拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

1、引言 11拉普拉斯变换以及性质 11.1拉普拉斯变换的定义 11.2拉普拉斯变换的性质 22用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 33拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 43.1初值问题与边值问题 43.2常系数与变系数常微分方程 53.3含函数的常微分方程 63.4 常微分方程组 73.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 73.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 114拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 124.1齐次与非齐次偏微分方程 124.2 有界与无界问题 155综合比较，归纳总结 19结束语 20参考文献 20英文摘要 21致谢 21忻州师范学院物理系本科毕业

2、论文(设计)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学 生 岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程(初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函数的 常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广)与典型偏微分方程(齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题) 中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯

3、逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在：=内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实 际应用中，许多以时间t为自变量的函数通常在t：0时不需要考虑或者没有意 义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改 造，便产生了拉普拉斯变换 。1拉普拉斯变换以及性质1.1拉普拉斯变换的定义-bo设函数f(t)当t 一0时有定义，而且积分.f(t)e$dt(s是一个复参量)在s的0乂某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为F (s)二f (t)etdt.我们称上式0为函数 f (t)的 Lap l

4、ace 变换式.记为 F (s) L f (t), F (s)称为 f (t)的 Laplace 变换(或称为象函数)若F(s)是f(t)的Lap lace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换(或称 为象原函数)，记为f (t)二LF(s)2.Lap lace变换的存在定理若函数f(t)满足下列条件：1在t _0的任一有限区间上分段连续；2当t_. :时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M . 0 及cx0，使得f (t)兰Mect,0 G丈址成立(满足此条件的函数，称它的增大是不 超过指数级的，c为它的增长指数).-bo则f (t)的Laplace变换F(s)

5、 = f(t)e$dt在半平面Re(s) . c上一定存在，0右端的积分在Re(s) _ g c的半平面内,F(s)为解析函数.1.2拉普拉斯变换的性质线性性质若：1 是常数，Lfi(t)二 Fi(s), Lf2(t)二 F2(s),则有 L: f1(t)f2(t) = ： Lf1(t)+ lf2(t),L: Fds)飞L°F1(s)+F2(s).微分性质若 Lf(t)二 F(s),则有 Lf'(t) =sF(s) - f(0).高阶推广 若 Lf(t)二 F(s),则有 Lf 二 s2F(s)-sf(0)- f'(0).一般，L f n(t)二 snF(s) -sn

6、f (0) -sn，f '(0) - - sf2)(0) - f z)(0).积分性质若 L f (t) = F(S),则 |_ f f (t)dt =丄 L F (s).s位移性质若 Lf(t)二F(s)，则 Leatf (t)二 F(s-a)(Re(s-a) c).延迟性质若Lf(t)二F(s),又t <0时f(t)=0 ,则对于任一非负实数，有 Lf (t- ) =eF(s),或 L，e°F(s)二 f(t-)相似性性质 若 L f (t)F(s),则 Lf (at)H 1 F(s).a a卷积性质若 Lf1(t)二 R(s) , Lf2(t)二 F2(s)，则

7、Lf1(t)f2(t)二 R(s)F2(s)，其中 以小:三(f1f2(ti)dE称为f1 (t)与f2(t)的卷积3.由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列3忻州师范学院物理系本科毕业论文(设计)出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换， 可以根据该表查找原函数的象 函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式， 可以把它展开成部 分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。 以下是本文将用到的几种常用的 拉普拉斯变换函数对：原函数象函数原函数象函数11stn（n为整数）n!n-H s丿

8、11 . sin at tarcta nses 九sin cotocosts2丄2s2丄2ssheet©chcots2 . 2 s 一2 . 2 s 一t si n cot2stcoscot2 2 s 一尬/2丄22(s)2 2 2 (s +« )6(t)1erfc(1 M -es表一：拉普拉斯变换函数表2用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的 步骤，其一般步骤4如下：1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个自变量进行拉普拉斯变换，然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变

9、为s的代数方程；2、解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数；3、对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的时域解。流程图法5如下：原函数取拉普拉斯逆变换微分方程的解取拉普拉斯变换解代数方程ah Hu微分方程象函数的代数方程图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换，可以方便地对线性控制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和， 还可以求解微分方程。接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。3拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用3.1初值问题与边值问题例：求解初值问题 y 4y 3y =e,y(O) = y

10、(0) =12.解：设Y(s) = Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有结合初始条件，有s2Y(s)s-1 4sY(s) -1 3Y(s)二整理展开成部分分式，有丫(S)二2s 6s 6(S 1)2(s 3)1 2一+1 +Ss2Y(s) -sy(0) -y'(0)4sY(s) - y(0)3Y(s)二由拉普拉斯变换函数表 L-二e't,可知L = e3. s-九s+1s+3由拉普拉斯变换函数表£"“，并结合位移性质Le_ f(t) = F(s )， s(s IF"对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y(t) lY(s)te廿 J(7

11、2t)e3eJ4244例：求解边值问 y'' - y = 0, y(0) = 0, y'(2 二)=1 2 解：设Y(s) = Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有s2Y(s)-sy(0)-y'(0) -Y(s) = 0,结合初始条件，有s2Y(s) - y'(0) -Y(s) =0,整理展开成部分分式，有丫叮2(0冷(0)2匕1s 1),15丄1_t,*兀所以，方程的解为y(t)= sinhtsin h2 二3.2常系数与变系数常微分方程由拉普拉斯变换函数表 = e ",可知L丄丄s 九s1对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为11

12、'tt'y(t) = L，Y(s)二 2 y (0)(eeJy (0)sinht.sin h2兀为了确定y (0)，将条件y(2二)=1代入上式可得y (0)二例：求解常系数微分方程y" -2y' y = 0,y(0) = 0,y(1) =2 解：设Y(s) = Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有2 's 丫(s) - sy(0) - y (0) -2sY(s)y(0) Y(s) = 0, 结合初始条件，有s2Y(s)-y'(0)-2sY(s) Y(s) =0, 整理展开成部分分式，有丫(sJ鑿凡黑,由拉普拉斯变换函数表L-二 tn,

13、并结合位移性质 Lef(t)二 F(s ), s1 1可知 L -二 te(s1)对方程两边同时求反演,整理可得方程的解为y(t)二LY(s)二y' (0)tet,2为了确定y'(0)，将条件y(1) = 2代入上式可得y'(0) = 2,e2所以，方程的解为 y(t) = L，Y(s) = tet =2tet*. e例：求解变系数微分方程ty'' 2y' ty = 0, y(0) =1,y'(0) =5,(5为常数).解：设Y(s)二Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，Lty" 2Ly' Lty二0,nI即 Lt

14、y Ly 4Lty二 0,亦即-d s2Y(s) -sy(0) - y'(0) 2sY(s) - y(0) - d Y(s)二 0,dsds两边积分可得-2sY(s) -s2 d Y(s) y(0) 2sY(s) - y(0) - d Y(s)二 0,dsds结合初始条件，有-2sY(s) - s2 d Y(s) 1 2sY(s) -1- d Y(s)二 0, dsdsd1整理可得d Y(s) 2,dss 1两边积分可得 Y(s) - -arctans c,TTTT1欲求待定系数 c,可利用 lim Y(s) = 0 ,所以从 c =二，丫(s)=二- arctans = arctan

15、-， 22sa彳a由拉普拉斯变换函数表 LJ arcta n =-si n at,可知 LJ arcta ns =-s in t.stt对方程两边同时求反演，可得方程的解为y(t)二LY(s) = ；sint.3.3含§函数的常微分方程例：质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端，当物体在t=0时在x方向受到冲击力f (tA (t) (t),其中A为常数。若物体自静止平衡位置x=0处开始运动，求该物体的运动规律x(t)2.解：根据牛顿定律，有 mx" = f(t)-kx,其中_kx由胡克定律所得，是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。所以，物体运动的微分方程为mx，収=f (

16、t)(t - 0),且x(0) = x'(0) = 0.这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设Lx(t)H X(s),L f (t)H LA (t)H A,并考虑到初始条件，则得2ms X(s) kX(s)二 A,如果记-0 k,有 X(S)= A 2 1 2 .mm s +«o由拉普拉斯变换函数表La 2 ' 2 =si nt,可知L 一 si nt. s +国s +w0 co 0A对方程两边同时取反演，从而方程的解为x(t)二A si nt.m0可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是 A ,角频率是-.0,称0m)0为该系统的自然频率(

17、或称固有频率)。3.4常微分方程组例：求解三维常微分方程组f ''x x + y +z =0,Tx+y，_y+z=0, x(0) = 1, y(0) = z(0) = x'(0) = y' (0) = z (0) = 0 nx + y +z z =0,解：设X(s)二Lx(t), Y(s) = Ly(t), Z(s) = L z(t),对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有厂 2(s2 -1)X(s) +Y(s)-Z(s)=0, *X(s) +(s2 -1)Y(s) +Z(s) =0X(s)十丫(s) +(s2 -1)Z(s) =0.+丄亠3

18、 s21,2s-23ss21解该方程组，整理展开成部分分式，有X(s) - (s2 +1)(s2 2) -3 s2 _2s1丫(s)汩飞 2.1)(s2_2)3 取其逆变换，可得原方程组的解2*-1x(t) = - cosh(J2t) + cost,i 33y(t) =z(t) = coshWt)+lcost.l.33 3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用形如y(n) ' a1y(n4)' an4y ' an f(x)的方程称为n阶常系数非齐次线性微分方程，这里a1,a2, "；a4,an为常数，f (x)为连续函数。我们平时用到的f(x)主要有

19、三种形式：f (x) =,f(x)=*p(x)(其中 p(x) = P1X+ P2X2 + + PnXn), f(x)二 sin x、f (x)二 cos，x .该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程 的通解。对于该方程的通解可用多种方法求特解，女口：比较系数法、常数变易法、 算子法等。下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解。设Y(s) = Ly(t), F(s)二L f (x),为求特解令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到丫(沪詔9步鸟，下面结合f(x)的三种形式分别作介绍。(1) f(x)=e'x此时，Y(s)=1nn 1，(s-'；

20、J(s aiSans an)ABsn+csn-2 +d对其进行部分分式分解，令 WfJ sG，As- 则该齐次微分方程特解的形式与自由项f(x)有关，也就是说与变换项A有关;Bsn_L +CsnJ2 + + D对应的齐次微分方程的通解由决定，只要该项分母中不 含有特解因子S-，则特解只取决于 AOs_k若 sn a1sn4'亠 ans an s-A则 A=(s- )Y (x)1"(sn -a1sn1-an4s an)即相应的拉普拉斯变换特解为丫匕)=丄Is/s x (Sn 十恥+anxs + an)对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为y”二LY (s).例：求解常

21、系数线性齐次方程y" - y e2x的特解。解：设Y(s) = Ly(t),令初始条件为零,1对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(沁)茸2 整理展开成部分分式，有丫飞乩一八打汀此时(s2 -沐厂0,则1 1g dsn V-anQan)i i-Hs-2s2-s1 1小2 sQ对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为y"t) = LY*(s) = L，V】弓/2 s -22二(s_ y|s(s若 sn - aiSn丁一ans - an5 巾严bn_m)=0,令ABs® CsD')(s-')m1 (s" Es® _ -bn)，同

22、理，相应的拉普拉斯变换特解为Y*( ) -1r1X)-(s)m1幕心朋5叽)s例：求解常系数线性齐次方程 y -5y 8y - 4y = e2x的特解。解：设Y(s)=Ly(t),令初始条件为零,对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(s'-5s2+8s-4)Y(s)s2则 丫一 (s_2)(s -5s28s-4) 一(s-2)(s-2)2(s-1)此时 s3 -5s2 8s-4s=2 =0,令Y(sv常则相应的拉普拉斯变换特解为屮_11Y(X)m 1 I n -mnm4(S-) (s pSbn_m)1s=2 -3 ，(s-2)对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为y (t) =L

23、Y (s)八十一1 3】= x2e2x.(s 2)2(2) f (x) =e'xp(x)(其中 p(x)= »x+ P2X2 + + PnXn).例：求微分方程y -5y，6y二xe2x的特解。解：设Y(s) = Ly(t),令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有2(s -5s 6)Y(s)1(s-2)2则 Y(s)=1(s -2)2(s2 -5s 6)1(s-2)2(s-2)(s-3)此时 s2 -5s - 6 s：2 =0,令 Y(s)=As B(s-2)2Cs Ds2 -5s 6111-ss2_4 s=_4s2 -5s + 6- 2_ssJsy 一(2_s)(

24、1_s)2As B 二丫(s) (s _2)1 -ss2 - 3s 2s2 -4s 二_41 -s一 s-2相应的拉普拉斯变换特解为Y (s)As B(s-2)211 -s _11(s-2)2 s 2 一(s-2)2(s-2)3对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为1.1112x 1 2x2x1y(t)=LY(s) = L-苛 = (* -严)=* (1+評.(3) f(x) =sin 'x、f(x) =cos，x例：求解微分方程y"，4y'，5y=sin2x的特解解：设Y(s)二Ly(t),令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有2(s 4s 5)

25、Y( s)=令Y(沪晋十!5%，222(4s +1)2s +4s+5s 一 4s + 1J _ (4s_1)(4s + 1)s?. . 4As B 二丫(s)(s24)二_ 2(4s _1)=16s2 -1s2 -4_2(4s_1)_65相应的拉普拉斯变换特解为y)=As+B= 2(4s1)=_丄(8._L)s2 +4 _65(s2 +4)65s2 +4 s2 +4 '对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为州州_is21y(tLY(s)L8s2.s2 4-65 (8COs2sX).3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广对于n阶常系数线性齐次微分方程 y(n) a&quo

26、t;®'心:any any二0满足以 下两个引理：引理1 n阶常系数线性齐次方程的解(积分曲线)具有平移不变性。也就是说, 若y=y(x)为n阶常系数线性齐次方程的一个解，则对任意的常数c, y = y(xc)也是n阶常系数线性齐次方程的解。引理2若y = y(x,x°, y°)为n阶常系数线性齐次方程的一个解，y = y(x, x°, y°) 经平移后变为y = y(x -人,0,y°),则y =y(x- x0,0,y°)也是n阶常系数线性齐次方 程的解。下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程 y(

27、3) py'' qy' ry =0满足在任意点的初始条件' 1 '' 2y(«) =y°, y(x°), y (人)的解。设方程的解为y =y(x,x0,y°) = y(x-x0,0,y°),这样，我们便将初值点平移到了 x-x° =0点，于是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。令 y(t)二 y(x -x°,0, y°)(其中 t = x - 冷)，y(0) = y0,y'(0) = y°',y"(0) = y。,y (0)

28、 = y。.设Y(s) = L y(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到Ly(3) py qy ry 0,由拉普拉斯变换的导数性质Lf'(t)二sF(s) - f (0)以及高阶导数推广 L fn(t) = snF(s) -sn'f (0) - 严 f'(0) - sf z (0) - f(n4)(0)可得，忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）s3Y(s) - s2y(0) - sy (0) - y (0) ps2Y(s) - sy(0) - y (0) qsY(s) - y(0) rY(s)二 0.结合初始条件，有s3Y(s) -s2y°-sy。1-y

29、。2ps2Y(s) -sy- y。1qsY(s) -y°rY(s) =0.整理可得 Y(s) = 2(s2 +ps + q)y° Ps + plyo1 +y°2.s + ps +qs + r对上式两边同时取拉普拉斯逆变换，可得11I212LY(s)=L【32(s ps q)y° (s p)y°y°.s + ps +qs+r进行变量还原，便得到所求初值问题的解为 y = y(x,x。，y。)三 y(x X0,0,y。) = y(t)二 y(x冷).例：求解二阶常系数线性齐次方程 y y =0，该方程满足初始条件兀，兀8y(4)"

30、;y(4) 1解：首先转化初值条件 y =y(x，1) = y(x ,0,1) - y(t)(其中t=x ).444设Y(s)二L y(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到Ly''yH 0,即s2Y(s)-s 1 Y(s) =0.整理成部分分式，有ss211s21.19丄aq由拉普拉斯变换函数表 L =C0St,可知L 丁 = cost,S2 +时2S2 +1丄£心丄 1由拉普拉斯变换函数表 L =si nt,可知L 二-=si nt,s 卡尬s +1对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y(t) = LY(s) =cost-si nt.变量还原，得到原初值问题

31、的解为ji二 cos(x - 4)-sin(x -)=2 cosx.JIJIy 二 y(x 1) = y(x -0,1) = y(t)二 cost - sint444拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用4.1齐次与非齐次偏微分方程例：求解齐次偏微分方程'du2/c丄、=x y,(x >0,y £+=c), ccyy Z0*u=3y.2解：对该定解问题关于y取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得Lu(x, y)二U (x,s),L3_ =sU(x,s) -u(x,O) =sU -x2,L【孕：x ： y.Xy =0，sdU-2x,dxLx2y二2x2 ,s32s这样

32、，原定解问题转化为含参数Lu|嗨=Ux=9s的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问2x2，s题:dUs-2x = dx方程- dU2。伍亏可转化为sdU -2x = x：dxs2解此微分方程，可得其通解为32c,其中c为常数。为了确定常数c,将边界条件x-03代入上式，可得S由拉普拉斯变换函数表2.丄 X2L _ =1,可知 L =x2.ss忻州师范学院物理系本科毕业论文(设计)由拉普拉斯变换函数表=可知刍s3s方程两边取反演，从而原定解问题的解为u(x,y)二 LJU (x,s)3y x2.6例：求解非齐次偏微分方程2 2；：2u 2 九a.:t2g, (g为常数)，(x 0, t 0),

33、xS：ujt=0,t =0x=0=0.232解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得Lu(x,t)二U (x,s),L峯=s2U(x,s) -su :t:utz0；:t二 S2U,t zOLg=9, s；：2ud2Lf 2LU(x，t)QU，x =0=0.这样，原定解问题转化为含参数 s的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问 题:2dU2aU|= 0,lim_U =0.x £' sj：:方程dU 1dx2a2s2U1 g可转化为-2dU 1 s?u -1 gdx2解此微分方程，可得其通解为U(x,s) =&es- xC2e a g3,其中g, q

34、为常数。 s为了确定常数c1,c2,将边界条件UXT =0,limU二0代入上式,所以，U (x,s)=爲(1s-e a )xg g-as由拉普拉斯变换函数表由拉普拉斯变换函数表n!s1 n!LLg 2t2.2sn1-tn,并结合延迟定理LJ3t)F(s)f (t - to),(tf)2u(t 曲.2 aa方程两边取反演,从而原定解问题的解为x =0 = 0, u(t),1_J g gu(x,t) =L U(x,s) =L 弓 3es s(或)X -; a、2 2T2W.4.2有界与无界冋题 例：求解有界偏微分方程22:u 2 u .:t2a 2 ,(0 ： x ： I ,t 0), ;xt

35、=0=0.2解：对该定解问题关于t取拉普拉斯变换，记Lu(x,t) =U (x,s),= s2U su-:tt =0 二 S2U ,：2c uL . 2；xd2Udx2忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）LUx»ULux4 = '(S).31s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:这样，原定解问题转化为含参数x4 =(s).d2U s2 ,门 dx2 a2U 仁=0,U该方程的通解为U(x,s) =Ge，sx.C2e a ,其中Ci,C2是常数。为确定常数c1,c2，将边界条件x卫=0,代入上式，可得C1 - o =0,即& - -C2；将边界条件Ussl. .-

36、lx± = (s)代入上式，可得(s) -c)eac2e a因此 g - -c2 = siea(s)sl -e a从而s x ea u(x,s)= (S)s-lea -es-x-e a仝i-a-(lle aJc-l 七) -e a1 4l =s e a=(s)ss3sx . . l .I a +e a )丝a )s-x(ea -e a )(e(s)自_s.l(ea -e a )(e*(31 -x) (3I x)aa+s.1 -e a4l为了求U (x,s)的拉普拉斯逆变换，注意到分母为一 s1 - e a ,所以逆变换u(x, t)是周期为丝的关于i的周期函数。根据周期函数的拉普拉斯

37、变换式，其中s厂表 as1 -e a明：(t)是以4l为周期的周期函数，即aL=4- =07cp匕,ss 01 -e a 1 -e a由拉普拉斯变换函数表L冷1 -e(s)4iH-(t),sa并结合延迟定理Le丑F(s)二f (t -t。).可知L半厂e号Jt -G)u(t -匕).saa1 -e a同理可知(s)4ls1 -e al ；：xsl ：卜 Xl ：卜 Xe a V(t丨X)u(tx).aaL（s）4ls1 -e aL 饗1 -e a31 _x -s3l - x 31 - x、e a = (t )u(t ).aae晋(t_g)u(t-m,aa方程两边取反演，从而原定解问题的解为i忻

38、丨一x丨一x忻丨+x丨+xu(x,tr L U(x,s)(t )u(t )- (t )u(t ) aaaa"3lx)u(t_3l-x)_(t_3l x”.31 x).aaaa其中u（a）为单位阶跃函数,即 u(a)Qa cO, J,a >0.例：求解无界偏微分方程-l2=a2 _hu, （h为常数），（xAO,tO）,c xdx=0 =u°（常数），u鳥=°. 2解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，记Lu(x,t)二U (x,s),L ： =sU(x,s) -u :t-2c uL 一 2】:Xd2Udx2：2：2 Lu(x,t) :x-Ux =0u0这样，原定

39、界问题转化为含参数 s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:du* dx2Ux卫从而 U(x,t)二 LU(x,s)二 LU°e ss h -U =0,a二Uo,limU =0(为自然定解条件)s x 解此微分方程可得通解为s hx s h xU(x,s)二 qeac2e a ,其中 q, c2 为常数。为确定常数g, q，将边界条件U| =巴代入上式，可得Ci+C2=;一 ss因此，J:U。C2s所以，U吊XU(x,s) 0 e a . s将边界条件lim U =0代入上式，可得G =0._±±xa ，由拉普拉斯变换函数表l¥=1，s可知LU0 =u

40、°。s由拉普拉斯变换函数表®(2亍可知L41esXsx2a =erfC() ： x2aJt5如果令f(t)2e小，显然f(0) = 0,由导数性质,1 二、s'亦即 L4e a = f (t)二2t)ddt2at tx2e审由位移性质 Le"f (t) =F(s + k),可知 L°e一丁x二2atJ 珥x2X e事X4- ht)x e 4a2t2at -：t由卷积定理 Llftf2(t) =F|(s)F2(s),jShx可得 U(x,t)二 LJ 0 LJe a ,sx令、=2a /,最后可得该定解问题的解为( x2 1uo1x丄荷iht)u(

41、x,t) = L L e a = Uo e 4a ts2 at J兀 tUo( )X0U0 XeF0 2a(t - )二(t _ )x h(t f.)d0.Vn2hx2-hC Vx e a、d .2a.J t5综合比较，归纳总结从以上的例题可以看出，用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺点113:拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。但拉普拉斯 变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯 变换。而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制；用拉普拉斯变换方法求解微分方程， 由于同时考虑初始条件，求出的结果 便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求

42、通解，再考虑初始条件确定任 意常数，从而求出特解的过程比较复杂；零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。 而在微分方程的一般解法中，不会因此而有任何简化；用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解是 非常方便的。但微分方程的一般解法并没有简化；用拉普拉斯变换方法求解微分方程， 对方程的系数可变与否、对区域有界 与否、对方程和边界条件齐次与否并无特殊关系。而在微分方程的一般解法中， 会遇到很多困难；用拉普拉斯变换方法求解微分方程组， 可以在不知道其余未知函数的情况 下单独求出某一个未知函数。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；拉普拉斯变换可以使解n

43、个自变量偏微分方程的问题，转化为解n-1个自 变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可 将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，比微分 方程的一般解法更为简单、直接；比较系数法和常数变易法只需进行代数运算和积分运算，要求相对较低。相比之下，算子法要先将方程化为算子形式然后利用算子的性质进行分解，对初学者而言要求相对较高，然而算子法却具备比较系数法和常数变易法无法具备的 应用条件，有适应面广、计算量小、准确度高、简单易行的特点。结束语通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，可以看出拉普拉斯变换是 一种特别成功的数学方法，求解微分方程的步骤比较明确、规律性比较强、思路清晰且容易掌握。灵活使用拉普拉斯变换，可以巧妙地推出一些复杂问题的答案， 便于学生理解进而提高教学质量。参考文献1 李高翔.拉普 拉斯变 换在微分 方程组求解中的应用J.高等函授 学报,2009，22(3):22-24.2 张元林.工程数学积分变换(第四版) M.北京：高等教育出版社，2003 : 68-