD，其中AB二CD =5, AC二BD二6,AD二BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，2(a2 b2 c2) =25 36 49 =110, a2 b2 c2 =55，4R2 =55，S=55：【55二；对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为2，

18、则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R=3，类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型V =4 ：3题设： APB ACB =90，求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 O，连接1OP,OC，则OA =OB =OC =OPAB，O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在 OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。例7（ 1）在矩形ABCD中，AB =4，BC =3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B - AC -

19、 D， 则四面体ABCD的外接球的体积为（）精品文档八125B125A.-二. -二129C125D125. -二. 二634 34125125 二，选CVR=*33865解：( 1)2R = AC =5，R = -，2(2)在矩形 ABCD 中，AB =2，BC =3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥 A - BCD的外接球的表面积为解析：(2)BD 的中点是球心 O , 2R = BD. 13，S=4:R2=13二；类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图14，三棱锥P _ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。p第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1第二步

20、：求DH BD， PO = PH -r， PD是侧面-ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： £1 =巴，解出rDH PD二O I J丄 1H2题设：如图15，四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O, H三点共线；1第二步：求FH BC , PO = PH-r , PF是侧面 PCD的高；2第三步：由APOG相似于 PFH，建立等式：92 =巴，解出HF PF3题设：三棱锥 P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥

21、体体积；D第二步：设内切球的半径为r，建立等式：Vpbc =Vo_abcVo _pab ' Vo_pac Vo _pbcVP -ABC1 1 1= 3S'ABC r' 3Spab r' 3Spac11r SPBC r(S ABC S PABSPACS PBC ) r33第三步：解出3Vp abCSO 从BC ' SO -PABSO -PACSo-PBC习题：1.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA = 2 , SB = SC=4，则该三棱锥的外接球半径为 ()A. 3B. 6C. 36D.9精品文档解：【A】 (2R)2 = J4 +16+16 =6