2018届高考数学二轮复习第一部分专题六解析几何1.6.3圆锥曲线的综合问题限时规范训练

1、限时规范训练 圆锥曲线的综合问题 限时 45 分钟，实际用时 _ 分值 80 分，实际得分 _ 解答题(本题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分) 2 X 2 1. (2017 高考全国卷n )设 O为坐标原点，动点 M在椭圆C: + y = 1 上，过M作x轴的 垂线，垂足为N,点P满足 g 2NM (1) 求点P的轨迹方程； (2) 设点Q在直线x =-3 上，且OP- PQ= 1,证明：过点 P且垂直于 OQ的直线I过C的左焦 点F. 解: (1)设 Rx, y), Mx。，y。), 则 N xo,0) , bfP= (x xo, y), KfM= (0 , yo). 由NP=

2、2 代得 X0= x, yony. 2 2 因为Mx, y)在C上，所以才+ y = 1. 因此点P的轨迹方程为x2 + y2= 2. (2)由题意知 F( 1,0).设 Q= ( 3, t), P(m n), 则 OQ= ( 3 , t), PF= ( 1 m n) , SQ PF= 3+ 3 m tn, OF= ( m, n) , PQ= ( 3 m, t n). 由 OP PQ= 1 得一 3m m+ tn n2= 1 , 又由(1)知 吊+ n2= 2,故 3+ 3m tn = 0. 所以 OQ PF= 0,即 OQL PF. 又过点P存在唯一直线垂直于 OQ所以过点P且垂直于OQ的直

3、线I过C的左焦点F. 2 2 2. (2017 黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C：笃+ y2= 1( a b 0)的焦点分别为F* 3 , 0), a b F2(萌,0),点 P 在椭圆 C上 ,满足 |PF| = 7|PB|, ta n / RPF=诽. (1) 求椭圆C的方程. (2) 已知点A(1,0)，试探究是否存在直线I : y = kx + m与椭圆C交于 D, E两点，且使得|AQ = |AE ?若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 7 a a , 2 1 解: (1)由| PF| = 7| P冋,PF+ P= 2a得 PF = T, PF=：,由 cos2/ F1P 2

4、“匚= 4 4 1 + tan / F1PR-2 - 2 2 1 1 人亠宀/曰 1 罟+ 4 2 3 2 、 2= ，又由余弦疋理得 cos/ F1PB= = ，所以 a= 2, 1+ 3 2 49 7 2 x 2 故所求C的方程为 4 + y2= 1. 2 x 2 (2)假设存在直线I满足题设，设 D(X1, y , E(X2, y2)，将y= kx + m代入+ y = 1 并整理 得(1 + 4k2)x2+ 8kmx+ 4ni- 4= 0，由= 64k2m-4(1 + 4k2)(4 吊一 4) = 16( vm 4k2 1) 0，得 B为虚轴的端点，离心率 e=字，且&AB=

5、1乎.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为 F. (1) 求双曲线 M和抛物线N的方程. (2) 设动直线I与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点 Q则以PQ为直径的圆是 否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如要不经过，试说明理由. 解：(1)在双曲线 M中，c = a2 + b2,由e=牛3 3,得 a十b = 牛3 3 3 a 3 解得 a= .3b，故 c = 2b. ABF= ( c a) x b= *2b 3b) x b= 1 解得b= 1. 所以 a= 3, c = 2. 2 所以双曲线M的方程为卷x2= 1,其上焦点为F(0,2), 2 所以抛物线N的方程为x

6、= 8y. 由(1)知y = 8x2，故y= 4x，抛物线的准线方程为 y= 2.设Rx , y。)，则 0,且直 线I的方程为7a a 2 2X T x 4 4k2+ 1 nto,又 X1 + X2= 1 ?：2 设 D, E中点为 Mxo, yo), 4 km m i 2 , 2 , kAI 1 + 4k 1 + 4k M k= 1, 1 _L 4k2 得m= ，将代入得 4k2 +1 3k 2 2 +3j4 4k，化简得 20k4 + k2 1 0? (4 k2 +1)(5 k2 1) 一 k 0, b0)的上焦点为F,上顶点为 A, 所以 0,解得 -3 - 1 1 2 即 y = ；

7、XoX T；Xo. 4 8 2 + (y 1) = 1,且圆心 Q满足| QF| + |QF| = 2a. 假设存在点 R(0 , yi)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是 RP- RQ= 0 对任意的xo, yo 恒成立. 2 又Rp= (xo, y-yj , ox。，- 2 2 y1 * ， 由RP- RQ= o, 得X2OXT6+ (yo y1)( oy1)= o, 整理得 x1 2 16 2 2 2yo yoy1 + 2y1 + y1 = o, 2 即(y1 + 2y1 8) + (2 y 1)yo= o.( ) 由于()式对满足yo= *xo(xoM Mo)的任意xo, yo恒成

8、立，所以 W W y o,y o, _ _ 8 8 y1 + 2y1 8 = o, 解得y1 = 2. 故存在y轴上的定点F(o,2)，使得以PQ为直径的圆恒过该点. 4.已知椭圆 C: 2 x 2 + a 2 y b = 1(abo)的左、 右焦点为 F1, Fa, F2的坐标满足圆 Q方程(x 2)2 2 Xo 16 x= - - 得 Ox -4 - 2 2 所以a= 2, b2 = a2-c2= 2，所以椭圆C的方程为X4 + y2 = 1. 当I i平行x轴时，12与圆Q无公共点，从而 MAB存在； 所以设 11 ： x= t(y- 1)，则 12： tx + y 1 = 0. 2 2

9、 x_+ L= 1 由 4 4 2 消去 X 得(t2+ 2)y2 2t2y +12 4 = 0，贝U | AB = 1 + t2|y1 y?| = x=t y- 1 1 +12 ?t2+8 t2+ 2 又MPL ABQMLCD所以M到AB的距离即Q到 AB的距离，设为d2,即d2= 5. (2017 山东潍坊模拟)如图，点O为坐标原点，点F为抛物线C : x2= 2py(p 0)的焦点, 当正数p变化时，记 S, S2分别为 FPQ FOC的面积，求 詈的最小值. S 2 2 X0 i 2 x x xo, ，由 x = 2py(p0)得，y =亦，求导得 y= . 2 因为直线PQ的斜率为

10、1，所以 j= 1 且X。一 2p 2= 0, 解得p= 2 2, 所以抛物线C的方程为x2= 4迈迈y.( 又圆心Q 2, 1)到12的距离d1 = v 1 得 t2v 1. 令 U= t2+ 4 2 , 5)，贝U S= f ( u) = u2 2 uu .1 + t2 所以 MAB面-积 S= ?|AB d2 = 2 2 所以 且抛物线C上点P处的切线与圆 (1)当直线PQ的方程为x -5 - 2 因为点P处的切线方程为：y-2p专（X-X。）, 即 2xoX 2py x2= 0, 根据切线又与圆相切，得1 = 1, Q4X2+ 4p2 化简得 x4 = 4x2 + 4p2, 由 4p2

11、= x4 4x2 o,得 | xo| 2. 2xox 2py x2= o, 由方程组忖y2“， 解得QXo，號， 所以 | PQ = 1 + k2| XPXQ| o, p前切线PQ的距离是d= 1 匕Xo|2 2 +3 3, 即 xo= 4 + 2 2,此时,p= 2+ 2 . 2, 所以 g 的最小值为 3+ 22.(1) 求椭圆G的方程. (2) 过点P(o,1)的直线11交椭圆G于 A, B两点，过P与11垂直的直线12交圆Q于G D两点， M为线段CD中点，求 MABT积的取值范围. 解： 方程(x. 2)2 + (y 1)2 = 1 为圆，此圆与x轴相切，切点为 冃(2, o),所以c = 2, x2 2 Xo X2 2 Xo | Xo| 2 牙（X。-2 2） 所以S= 1| PQ d =洛 xo 2）, 16p P 2|xo| , 所以 s Xo xo2 Xo 所以 S2= 8p =F x4 4x2 =2 xo-1 $= 21 1 OFf| | XQ| x