运筹学第二章 线性规划

1、2021-12-41Chapter2 线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法 (Linear Programming) LP的数学模型的数学模型 图解法图解法 单纯形法单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用模型的应用2021-12-421. 规划问题规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。这就是规划问题。（1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用）当任务或目标确定后，如何统

2、筹兼顾，合理安排，用最少的资源最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标去完成确定的任务或目标（2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多好的经济效益（如产品量最多 、利润最大、利润最大. .）2021-12-43例例1.1 如图所示，如何截取如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最使铁皮所围成的容积最大？大？ x xa a xxav 220 dxdv0)2()2()2(22 xaxxa6ax 2021-12-44例例1.2 某厂生产两种

3、产品，某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润源及单位产品利润 问：应如何安排生产计划，才问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？能使总利润最大？ 解：解：1.1.决策变量：设产品决策变量：设产品I I、IIII的产量的产量 分别为分别为 x1、x22.2.目标函数：设总利润为目标函数：设总利润为z z，则有：，则有： max z = 2 x1 + x23.3.约束条件：约束条件： 5x2 15 6x1+ 2x2 24 x1+ x2 5 x1， x202021-12-45例例1.3 已知资料如下表所示，已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润问如

4、何安排生产才能使利润最大？最大？ 设设 备备产产 品品 A B C D利润利润（元）（元） 2 1 4 0 2 2 2 0 4 3 有有 效效 台台 时时12 8 16 12解：解：1.1.决策变量：设产品决策变量：设产品I I、IIII的产量的产量分别为分别为 x1、x22.2.目标函数：设总利润为目标函数：设总利润为z z，则，则有：有： max z = 2 x1 + 3x23.3.约束条件：约束条件： x1 0 , x2 0 2x1 + 2x2 12 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 122021-12-46例例1.4 某厂生产三种药物，某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同

5、的这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量位原料可提取的药物量 解：解：要求：生产要求：生产A种药物至少种药物至少160单位；单位；B种药物恰好种药物恰好200单位，单位，C种药物不超过种药物不超过180单位，且单位，且使原料总成本最小。使原料总成本最小。1.1.决策变量：设四种原料的使用决策变量：设四种原料的使用 量分别为：量分别为：x1、x2 、x3 、x42.2.目标函数：设总成本为目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x43.3.约束条件：约束条件： x1 + 2x2 + x3 + x4

6、 160 2x1 +4 x3 +2 x4 200 3x1 x2 +x3 +2 x4 180 x1、x2 、x3 、x4 02021-12-47 例例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：线的货运量、货运成本如下表所示：航线号航线号船队船队类型类型编队形式编队形式货运成本货运成本（千元队）（千元队）货运量货运量（千吨）（千吨）拖轮拖轮A型型驳船驳船B型型驳船驳船1112362521436202322472404142720船只种类船只种类船只数船只数拖拖 轮轮30A型驳船型驳船34B型驳船型驳船52航线号航

7、线号合同货运量合同货运量12002400问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？2021-12-48 解：解：设：设：x xj j为第为第j j号类型船队的队数（号类型船队的队数（j = 1j = 1，2 2，3 3，4 4），）， z z 为总货运成本为总货运成本则：则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4 x1 + x2 + 2x3 + x4 30 2x1 + 2x3 34 4x2 + 4x3 + 4x4 5225x1+20 x2 200 40 x3+20 x4 400 xj 0 （

8、 j = 1,2,3,4）2021-12-492021-12-4102021-12-4112021-12-41200 )( )( (min) max12211112121112211 nmnmnmmnnnnxxbxaxaxabxaxaxaxcxcxcz)21(j 0 )21(i )( Z (min)max 11nxmbxaxcjnjijijnjjj 简写为：简写为：2021-12-413) (21ncccC nxxX1 mjjjaaP1 mbbB1 0 )( (min) maxXBxpCXzjj其中：其中：2021-12-414 mnmnaaaaA1111 0 )( (min) maxXBAX

9、CXZ其中：其中：) (21ncccC nxxX1 mbbB12021-12-4156. 线性规划问题的标准形式线性规划问题的标准形式11max,1,2,.0,1,2,njjjnijjijjZc xa xb imstxjn特点：特点：(1) 目标函数求最大值；目标函数求最大值；(2) 约束条件为等式方程，约束条件为等式方程，且右端常数项且右端常数项bi都大于都大于或等于零；或等于零；(3) 决策变量决策变量xj为非负。为非负。2021-12-416 目标函数的转换目标函数的转换 如果是求极小值即如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。，可化为求极

10、大值问题。 jjxczmin也就是：令也就是：令 ，可得到上式。，可得到上式。zz jjxczzmax即即 若存在取值无约束的变量若存在取值无约束的变量 ，可令，可令 其中：其中：jxjjjxxx 0, jjxx 变量的变换变量的变换2021-12-417 约束方程的转换：由不等式转换为等式。约束方程的转换：由不等式转换为等式。 ijijbxa0 iniinjijxbxxa称为松弛变量称为松弛变量 ijijbxa0 iniinjijxbxxa称为剩余变量称为剩余变量 常量常量 bi0 的变换的变换: :约束方程两边乘以约束方程两边乘以（1）2021-12-418例例1.6 将下列线性规划问题化

11、为标准形式将下列线性规划问题化为标准形式 ,0,52324 7 532min321321321321321无无约约束束xxxxxxxxxxxxxxxZ用用 替换替换 ，且，且 解解:（）因为（）因为x3无符号要求无符号要求 ，即，即x3取正值也可取负值，标准取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以型中要求变量非负，所以33xx 3x0,33 xx2021-12-419(2) 第一个约束条件是第一个约束条件是“”号，在号，在“”左端加入松驰变量左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；化为等式；(3) 第二个约束条件是第二个约束条件是“”号，在号，在“”左端减去剩余变量左端减去剩余变量x5，x

12、50；(4) 第第3个约束方程右端常数项为个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以，方程两边同乘以(-1),将右将右端常数项化为正数；端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到得到max z=-z，即当，即当z达到最小值时达到最小值时z达到最大值，反之亦然达到最大值，反之亦然;2021-12-42012334512334123351233123345max23()005() 7 () 252() 5,0 Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxx标准形式如下：标准形式如下：2021-12-421 例例1

13、.7 将下列线性规划问题化为标准形式将下列线性规划问题化为标准形式12312312312123m in52623521 00 ,0 , Zxxxxxxxxxxxxxx 为无约束（无非负限制）为无约束（无非负限制）2021-12-422 解解: : 标准形式如下：标准形式如下：123345123341233512123345max5()2()00()() 6 2()3() 52() 10,0 Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxx 2021-12-423 12121212m in Z2385340 ,xxxxxxxx 1341345134613456maxZ2()38()53()4

14、,0 xxxxxxxxxxxx x x x x 例例1.8 将线性规划问题化为标准型将线性规划问题化为标准型解：解：无约束无约束2021-12-4247. 7. 线性规划问题的解线性规划问题的解 )3(, 2 , 1, 0)2(), 2 , 1(.) 1 (max11njxmibxatsxcZjnjijijnjjj线性规划问题线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组的方程组中找出一个解，使目标函数中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。达到最大值。2021-12-425 可行解可行解：满足约束条件：满足约束条件、的解为可行解。

15、所有可行解的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。的集合为可行域。 最优解最优解：使目标函数达到最大值的可行解。：使目标函数达到最大值的可行解。 基：基：设设A为约束条件为约束条件的的mn阶系数矩阵阶系数矩阵(m04010出出基基将将3化为化为15/311801/301/31011/3303005/304/3乘乘以以1/3后后得得到到103/51/518011/5 2/5400112021-12-447例例1.13 用单纯形法求解用单纯形法求解 02053115232.2max321321321321xxxxxxxxxtsxxxZ、解：将数学模型化为标准形式：解：将数学模型化为标准形式： 5

16、, 2 , 1, 02053115232.2max53214321321jxxxxxxxxxtsxxxZj不难看出不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。可作为初始基变量，列单纯形表计算。2021-12-448cj12100icB基变量基变量bx1x2x3x4x50 x4152-32100 x5201/31501121000 x42x2j 2021/3150120753017131/30902j 256011017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9 -1/9 -7/3j 2021-12-449 0,124 16 482122232max21212121

17、21xxxxxxxxxxZ变成标准型变成标准型 0, 12 4 16 4 8 2 21 22000032max6543216251421321654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZ例例1.14 用单纯形法求解用单纯形法求解2021-12-450约束方程的系数矩阵约束方程的系数矩阵 654321100040010004001021000122ppppppA IppppB100001000010000165436543 xxxx,21xx ,为基变量为基变量为非基变量为非基变量I I 为单位矩阵且线性独立为单位矩阵且线性独立2021-12-4512021-12-4522021-

18、12-4532021-12-454学习要点：学习要点：1. 线性规划解的概念以及线性规划解的概念以及3个基本定理个基本定理2. 熟练掌握线性规划问题的标准化熟练掌握线性规划问题的标准化 3.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤2021-12-455人工变量法：人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的

19、等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为的变量称为人工变量人工变量，构成的可行基称为，构成的可行基称为人工基人工基，用，用大大MM法法或或两阶段法两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为为人工变量法人工变量法。2021-12-456例例1.10 用大用大M法解下列线性规划法解下列线性规划 012210243423max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、解：首先将数学模型化为标准形式解：首先将数学模型化为标准形式 5 , 2 , 1, 01221024

20、3423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表。立初始单纯形表。2021-12-457故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：12345671234612351237max320043 4 2 10 22 10,1,2,7jZxxxxxMxMxxxxxxxxxxxxxxxj其中：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用

21、前面介可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 2021-12-458cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i-Mx64-431-101040 x5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M-M-Mx63-650-1013/50 x58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/500 x531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/

22、310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3j j j j 2021-12-459例例1.11 用大用大M法解下列线性规划法解下列线性规划12312312313123max3 2114232 +10Zxxxxxxxxxxxxxx、 、解：首先将数学模型化为标准形式解：首先将数学模型化为标准形式1231234123513max3 2114232 10,1,2,5jZxxxxxxxxxxxxxxj系数矩阵中不存在系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建单位矩阵，无法建立初始单纯形表。立初始单纯形表。2021-12-460故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：故人为添加

23、两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：+0+01234567123412356137max3 3 11 -4 2 + 3 2 10,1,2,7jZxxxxxMxMxxxxxxxxxxxxxxj其中：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 2021-12-461Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4111-211000

24、11-Mx63-4120-1103/2-Mx71-20100011Z-4M3-6M-1+M-1+3M0-M000 x4103-20100-1-Mx610100-11-21-1x31-2010001Z-M-11-1+M00-M0-3M+12021-12-462Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4123001-22-54-1x210100-11-2-1x31-2010001Z-21000-1-M+1-M-13x141001/3-2/32/3-5/3-1x210100-11-2-1x390012/3-4/34/3-7/3Z2000-1/3-1/3-M+1/3-M+

25、2/32021-12-463 通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是如果在大法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变如果在大法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量，那么该线性规划就不存在可行解。量，那么该线性规划就不存在可行解。 无可行解无可行解 2021-12-464C -3 -2 -1 0 0 0 -M -M CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0-M-M x4x7x8 643 1 1 1 1 0 0 0 01 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 6/1-3/1 Z -7M -6-4M

26、-15-M -3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0 0-M-2 x4x7x2 343 1 0 2 1 0 1 0 -11 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 3/14/1- Z Z -3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M -3-M-2 x1x7x2 313 1 0 2 1 0 1 0 -10 0 -3 -1 -1 -1 1 10 1 -1 0 0 -1 0 1 0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1 例例运算到检验数全负为止，仍含有人工变量，无可行解。运算到检验数全负为止，仍含有人工变量，无可行解。2021-12-465 无可

27、行解无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集；线性规划问题的可行域为空集； 无界解无界解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内趋于无穷大。标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内趋于无穷大。 判别方法：无界解判定定理判别方法：无界解判定定理 在求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验在求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验 行存在某个大于零的检验数，但是该检验数所对应的非基变量行存在某个大于零的检验

28、数，但是该检验数所对应的非基变量 的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题 无界解无界解 无界解无界解2021-12-466C 2 2 0 0 CXB B x1 x2 x3 x4 0X3 1-11100X4 2-1/2101Z022001= 20因因 但但 所以原问题无界解所以原问题无界解1-1P=01-22021-12-467 退化退化 即计算出的即计算出的 （用于确定换出变量）存在有两个以上相同的最小（用于确定换出变量）存在有两个以上相同的最小比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，这就是比值，会造成下一次迭代中由一

29、个或几个基变量等于零，这就是退退化化（会产生退化解）。（会产生退化解）。 为避免出现计算的循环，勃兰特为避免出现计算的循环，勃兰特(Bland)提出一个简便有效的规提出一个简便有效的规则（摄动法原理）：则（摄动法原理）： 当存在多个当存在多个 时，选下标最小的非基变量为换入变量；时，选下标最小的非基变量为换入变量；(2) 当当值出现两个以上相同的最小值时，选下标最小的基变量为换值出现两个以上相同的最小值时，选下标最小的基变量为换出变量。出变量。0j2021-12-468 无穷多最优解无穷多最优解 若线性规划问题某个基本可行解所有的非基变量检验若线性规划问题某个基本可行解所有的非基变量检验数都小

30、于等于零，但其中存在一个检验数等于零，那么该数都小于等于零，但其中存在一个检验数等于零，那么该线性规划问题有无穷多最优解。线性规划问题有无穷多最优解。例：最优表：例：最优表：非基变量检验非基变量检验数，数，所以有无穷多所以有无穷多最优解。最优解。C 1 2 0 0 0CBXBb x1 x2 x3 x4 x5021x3x2x12320 0 1 2 -10 1 0 1 01 0 0 -2 12/23/1-Z8 0 0 0 0 -14= 02021-12-469单纯性法小结单纯性法小结:建建立立模模型型个个 数数取取 值值右右 端端 项项等式或等式或不等式不等式极大或极小极大或极小新加变新加变量系数

31、量系数两两个个三个三个以上以上xj0 xj无无约束约束xj 0 bi 0bi 0=max Zmin Zxs xa求求解解图图解解 法法、单单纯纯形形法法单单纯纯形形法法不不处处理理令令xj = xj - xj xj 0 xj 0令令 xj =- xj不不处处理理约束约束条件条件两端两端同乘同乘以以-1-1加加松松弛弛变变量量xs加加入入人人工工变变量量xa减减去去xs加加入入xa不不处处理理令令z=- ZminZ=max z0-M2021-12-470一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。件时，才能建立线性规划模型。 要

32、求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数为线性函数 存在着多种方案存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述束可用线性等式或不等式描述2021-12-471常见问题常见问题合理利用线材问题：如何下料使用材最少。合理利用线材问题：如何下料使用材最少。配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。利润。投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。最大。产品生产计划：合理利用人

33、力、物力、财力等，产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。使获利最大。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。2021-12-472 (1)设立决策变量；设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（）还是极小（Min）；）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是

34、否有非负性。根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：2021-12-473例：现有一批某种型号的圆钢长例：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取米，需要截取2.5米米长的毛坯长的毛坯100根，长根，长1.3米的毛坯米的毛坯200根。问如何才能根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？既满足需要，又能使总的用料最少？解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。种下料方案以供套裁用。2.5m32101.3m0246料头料头0.50.40.30.21. 合理下料问题合理下料问题2021-12-474 )4.3.2.1(020064210023min4323214321jxxxxxxxxxxxZj设按方案设按方案、下料的原材料根数分别为下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：，可列出下面的数学模型：2021-1