匀速圆周运动及万有引力定律专题

1、匀速圆周运动及万有引力定律专题1定义：运动轨迹为圆，且速度大小不变，速度方向时刻改变的运动叫匀速圆周运动。注意：匀速圆周运动是一种变速运动，“匀速圆周运动”中的“匀速”是指速度的大小不变，但方向是时刻变化的。2. 匀速圆周运动的相关公式：线速度v= - = rT-角速度、厶T、V 24 兀2r向心加速度a向r 2 vrT2 . 2v24二 r心力卩向=口玄向=mm，r=m m vrT3. 向心力事物体做匀速圆周运动的力叫向心力。向心力的方向始终指向圆心，故而得名“向心力”，因此向心力是效果力。 向心力可以是一个力或一个力的分力，也可以是多个力的合力。4. 离心运动和近心运动的原因提供的向心力F

2、需要的向心力2=m r圆周运动2> m r近心运动v m '2r离心运动=0切线运动mg5. 向心力的来源举例(临界状态分析)(1 )。火车转弯如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供2 mg ta n-= v = : grta n，v增加，外轨挤压，如果 v减小，内轨挤压。r问题：飞机转弯的向心力的来源(2) 。汽车过拱桥2v 如果汽车在最咼点，那么 mg - N = m 此时汽车不平衡， mg丰N2v如果汽车在最低点，那么 N -mg =mr说明：F = mv2 / r同样适用于变速圆周运动，F和v具有瞬时意义，F随v的变化而变化。（3）。圆锥问题质量为m的小

3、球在顶角为2二的光滑圆锥内做水平面内的匀速圆周 运动，则重力mg和支持力N的合理提供向心力m gv2=m 組二 mm， 匸 m vtanr2从而r =ltanr，所以小球线速度越大，小球越往上爬；小球线速度越小,g小球越往下掉。（4）。绳模型和杆模型这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向 就不能确定了，要分三种情况进行讨论。2 弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有F - mg =卩匕 mgR即v_.

4、gR，否则不能通过最高点。2 弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：mg - F二印仝-mg, gR，R否则车将离开桥面，做平抛运动。 弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：当v , gR时物体受到的弹力必然是向下的；当v ： gR时物体受到的弹力必然是向上的； 当v = gR时物体受到的弹力恰好为零。 当 弹力大小F<mg时，向心力有两解： mg± F；当弹力大小 F>mg时，向心力只有一解： F +mg 当弹力F=mg时，向心力等于零。6. 解题步骤：（1）明确研究对象，确定它在哪个平面内作圆

5、周运动。（2）对研究对象进行受力分析，确定是那些力提供了向心力。（3 ）建立以向心力的方向为正方向的坐标，根据向心力公式列方程。（4）解方程，对结果进行必要的讨论。7 .例题分析例1。如图所示，传动轮 A、B、C的半径之比为2: 4: 1, A、B两轮用皮 带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于 A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之比，即3a：3b：coc：cod=线速之比,即Va：Vb：VVd =；向心加速度之即：aa：ab：ac：ad=比，BaA例2。如图所示，A B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A B的周期分别为

6、Tl、T2,且Tl<T2，在某一时刻两质点相距最近时开始计时，问何时两质点 再次相距最近？例3。如图所示，线段 0A = 2AB , A、B两球质量相等.当它们绕（）点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时,Tab与Toa之比为多少？两线段的拉力例4.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两 个物体A和B,它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时,烧断细线，两个物体的运动情况是 （）A. 两物体沿切向方向滑动B. 两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C. 两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动D. 物体B仍随圆盘一起做匀速圆

7、周运动，物体 A发生滑动，离 圆盘圆心越来越远例5.如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为n=0.3kg的小球B,A的重心到O点的距离为0.2m .若A与转盘间的最大静摩擦力为 f=2N,为使小球B保持静止，求转盘绕中心 O旋转的角速度3的取值范围.例6.（ 2009年高考广东卷）如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO转动,筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为 质量为m的小物块.求：R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半内壁上有 当筒不转动时，物块静止在筒壁 A点受到的摩擦力和支持力的大小;（2）当物块在A点随筒匀

8、速转动，且其受到的摩擦力为 零时，筒转动的角速度.例7如图，长为L的细绳一端固定，另一端连接一质量为m的小球，现将球拉至与水平方向成30°角的位置释放小球（绳刚好拉直），求小球摆至最低点时的速度大小和摆球受 到的绳的拉力大小。例8.如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆， 设细绳与竖直方向的夹角为 B下列说法中正确的是（）A. 小球受重力、绳的拉力和向心力作用B. 小球只受重力和绳的拉力作用C. B越大，小球运动的速度越大D . B越大，小球运动的周期越大例9. 一内壁光滑的环形细圆管，

9、位于竖直平面内，环的半径为多）.在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）.质量为m.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么 满足的关系式是.R （比细管的半径大得 A球的质量为m, B球的 vo.设A球运动到最低点m、R与vo应m、例10.如下图所示，LMP(是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m MP(是一半径为R= 1.6m的半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力 F作用下，质量 作1 kg的物体A由静止开始运动， 当达到M时立即停止用力欲使 A刚好能通过 Q点，则力F大小为多少？ (g取10 m/s2)例11

10、.如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到 B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C,滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点 A,试求滑块在AB段运动过程中的加速度.万有引力定律与航天1. 开普勒行星运动定律第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即:T2比值k是一个与行星无关的常量，至于中心天体有关。2. 万有引力定律(1) 开普勒对行星运动规律的描述(开普勒定律)

11、为万有引力定律的发现奠定了基础。(2) 万有引力定律公式：F 二GT2 , G=6.67 10J1N m2/kg2r(3) 万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件：天体的尺寸与天体间的距离相比可忽略不计，且其中的r是天体中心到天体中心的距离。3. 万有引力定律在天文学上的应用(1)基本方法： 把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：Mm2 r在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度:R为天体半径。(2)天体质量、密度的估算2测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r，周期为由 GMm r二 m2T2r得被环绕天体的质量为2 34-r几MM =牙，密度为-G

12、T2V_ 3： r3_gt2r2，R为被环绕天体的半径。当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r = R,（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系“ Mmv"/GM由Gr m 得v = .： rr r2 /口=m r 得-r越大，v越小由GMm2 r由gmm r= mr得T誌比 T2 GM r越大，T越大（4）三种宇宙速度 第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v1=7.9km/s ,人造卫星在地面附近环绕地球作 匀速圆周运动的速度。 第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：V2=ll.2km/s，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。 第三宇宙速度：V3=l6.7km/s

13、，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。4 .例题分析（1）测天体的质量及密度（万有引力全部提供向心力）Mm4二 2r3GT2（2贰丫=m 一 I r<T丿3二 r3gt2r3例1.继神秘的火星之后,今年土星也成了全世界关注的焦点。经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后,美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间 6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访” 土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高 h的圆形轨道上绕土星飞

14、行，环绕n周飞行时间为t。试计算土星的质量和平均密度。例2.宇航员站在一行星表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t,小球落到行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2 倍,则抛出点与落地点之间的距离为Lo已知两落地点在同一水平面内,该行星的半径为R,万有引力常数为 G,求该行星的质量（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题（重力近似等于万有引力）表面重力加速度:-MmGMG 2 mg。 go2RR轨道重力加速度:=mgh. gh =GMR h2例3. 一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为go，行星的质量M与卫星的质量 m之比M :

15、m=81，行星的半径 Ro与卫星的半径 R之比Ro： R= 3.6,行星 与卫星之间的距离 r与行星的半径 Ro之比r： Ro= 60。设卫星表面的重力加速度为 g,则在卫星表面有GMmr2=mg经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的 否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。1/36OO。上述结果是（3）人造卫星、宇宙速度宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）例4 将卫星发射至近地圆轨道 1 （如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道 3o 轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是:A.卫星

16、在轨道B 卫星在轨道 C.卫星在轨道3上的速率大于轨道 1上的速率。3上的角速度大于在轨道 1上的角速度。1上经过Q点时的加速度大于它在轨道 2上经过Q点时的加速度。D.卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。P（4）双星问题例5.两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相 同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R,其运动周期为 T,求两星的总质量。（5）有关航天问题的分析例6.无人飞船“神州二号”曾在离地高度为求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径H = 3. 4 105m的圆轨道上运行了 47小时。R=6.37 106m，重力加速度

17、 g = 9.8m/s2）三.针对训练1. 个物体以角速度 3做匀速圆周运动时.下列说法中正确的是（）A .轨道半径越大线速度越大B .轨道半径越大线速度越小C .轨道半径越大周期越大D .轨道半径越大周期越小2. 下列说法正确的是（）A .匀速圆周运动是一种匀速运动B.匀速圆周运动是一种匀变速运动C .匀速圆周运动是一种变加速运动D .物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改变线速度大小3. 如图5-16所示，小物体 A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A的受力情况是（）A .受重力、支持力B .受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C .受重力、支持力、向心力、摩擦力D .以

18、上均不正确4. 一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上，当车厢突然制动时，则（A .绳的拉力突然变小B.绳的拉力突然变大C .绳的拉力没有变化D .无法判断拉力有何变化5、如图一3所示的皮带传动装置中，轮 A和B同轴，A、B、 分别是三个轮边缘的质点，且 Ra=Rc=2Rb，则三质点的向心加速 度之比aA: aB： ac等于（）A. 4: 2: 1B. 2: 1 : 2C. 1 : 2: 4D. 4: 1 : 4小球到达最低点和最高点时，6. 质量为m的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动, 绳子所受的张力之差是 （）A . 6mgB. 5mgC. 2mgD .条件不充分，不能确定。7

19、. A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为B球轨道半径的2倍，A（ ）A . 1： 1D. 8: 1&如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r, a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r, b点在小轮上，到小轮中心的距离为 r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。a点和b点的线速度大小相等a点和c点的线速度大小相等若传动过程中皮带不打滑， 则（）a点和b点的角速度大小相等 a点和d点的向心加速度大小相等A .B.C.D .9如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两

20、个质量相等的小球A和B,在各自不同的水平布做匀速圆周运动，以下说法正确的是（）A . Va>VbB. 3A>3 bC. aA>aBD .压力 Na>Nb10半径为R的光滑半圆柱固定在水平地面上，顶部有一小物块，如图所示，今给小物块一个初速度v0二.gR，则物体将 （A .沿圆面A、B、C运动B .先沿圆面AB运动，然后在空中作抛物体线运动C .立即离开圆柱表面做平抛运动D .立即离开圆柱表面作半径更大的圆周运动11.如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于 点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度 当悬线碰到钉子时（）小球的瞬时速度突然变大小球的所受的向心力突然变大A

21、. B .小球的加速度突然变大悬线所受的拉力突然变大C.D .O点，在O点正下方的0，然后由静止释放小球，12. 如图所示，汽车以速度说法正确的是（）A .汽车受重力、支持力、B .汽车受重力、支持力、C .汽车的向心力是重力D .汽车的重力和支持力的合力是向心力13. 甲、乙两个物体之间的万有引力大小为1/2，同时甲、乙两物体之间万有引力的大小变为A . FB . F/214 .已知以下哪组数据能算出地球的质量A.地球绕太阳运动的周期B .月球绕地球运动的周期C.月球绕地球运行的周期V通过一半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力的向心力牵引力、摩擦力、向心力F,若乙物体的质量不变，甲物体的质量减少

22、（C . F/4）D . 2FT及地球到太阳中心的距离T及月球到地球中心的距离T及月球绕地球运动的速率D .人造卫星绕地球运行的速率v和地球绕太阳公转的周期Tv15同步卫星相对地面静止不动，犹如悬在高空中，下列说法中正确的是 A 同步卫星受力处于平衡状态B 所有同步卫星的速率是唯一的C 各国的同步卫星都在同一圆周上运动D.同步卫星的加速度大小是唯一的16.已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为（）A . 2 . 2 km/sB. 4 km/sC. 4 2 km/sD. 8 km/s17. 2002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天

23、发射场发射升空，按预定计划在太空飞行了 6天零18个小时，环绕地球 108圈后，在内蒙古中部地区准确着 陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础。若地球的质量、半径和引力常量 G均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的（）A 离地高度B.环绕速度C.发射速度D 所受的向心力18. 据观察，某行星外围有一模糊不清环。为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了该环中各层的线速度的大小 v与该层至行星中心的距离 R。以下判断中正确的是（）A .若v与R成正比，则环是连续物B .若v与R成反比，则环是连续物C 若v2与R成正比，则环是卫星群D 若v2与R成反比，则环是

24、卫星群19.已知引力常量 G月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（）A .月球的质量B .地球的质量 C .地球的半径20 .两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点 其质量分别为 mm2,如右图所示，以下说法正确的是A.它们的角速度相同C.向心力与质量的乘积成正比D.月球绕地球运行速度的大小O为圆心做匀速圆周运动，（ ）m2B 线速度与质量成反比D.轨道半径与质量成正比21 .如图所示，质量 m=0.1kg的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内做半径为r=0.2m的圆周运动，已知小球在最高点的速率为（1 ）小球在最高点时的细绳的拉力（2 ）小球在最低点时的细绳的拉力22 .如图5-14所示，半径为 R的圆板置于水平面内，在轴心 处，水平抛出一个小球，圆板做匀速转动，当圆板半径0B向平行时，小球开始抛出，要使小球和圆板只碰一次，且落点为 初速度的大小（2）圆板转动的角速度。2V1 =2m/s, g 取 10m/s ,= ?丁2=?试求:23 .长为L=0.