拉式变换分析材料动态本构

1、目的得到动载荷下材料的应力应变曲线。意义借助反算出的应力应变曲线，分析材料在动载荷下的力学性能。实验手段介绍真实材料的动态本构关系是相当复杂的，国外从六十年代起便开展此项课题的研究。实验研究的手段大体上分为两类:一类是利用压电应力计测量待测材料和压电材料界面上的应力波形，利用激光速度干涉仪、斜电阻丝、高速条纹相机、电容器等手段测量待测材料自由表面的速度波形。这类测量统称为材料外部的测量。由于界面、自由表面的运动过程是应力波在界面、自由表面上反射的结果,因此在分析测试结果时,要么是作一些近似假定,或者,更一般地是先假定一个本构关系模型,然后通过运动方程组的数值解结果与实验结果的对比,不断修正本构

2、关系的模型,直至与实验结果一致。这样作,不仅是工作量庞大,更重要的是,所得的本构关系往往不是唯一确定的。第二类实验研究手段是在材料内部埋没应力计、粒子速度计。测量材料内部不同位置上的拉格朗日应力波形、粒子速度波形。这类测量统称为材料内部的测量。拉格朗日反分析原理一维平面波的拉格朗日坐标守恒方程：质量守恒： (1)动量守恒： (2)式中： 初始密度，比容， 质点速度， 拉格朗日坐标， 时间坐标。关于式(1)的推导：已知体应变与位移矢量的关系为： (3)由式(3)有： (4)体应变与体积和密度的关系： (5)联合(4)、(5)得： (6)在一维应变情况下式(6)便简化为式(1)。另外由于在一维应变

3、情况下体应变等于一维应变： (7)将式(7)代入式(4)中，并考虑一维应变，便得： (8)式(1)和(2)或(1)和(9)便是拉式分析的基本方程。路径线法的基本思想是以实验测得的在不同 Lagrange 坐标的某种力学量波形(量计线)的特征点(起点、终点和顶点等)为关键点，在每个实测的波形上选取 N 个点，人为构造连接各波形的曲线，即构筑成 N 条路径线，当 N 足够大时，这些足够密的路径线和量计线就构成一个逼近实际流场曲面的网状框架。某力学量(应力或质点速度)与路径线有关系： (9)在路径线h(t)取定后，式(9)右端均为已知,从而提供了求偏导数的方法。借助式(9)，基本方程(1)和(2)和

4、(8)可改写为： (10) (11) (12)1，测量应力波形反算应力应变关系在路径线足够密的情况下，以路径线和量计线为差分网格，写成差分形式的守恒方程。在已知应力波形时，可以很容易的由 (11)求出，再代入(12)求出。因为通常实验条件下有初始条件：t=0时，应变和速度等于0。但是在应力实际测量中通常只能使用少数Lgarnage量计(2-4个)，故空间偏导数的精度是欠佳的。另一方面看，量计本身对力学量的测量精度和可靠性也是一个重要因素。质点速度量计基于物理学中基本的Faraday电磁感应定律，它的测量记录可信，能达到较高的精度。目前所用的压力传感器如锰铜、忆、PVDF等，带有很大的经验性，有

5、待深入研究，其记录精度远不如质点速度计。因此尽管从方法上看，应力流场更完备，但从实际观点看，似乎更倾向于用质点速度的测量。2，测量速度波形反算应力应变关系当我们测定的是不同拉氏位置的质点速度波形时，问题的难点在于需在边界位置同时测得质点速度和应力波形。因为由质点速度求应力时，其中的积分是对空间位置的积分。这时积分需要有边界条件，即在x=0位置的应力波形和质点速度波形需同时为已知。这样,在这类反分析中由质点速度求应力时，要在边界位置同时测得应力波形。然而，在实际研究中要同时测得质点速度以及应力量是当前的难点。解决手段：Seaman法即假定沿路径线求3阶全导数，从而得到一组包括2阶导数在内的封闭的

6、代数递推方程组，保证沿质点速度从计线逐步解出相应的应力波形。日前路径线法和Seaman法已编制成程序并已获得实际应用，不过此方法存在严重不足,有时甚至给出背离物理规律的结果。冲量时间积分法反解法前文己经提及,单纯使用速度量计时,不能确定流场应力。不过对于一个实际流场，速度波形上每一点总是与一个未知的但客观上唯一确定的应力相对应，问题在于如何求出该应力值。为此不妨先假定沿质点速度流场路径线上未知应力的函数形式，然后由差分形式的式(12)反解出相应的应力波形，这就是所谓的反解法。李孝兰，曾用反解法处理过PMMA的实验结果。(3个传感器情况下)首先是选定一簇n条路径线,在三个实测波形上分别取对应的n

7、个测点，uj,k， k=1,2,3分别表示h1、h2、h3处的u(t)波形，j =1,2,n表示在所要分析的波形区段上所选择的测点。通过抛物线拟合给出路径线在(u,h)平面及(t,h)平面上的投影线。 (13)给出沿第j条路径线并位于第k个传感器线上的u、t对h的全导数： (14) (15)式中，Ak,Bk,Ck是通过拟合路径曲线时计算的结果。把式(13)写成数值积分格式： 将式(15)、(16)代入上式得： (16)由式(17)便能通过测点速度波形计算应变波形。下面用粒子速度波形的反演法计算应力波形。设想，如果在h1、h2、h3处分别侧得的是波形,欲由这三个波形确定波形的方法是:与上面确定应变波形的方法一样,导得如下的方程： (17)实际上现在测得的是3个波形,方程(18)对k=1,2,3可分别写成三个方程，这三个方程在j,1、j,2、j,3已知的情况下仅包含三个未知数: j+1,1、j+1,2、j+1,3。经化简，得到反演计算的方程组为： (18)式中，波形可由方程组式(19)计算得到。式(17)和式(19)在求应变和应力波形时，取1,k=1,k=0。柴华友等人重新讨论了Lagrange方法并导得反解法求解公式。对于K个速度量计的实验波形，当采用多项式模拟待求应力的变化时,可得第j，j十1条路径线上应力的矩阵形式的递推方程组 分量