2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义教学案苏教版

1、3. 3 复数的几何意义 托1象问題情境化，新知无珮自通对应学生用书 P43 复平面的定义 冋题 1:平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗? 提示：可以. 问题 2:试说明理由. 提示：因复数z= a+ bi（ a, b R）与有序实数对（a, b）惟一确定，由（a, b）与平面直角 坐标系点 - 对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间 - 对应. 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示 复数的几何意义 已知复数 z = a+ bi（ a，b R）. 问题 1 在复平面内作出复数 z 所对应的点

2、Z 提示：有一一对应关系. 问题 3：复数z= a+ bi 与 有何关系? 提示：也是一一对应. 1. 复数与点，向量间的对应关系 HJ| 提示：如图所示. 问题 2:向量 和点Z有何关系? 2 2 复数的模 复数z = a+ bi( a, b R)对应的向量为OZ，则oZ的模叫做复数z的模(或绝对值)， 记作 | z|，且 | z| = | a+ bi| =a2+ b2. 如图 函、匡 c+ di 对应. 分别与复数a+ bi , 问题 1:试写出 云、 提示：OZ1 = (a, b) , OZ2 = (c, d), 云+邑 =(a+ c, b+ d), 云喝= (a- c, b-d). 问

3、题 2:向量云+ OZ；及 所对应的复数分别是什么? 提示：(a+ c) + (b+ d)i 及(a c) + (b d)i. 1.复数加法的几何意义 ， 函 分别与复数z= a+ bi ,Z2= c+di 对应，且 OZ；和| OZ； 不共线.如图，以为邻边画平行四边形 OZZZ2，则其对角线 OZ 的坐3 复数加减法的几何意义 所表示的向量 OZ|OZI就是复数(a+ c) + (b + d)i 对应的向量. 2. 复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算, |OZ2 不 共线，如图. 设 a+ bi , c + i 4 意义. 3. 设 zi = a+ bi , Z2= c+ di(

4、 a, b, c, d R)，贝U | 乙一Z2| = a c2+ b d2, 即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 1 复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部. 2. 表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是 对应的；表示纯虚 数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数 3在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同 的. 蔦協芒点壮主:工：点韭迪对应学生用书 P44 例 1实数x分别取什么值时，复数z= x2 + x 6+ (x2 2x 15)i 对应的点Z在下列 位置？ (1) 第三象

5、限；(2)第四象限；(3)直线x y 3 = 0 上? 思路点拨利用复数与复平面内点之间的对应关系求解.若已知复数 z = a+ bi( a, b R),则当a0 且b0 且b0,且bv0 时，复数z对应的点在第四象限； 当a b 3 = 0 时，复数z对应的点在直线 x y 3= 0 上. x + x 6 v 0, (1)当实数x满足2 即一 3v xv 2 时，点Z在第三象限. |x 2x 15v 0,则这两个复数的差 Z1 Z2与向量 0. 对应，这就是复数减法的几何 复数的几何意义 5 即 2 vxv 5 时，点Z在第四象限. 当实数 x 满足(x2+ x 6) (x2 2x 15)

6、3= 0, 即x = 2 时，点Z在直线x y 3= 0 上. 一点通按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的 对应关系， 每一个复 数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点， 就可根据点 的位置判断复数的实部、虚部的取值. 2i 1. _ (湖北高考改编)在复平面内，复数 z = (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于 第 象限. 2i 9 i j 9 i j 解析：z= 不= = - = i + 1 的共轭复数为 1 i，对应的点 为(1 , 1)在第四象限. 答案：四 2. 求当实数 m为何值时，复数z = (X 8m+ 15) +(m+ 3m 28)i

7、在复平面内的对应点 分别满足下列条件： (1) 位于第四象限； (2) 位于x轴的负半轴上. ni 8m+ 150, 解：(1)由题意，知* 2 m+ 3m- 285, 解得 7n4. 即一 7nr3. 故当7nr3 时，复数z的对应点位于第四象限. 厂 2 m 8m+ 15 0, x2 2x 15v 0 6 m= 4 适合不等式， 所以 m= 4.7 故当m 4 时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上. 例 2 已知复数zi= 3-i 及Z2 =-f+i. (1)求| Zi|及| Z2|的值并比较它们的大小; 设z C,满足| Z2| | Z2|. (2)由(1)知 K| z| 1的解集是圆|

8、z| = 1 上和 该圆外部所有点组成的集合，不等式 |z| W2的解集是圆|z|= 2 上和该圆 内部所有点组成的集合， 所以满足条件 1|z| 2的点Z的集合是以原点 0为圆心，以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图 所示. 一点通(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进 行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离. 勿幻紙血韋制么 1 3. _ (辽宁高考改编)复数z=匚 1 的模为 . 1 1-i 1 i 解析z = = = 解 -1 + i -1+ - 11 2 4.

9、 _ 已知z= 3+ ai，且|z-2| v2，则实数a的取值范围是 _ 9 解析：T z = 3 + ai，二 z 2= 1 + ai , j z 2| = .Ji + a 2，即 1 + a 4, a23，即3a 3. 答案：(一 3, 3) 5. 设z C,则满足条件|z| = |3 + 4i|的复数z在复平面上对应的点 Z的集合是什么图 形？ 解：法一：由 |z| = |3 + 4i| 得 |z| = 5. 这表明向量 足的长度等于 5,即点Z到原点的距离等于 5. 因此满足条件的点 Z的集合是以原点 0为圆心，以 5 为半径的圆. 2 2 2 法二：设 z = x+ yi( x, y

10、 R)，贝 U | z| = x + y . / |3 + 4i| = 5, 2 2 由 |z| = |3 + 4i| 得 x + y = 25, 点Z的集合是以原点为圆心，以 5 为半径的圆. 复数加减运算的几何意义 例 3已知？OAB啲三个顶点 O, A, C对应的复数分别为 0,3 + 2i , AOCA , OB) 复数 精解详析(1) TO = |OA ，故 R0 表示的复数为一(3 + 2i)，即一 |CA = OA _0C，故 CA 表示的复数为(3 + 2i) ( 2+ 4i) = 5 2i. 5B = |OA + AB = fOA + OC，故吕 B 表示的复数为(3 + 2

11、i) + ( 2+ 4i) = 1 + 6i , 即点B对应的复数为 1+ 6i. 一点通(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标 运算或向量运算. 2 + 4i，试求: |AO 表示的复数; 表示的复数; 点B对应的复数. 思路点拨 点O A, C 向量的坐标表示 对应的复数 复数在复平面上 与向量一一对应 3 的坐标形式 10 (2) 复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则. (3) 复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能.11 6. 已知复数zi= 2 + i , Z2= 1+ 2i 在复平面内对应的点分别

12、为 数z, z在平面内对应的点在第几象限？ 解：z= Z2- zi = (1 + 2i) (2 + i) =- 1 + i , / z的实部一 10, 复数z在复平面内对应的点在第二象限内. 7. 在复平面内，点 A B、C分别对应复数 Z1= 1 + i , Z2 = 5+ i , Z3= 3+ 3i.以AB AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC求D点对应的复数Z4及AD的长. 即 Z4 Z1 = ( Z2 Z1)+ ( Z3 Z1). 所以 Z4= Z2+ Z3 Z1= 7 + 3i. | AD = | Z4 Z1| = |(7 + 3i) (1 + i)| = |6 + 2i| 2 1

13、0. 方法规律小结 1. 复数模的几何意义 决，而几何问题也可以用复数方法解决 (即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径. (1) 复数z= a+ bi( a, b R)的对应点的坐标为(a, b)，而不是(a, bi)； (2) 复数z = a+ bi( a, b R)的对应向量OZ 是以原点 0为起点的，否则就谈不上 对应，因为复平面上与 毘相等的向量有无数个. 2. 复数的模 (1) 复数 z= a+ bi( a, b R)的模 |z| = a2 + b2； (2) 从几何意义上理解，表示点 Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申： |Z1 Z2|表示点Z1和点Z2之间的距离. A

14、 B,求苗对应的复 解：如图，由复数加减法的几何意义, 复数模使得复数问题可以用几何方法解 12 课下训练经典化，贵在触类旁通对应学生用书 P45 一、填空题YINGVON1G 13 2. _ (重庆高考改编)复平面内表示复数 i(1 2i)的点位于第 _ 象限. 解析：i(1 2i) = 2+ i 对应的点为(2,1)，位于第一象限. 答案：一 3. _ 若 z+ | z| = 2 + 8i，贝U z= . 解析：法一：设 z= a+ bi( a, b R), 则| z| = -. a2+ b2, 代入方程得 a+ bi + , a2+ b2= 2+ 8i. 所以 z= 15 + 8i. 法

15、二：原式可化为 z = 2 | z| + 8i , / |z| R,. 2 | z| 是 z 的实部. 于是 |z| = . 2 | 2 + 82,即卩 |z|2= 68 4|z| + |z|2, |z| = 17. 代入 z= 2 |z| + 8i，得 z = 15+ 8i. 答案：15+ 8i 4. 已知 乙=2+ i , Z2= 3 + ai( a R)，若Z1 + z 所对应的点在实轴上，贝U a= _ 解析：Z1 + Z2= 2 + i + 3+ ai = 5+ ( a+ 1)i , 由乙+ Z2所对应的点在实轴上可知 a+ 1= 0，即a= 1. 答案：1 所以 a+ a2 + b

16、2= 2, b= 8, a= 15, 解得* b= 8, -2), 答案：5 14 1 5. _ (新课标全国卷I改编)设z = 1+ i + i，则| z| = _ . 1 解析：1 + i + i = 1+ i + i =11 + i =1 + *i ,则|z| = 15 1 1. 答案：+ 二、解答题 6.若复数 z = (mi+ m- 2) + (4 ra- 8nu 3)i( m R)的共轭复数z对应的点在第一象限, 求实数m的集合. 2 2 解：由题意得 z = (m + n 2) (4m 8m+ 3)i ,z对应的点位于第一象限, r 2 小只 m+ m- 20, im 8m+：

17、ij, r 2 m+ m- 所以芒2 - 20, 4m 8m+ 31, 所以 1 3 2 吧, 9 即 1m|，故所求m的集合为 3 m 1m- 2 7.在复平面内 A, B, C三点对应的复数分别为 1,2 + i , 1 + 2i. 星，显,足 对应的复数； 判断 ABC的形状； (1)求 求厶ABC的面积. 解：(1) |AB 对应的复数为 ZB ZA= (2 + i) 1 = 1 + i. BC 对应的复数为 zc ZB= ( 1+ 2i) (2 + i) = 3+ i. |Ac 对应的复数为 ZC ZA= ( 1 + 2i) 1 = 2 + 2i. =电,| 或=I 3+ i| =航,| (2)由(1)知