高考数学名师指导提能专训21坐标系与参数方程（选修4-4）理

1、提能专训（二十一）坐标系与参数方程（选修4-4）1. （2013 福建省毕业班质检）如图，在极坐标系中，圆c的圆心坐标为（1,0）,半径为1.（1）求圆。的极他标方程；（2）若以极点。为原点，极轴所在直线为/轴建立平面直角坐标系.已知直线/的参数jix= + 广 cos ,6方程为f（广为参数），试判断直线/与圆c的位置关系.jti尸rsin石解析：如图，设x p , 0）为圆c上除点0, 外的任意一点，连接创；bm, 在rt防財中，|6/| =丨加|cos乙bom,所以 q=2cos 0.可以验证点彳0,0（2,0）也满足q=2cos b ,故p =2cos 0为所求圆的极处标方程.jix=

2、 1+ 广 cos ,6 邮 ji 尸5计&为参数），得直线"i勺普通方程为尸平（卄1）,即直线/的普通方程为xj5y+l=0.由q=2cos （）,得関c的直角坐标方程为（%-1）2+/=1.因为圆心c到直线/的距离为fxo+i所以直线圆c相切.2. （2013 -郑州第二次质检）已知直线&为参数）,曲线©（0为参数）.（1）当时，求g与g的交点坐标；（2）过坐标原点0作6；的垂线，垂足为力，戶为必的屮点，当q变化时，求点户轨迹 的参数方程，并指出它是什么1川线？解析：当时，g的普通方程为尸£（*1）, g的普通方程为x+y = hf y=xi

3、x 1,联立方程组 ,7l+y=i,27 2解得g与g的交点坐标为（1,0）,包 一凹. ci 的普通方程为 xsin ci ycos a sin a =0,根据创垂直于g,if求得点力坐标为（sirts sin acos a）,故当a变化时，点p轨迹的参数方程为s（a为参数）,故点戶轨迹是圆心为g，0）半径为+的圆.3. （2013 太原市高三模拟二）平面宜角坐标系 讥”中，点 水2,0）在曲线g：（白0, 0为参数）上.以原点0为极点，/轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线g的极坐标方程为q =&cos e.（1）求曲线g的普通方程；（2）已知点必用的极坐标分别为（qi, ），（q2

4、, +壬），若点財，艸都在曲线g上,求"勺值解析:(1) v点弭(2,0)在曲线g上,0 = sin (!儿日>0, 日=2,：p =2cos 0.由x= qcosy= qsin得(xiy + y = ,曲线q的普通方程为u-1)2+/=1.(2)由(1)得曲线g：/=2cos e,2消去参数。，得+./=1.由题意得点必用的直角处标分别为(“cos 久 pisin 0),°2cos( 0 +iv点鳳用在曲线g上,22 z>22/1q】cos 02 2 i °2sin 0:+ pisin =:+ p2cos = 1, 44抽土££+

5、sin2 "+4. (2013 乌鲁木齐地区笫三次诊测)在平面直角朋标系本"中，曲线cos d儿(。为参数)，经坐标变换l %(白>0, b>0)后所得illi线记为c.a, 是iii线c上两点，且0人丄0b.(1)求曲线c的普通方程;v0, 4"；1,即曲线厂的普通方程为4+=1.(2)证明：以直角坐标系无勿的原点为极点,2qcos 01 qsin 07十 厂线c的极处标方程为丸轴的if-负半轴为极轴建立极朋标系，曲2 2 ,2“2a b，即 q _ =应2 7)i 2 . 2 7)，z?cos 十日 sin %=cos d儿x = ax、解析：(1

6、)曲.丄(/为参数)及?t ,得tay=sin (py =by.(2)求证：点0到直线m的距离为定值.x =c?cos e,消去不妨设水门，外），z（q2, "+*，代入q的极处标方程，有" 2）b cos十as in2辿i）sin2 0x + a cos2 0设点0到直线肋的距离为h,则a oaob pxp21ab =+pr nl /7 十z?2cos2 0 + a sin2 0ab（定值）./sin' "i + /cos，0、x= p cos 0,(2)解法一：rhn.尸 psin b,5. 在直和坐标系双为中，圆g： /+y=4,圆g： （%-2）z

7、+y=4.（1）在以0为极点，无轴正半轴为极轴的极坐标系屮，分別写出圆g, g的极坐标方程,并求出圆g, g的交点坐标（用极处标表示）;（2）求圆g与&的公共弦的参数方程.解析：（1）圆g的极坐标方程为q =2,圆g的极坐标方程为p =4cos .a. q=2,ji解得 q=2, = 土頁p =4cos e,j故鬪g与圆q交点的坐标为（2, yj,（2, -j注：极坐标系下点的表示不唯一.得圆g与。交点的直角坐标分别为（1,萌），（1, 一x=l, 故圆g与g的公共弦的参数方程为y=仁或参数方程写成*x=.x= p cos 0,解法二：将x=l代入ny= psin得qcos灼,从而于是

8、圆g与g的公共弦的参数方程为严1,y=tarjix=i + tcos a6. 已知直线hy= tsin o(方为参数，q为参数，a为/的倾斜角，k0< a v jt）与曲线g0,为参数)相交于力，两点，点尸的坐标为(1,0).求莎的周长;所以尸(1,0),以一1,0)为椭圆q的两个焦点.又a, 8在椭圆上,知|胚| + |你| = |处| +丨肪1=2臼=2迈，又直线昇过点e,所以处的周长为4寸ix= 1+ zcos o ,v2(2)将代a-+/=l,得y= fsin a厶(1 + sin2 a) f22cos a t1=0,设点弭，对应的参数为切tn,其中a =4cos2 a +4(1

9、+sin2 =8>0,2cos ciia2 1 +sin aus1i %=l + sia贝ij | ab = | t ts =1 + 2 /不妨设|泅:eb=2 : 1,i 6 +仃=切 贝m切一纟所以_11 + sin2 ci4cos，a1 + sii? a7 即 8cos2 a = 1 + sin' a ,得 sin2 a =则 5kxfif=t| ab |£f|sin a =- 2si n3147. （2013 豫东、豫北十校4刀联考）在平面直角坐标系疋k中，曲线g： /+/=1,以平面直角坐标系的原点0为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直

10、线 1： 3cos 一2sin =将曲线g上的所有点的横处标、纵处标分别伸长为原來的2倍、3倍后得到曲线g, 试写出直线/的直角坐标方程和曲线g的参数方程；（2）求g上一点"到1的距离的最大值.解析：（1）由题意知，直线/的直角坐标方程为3%-2y+8=0.山题意得曲线e的直角处标方程为&）'+（扌=1，所以曲线g的参数方程为丿x=2cosy=3sin0.0（0为参数）（2）设点户的坐标为（2cos ，3sin“），则点户到直线/的距离为jt6迈cos( ”+丁丿+8v13八叭,626 + 813+力=1时,山=百16cos 0 6sin +8| dv13所以当8.

11、（哈尔滨九屮三模）如图，已知点从並 0）, （0, 1）,圆c是以肋为直径的圆，直线7：x= tcos e,i丄.丛&为参数).y= 1 十 tsin (t>以朋标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆c的极坐标方程;(2)过原点0作直线/的垂线，垂足为，若动点满足2渤 =3渤 当。变化时，求点 掰轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解析：圆c的普通方程为一令十卜甘=1,所以极坐标方程为p =2sin( 0 或 p =2cos( 0 -(2)直线/的普通方程为xsin 0ycos 0 cos 0=0,<1丄11、点 sin 2 0, -cos 2 0 .由于2丽=

12、3丽,则(33 3a壮sin 20,十一 cos 2(p,x=sin 2 0,点必轨迹的参数方程为vy=(0为参数)，图形为圆cos 2 e分享一些学习的名言，让学习充实我们的生活：1、在学习中，在劳动屮，在科学屮，在为人民的忘我服务中，你可以找到自己的幸福。一 连斯基2、读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。一毛泽东3、人不光是靠他生來就拥有一切，而是靠他从学习中所得到的一切來造就自己。歌徳4、正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。列夫托尔斯泰5、夫学须志也，才须学也。非学无以广才，非志无以成学。诸葛亮6、科学研究好彖钻木板，有人喜欢钻薄的；而我喜欢钻犀的。一爱因斯

13、坦7学习必须与实干相结合。泰戈尔8、学而时习之，不亦说乎？一孔了9、鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。李苦禅10、求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。加菲劳11知识有如人体血液一样的宝贵。人缺少了血液，身体就要衰弱，人缺少了知识，头脑就要枯竭。 高士其12、与肝胆人共爭，无字句处读书。一周恩來13、情况是在不断的变化，要使自己的思想适应新的情况，就得学习。毛泽东14、科学的自负比起无知的自负來还只能算是谦虚。斯宾塞15、少年读书，如隙中窥月；中年读书，如庭中望月；老年读书，如台上玩月。皆以阅历之深浅，为 所得之深浅耳。张潮16、青年是学习智慧的时期，屮年是付诸实践的时期。卢梭17、读书百遍

14、，其义自见。三国志18、读书志在圣贤，为官心存君国。朱用纯19、徳可以分为两种：一种是智慧的徳，另一种是行为的徳,前者是从学习中得來的，后者是从实践 中得來的。一亚里士多徳20、煨假的学问比无知更糟糕。无知好比一块空地,可以耕耘和播种；虚假的学问就象一块长满杂草 的荒地，几乎无法把草拔尽。康因21、人的天才只是火花，要想使它成熊熊火焰，哪就只有学习！学习。高尔基22、书到用时方恨少，事非经过不知难。一陸遊23、书籍是刖友，虽然没冇热情，但是非常忠实一雨果24、任何一个人，都耍必须养成h学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成白学的习惯，因为 迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思

15、考的能力。行路，还是要靠行路人白己。一华 罗庚25、学习从來无捷径，循序渐进登高峰。高永祚26、活着就要学习，学习不是为了活着。一培根27、立志宜思真品格，读书须尽苦功夫。阮元2&读书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处。富兰克林29、经常不断地学习，你就什么都知道。你知道得越多，你就越冇力屋。一高尔基30、学习要冇三心，一信心，二决心，三恒心。陈景润31、兴于诗，立于礼，成于乐。一孔子32、书本上的知识而外，尚须从生活的人生屮获得知识。一茅盾33、不读书的人，思想就会停止。狄德罗34、知识是引导人生到光明与真实境界的灯烛，愚暗是达到光明与真实境界的障尙，也就是人生发展 的障碍。李大钊35、“先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生z道。”。 陶行知36、天赋如同自然花木，要用学习來修剪。一培根37、如果学生在学校里学习的结果是使自己什么也不会创造，那他的一生永远是模仿和抄袭。列 夫托尔斯泰38、读书不要贪多，而是要多加思索，这样的读书使我获益不少。一卢梭39、求学将以致用；读书先在虚心。对联集锦40、如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。池莉41、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。屈原42、读不在三更五誠，功只怕一曝十寒。郭沫若43、钉子有两个好处：一个是挤劲，一个是钻劲。我们在学习上要捉倡这种“钉子”精