高等几何证明三角形第三点的轨迹是二阶曲线_《高等几何》(第二版)自学指导

1、高等几何（第二版）自学指导云南师范大学数学学院几何教研室 编目录第一章仿射几何学的基本概念2第二章欧氏平面的拓广4笫三章一维射彩儿何学7第四章 德萨格定理、四点形与四线形 12第五章射影坐标系和射影变换 第六章二次曲线的射影性质第一章仿射几何学的基本概念本章的指导思想：本章主要是阐明仿射变换的概念，在欧氏平血上建立仿射坐标系，研究仿射变换下图 形的某木性质，为以后学习射影变换和图形的射影性质打下慕础。本章的主要内容:1、透视仿射（平行射影）一仿射（透视仿射链）£直线到直线 l平血到平血，平血到口身2、仿射性、仿射量、仿射图形（1）仿射性：平行性、同素性、结合性（2）仿射量：/简比 一

2、平行线段的比 一司一直线上任两线段的比i线段的中点点对称、三角形的中线与垂心而积比（3）仿射图形：平行四边形、梯形3、仿射的确定：（1）透视仿射：由对应轴和其外一对对应点完全确定（2）仿射几何的基本定理：三対对应点（原象不共线，象也不共线）确定唯一的射影变换。4、代数表达式:,d =a202ho特例汽推导仿射性、仿射量5、示例：例1：平行四边形在仿射变换下，哪些性质和量保持不变？答：仿射性：对边平行；对角线互相平分仿射量：对边相等；对角相等；而积比例 2：求出使点 a （0, 1）、b （-1, 0）、c （1, 1）分别变为 a' （-1, 3）、b' （-4, 2）、c （

3、1, 2）的仿射变换。解：设所求的仿射变换式为：t：xr =a2y + a（）=02 + 0002工0分别将对应点的处标代入上式得:0 + &）+ &（）=10 0】+ 02 + 0（）= 3z| + 0 z-> + zq = 4一 01 + 0 02 + 0o = 2+&2 +q° = 101 + 02 + 00 = 2解此方程组得：= 2, a1-y a。= 一2 ；0 = 一1，02 = 2 , 00 = 1故所求的仿射变换的表达式为：t：xf = 2x+ y -2yr = -x + 2y + 1=5工02 2例“计算椭圆h斧1的面积解：设有一圆：

4、xz2+/2 =6z2,其面积为s'二加2取一个关于尢轴的均匀仲缩变换：x = xby = -ya于是，圆变为椭圆：g +斗=1,设其面积为s,a2 b2sb=d t 5 = srd = 7ra2 = 7tcib sfa->0am'j：第二章欧氏平面的拓广本章的指导思想：本章是在欧氏空间用增加无穷远元素的方法來建立射影直线和射影平面的概念，然后在 射影平而上引进齐次点坐标和齐次线坐标，介绍对偶原理，最后乂加入复元索，将实射彫平 而扩充成复射影平而。另外，引入齐次坐标后更可以利用齐次点坐标和齐次线坐标，通过代数的方法来解决诸 点共线和诸线共点的问题。利用射影平血上的对偶原则

5、，对于解决点线结合性的问题时，更 有事半功倍的效果。因此，这一章是射影几何的基本问题，是以后继续学习的基础，应多做 练习。2. 1 中心投影与理想元素本节主要内容：中心投影（透视）f直线到直线的 _保留：同素性、结合性i平而到平而的 "不保留：共线三点的简比理想元素 理想点；两平行线的交点理想线：两平行平面的交线射彫直线与射影平而i仿射观点与射影观点2. 2 齐次坐标本节主耍内容:1、立线上的齐次坐标：兀=玉（龙工0）, （xi?x2）齐次坐标 x2规定：2 h （）时，2（兀,兀2）=（加1，加2）与（兀1，兀2）表示同一点; （坷,0）=州（1,0）表示直线上的无穷远点； （0,

6、 0）不代表点2、平血上的齐次处标：x = ,y = （x3 0）,（兀，也，兀3）齐次处标兀3兀3规定：2h0时，2（州,x2 , x3 ） = （axj ,加2，加3）与（兀,兀2，心）表示同一点； （1, 0, 0）、（0, 1, 0）、（0, 0, 1）分别表示兀轴上的无穷 远点、y轴上的无穷远点、原点； （0, 0, 0）不代表点3 点坐标与线坐标：u x = 0 (即：wjxj +m2x2 + w3x3 = 0 )2. 3 对偶原理本节主要内容：1、对偶元索：射影平而：点直线射影空间了点而l直线一»直线2、对偶图形：在射影平面上，以点和直线组成的图开叫平面形。将平面形屮各

7、元素改为 对偶兀素，元素间的关系改为对偶关系，这样得到的新图形叫做对偶图形。若两图开一致, 则称为口对偶图形。3、对偶命题；仅涉及点与直线结合关系的命题叫射影命题。将一个射影命题屮的对偶元 素互换，对偶关系也互换得到的新命题和原命题叫做对偶命题。如果两个命题一致，则称为 自对偶命题。4、对偶原理：在射影儿何中，如果一个命题成立，则对偶命题一定成立。2. 4 复元素本节主要内容：1、复元素：二维空间的复元素：复点、复直线二维共轨复元索：共轨复点、共轨复直线2、主要结论：定理一：若复点在复直线上，则共辄复点在共轨复直线上定理二：一对共轨复点的联线是实直线 系：通过一个复点有且仅有一实直线示例：例1

8、:叙述卜列命题的对偶命题(1) 点x在直线u上的充要条件是u x = 0对偶命题：直线u通过点x的充要条件是ux = 0(2) 两直线平行对偶命题：两点与原点共线例2：求作下列图形的对偶图形对偶图形为:例3：求连接一点ui+2u2-u3 = 0与二直线2, 1, 3和1, -1, 0的交点的直线的线坐 标w：直线12, 1, 3的点坐标方程为：2x1+x2 +3x3 = 0x2 x32 -1 =01 -1冇线1,1, 0的点坐标方程为：x1-x2 = 0 由上两式联立得二直线的交点坐标为（1, 1,1）,与已知点（1, 2, -1）所连直线方稈为：11即：x +x3 = 0,其线坐标为1, 0

9、, 1第三章一维射影几何学本章的指导思想：射影几何是研究图形在射影变换下，图形的不变性质和不变量的一门学科。而射影变 换(对应)、射影坐标等是射影儿何研究的主要内容，其中交比是射影不变量，结合性是射 影不变性，这些都是在射影儿何中进一步讨论图形性质的重要基础，以后的内容都要在这个 慕础上展开，所以应弄清概念、了解性质、多做练习。3. 1平面内的一维基本图形点列和线束本节主耍内容：a(a)(x)b(b)基点x基点kx oc a + afb(y,“o)金线b基线u cc a + 27?(= , a 0 )2说明：(1)点列和线束统称为一维几何流形(图形)，其代数特征是：可rti个独立的参数 描述(

10、2) a、b统称为一维儿何流形的基底元素3. 2 点列的交比本节主要内容：1、定义：设a、b、c、d为共线四点，称(ab, cd)=为这四点按此顺序的交比 定理1：设a、b为基点，将四点的奇次坐标表为a、b、a +入b、a + 则(ab, cd) = l定理2：设点列上的四点的奇次处标依次为：”= 1,2,3,4),贝lj (ab, cd)= 仏 一"1)(仏 -“2)(“4 - “1)(“3 - “2)2、性质：定理 3： (ab, cd) = (ba, dc) = (cd, ab) = (dc, ba)定理 4： (ab, dc) = , (ba, cd)=(ab,cd)(ab,

11、 cd)定理 5： (ac, bd) = 1 (ab, cd)3、调和点列(1) 定义：若(ab, cd) =-l,称c、d调合分割线段ab或c、d关于ab成调和共仇点偶。交比值-1叫做调和比。(2) 性质：c、d调和分割ab,其中一个点是内分点，另一个点是外分点 调和关系是相互的。hu (ab, cd) =-1,贝(cd, ab) = (ab, cd) =-1 三角形顶角的两条角平分线和对边的交点调和分割对边 -线段被它的中点利这直线上的无穷远点调利分割4、示例：已知pl、p2分别是y轴、x轴上的无穷远点，p3是斜率为1的直线上的无穷远点， 且有(pr, p3p4)=3,求p4的坐标解：p|

12、、p2、p3 的坐标分别为：pl(0, 1, 0)、p2 (1, 0, 0)、p3 (1, 1, 0)取 p】、p2 为基点，则(1，1，0) g (0, 1, 0) +入(1, 0, 0)得:2, =1设 p4 处标为 p4(x, x2，0),且(a-i?x2 ,0) oc (0, 1, 0) +兄2(1，0, 0)又 3 = (pp2,p3p4)这样：/(xnx2,0) oc (0, b 0)(h0,o)4(b 3> o)故：p4(1，3, 0)3. 3 线束的交比木节主要内容：1、定义：一线束屮四直线a、b、c、d被任一直线s (不过束心)所截，得四点a、b、c、d,贝u (ab,

13、 cd) = (ab, cd)称为四直线按此顺序的交比定理 1：四 线 a、b、cocd + 2b、d x a + 几少的交比为：(ab,cd)=定理2：四直线p + “凶(= 1,2,3,4),2、调和线束：若(ab, cd) =-1,称a、b、c、d为调和线束3、示例：宜线ox截三角形abc的三边bc、ca、ab于点a'、b'、c',求证：o (ab, cx) = (a b，c' o)证明：以直线ac去截线束o (abcx),得点列(aycb )于是，o (ab, cx) = (ay, cbf )又，収点b为透视心，作中心投影，将ac±的点列射到o

14、x上,有：a c' , yo, c a' , b' b则(ay, cb ) = c o, a' b' ) = (a' b , c' 0)故：o (ab, cx) = (a b' , cf o)3. 4一维射影对应本节主耍内容：1、定义：设已知一维儿何图形，若对应参数“与“'之间有一个行形式不为0的双一次关系式b丰 0,(。、 d或”=理土2 f 0工（），称此两图形形成一维射影对应，记作“入“ %+ 8 y s并称这两图形成射影对应射影函数具有自反性、对称性、传递性2、性质;（1）定理：两个一维基本图形成射影对应v 对应四

15、元素交比相等（2）基本定理（vomslaudl定理）：如果已知两个一维图形中任意给定的三对对应元素（各不相重），那么就确定唯一的一维射影对应。3、射影对应表达式1°设第一个图形三元素的参数为“ （z = 1,2,3互不相等），第二个图形三元素的对应参数为“：（i = l,2,3互不相等）.那么这个射影对应由下列关系给下:（“2,“3“）=（“：“；，丛“'）2°“2“； “2“311 =0113°设所考虑的两个一维基本图形都是点列，并且所用的参数就是笛氏处标x和x，则射影对应式为:%! = anx +axlx2 x2 = a2lx + a22x2a &qu

16、ot;12°21 °22上式也可写为:/ a a2/ 宀ja2 a22 j6或 px' = ax, i a k 0.4、示例：例1：试证：一维儿何图形的任意三个互异元素的参数值总可给予数值1、0、8 证明：设一维几何图形任意三个互异元素为p、q、r,动元素的参数值记为t 作替换例2：设(a, b)、(b, c)、(c, a)是一直线上射影变换的三对互异的对应点，设 p是这直线上的任一点，且(p, q)、(q, r) 乂是两对对应点，求证：(r, p)也是一对对应点证明：按上题，可设各点的参数为：a (0)、b (1)、c 3 )、p (p)、q (q)、r (r)

17、要求证的是：r的对应点是p山已知3. 5 透视对应木节主要内容：1、定义：射影变换(对应)可以看作透视链。即是说，任何射影对应，都可以用透视 作为手段来实现2、特征:定理1：设点s不在点列p + fdq上，那么这点与点列上任意一点连线，所作成的 线束与点列成射影对应。定理r :设直线s不通过线束p*q的中心，那么这直线截这线束所得的点列与 线束成射影对应。由以上定理可得：定义：如果两个点列和同一线束成透视对应，则称两个点列成透视对应。 几何特征是：两个点列中对应点的连线共点，此点称为透视心。定义：如果两个线束和同一点列成透视对应，则称两线束成透视对应。 几何特征是：两线束中对应线的交点共线，此

18、ft线称为透视轴。3、判定：定理2：两个射影点列成透视的充要条件是：两个点列的公共点自对应。 定理2,:两个射影线束成透视的充要条件是：两个线束的公共线自对应。4、应用：将射影对应分解为有限个透视之积，山此得有关射影对应及交比的作图。36 对合对应本节主要内容：1、重叠的一维几何图形(1) 定义：同底的两个点列，或同心的两个线束，称为重叠的一维儿何图形。(2) 定理：重叠而乂成射影对应的两个一维儿何形式，一般有两个白对应元素(二重元素)。由定理，可将射影变换进行分类：r双曲型：射彩变换有两个互异的二重元素j抛物型：射影变换有两个重合的二重元素i椭i员i型：射影变换有两个共轨的二重元素2、对合(

19、1)定义：p + “q入 + "q且该射影劝删诽恒同映射,则为对合。（2）对合的判定：定理：在成射影对应的两个重叠的一维几何形式里，只要有一对元素交互对应 （假设这两元素不同），那么这射影对应是对合。对合的确定：定理：对合由两对不同的对应元索唯决定。对合的性质：定理：对合有两个二重元素，这两个元索是不重合的，可能是共他复元索，并 且这两个二重元素调和分割任意一对对应元素。3、方程uph + /?(“ + “') + c = 0(dd -h2 工 0)，3 + 卩(q “ =by宀0)yp_am “ + m 1ai + ai 1“2“；“2 + “；1=04、示例例1：f px

20、 =+ 5x22 5px=2x-x2 '2 -1求射影变换= -12的自对应元素,并判断其类型解：用非齐次处标表示射影变换式，得：兀,=2州+5七=土丄，即:2xxf-2x-x,-5 = 0 2x -x2 2x-l求二重元索的方程为：2233 5 = 0(2$ 5)($+ 1) = 0（或（一1, 1）, （5, 2）射影变换为双曲型的。例厶 求以5、2为二重元素的对合方程。2皿-7（ + “） + 20 = 0,： %0解：设是对合的任意一对对应元素，于是:一1 = (52,“')=(“-5)(/-2)(“5)(“一2)(“ 5)(“' 2) + (“' 5)

21、(“ 2) = 0 展开后整理得：,2-7一7( + “)+ 20 = 0,工0.尸严严，_720第四章 代沙格定理.四点形与四线形本章的指导思想：代沙格三角形定理是射影儿何的棊木定理，运用它可以解决一些点共线、线共点的问 题。在学习中，应多做练习，掌握运用这一基木定理的技巧。完全四点形和完全四线形是一维棊木形中四元素成调和比的重要直观图形，有很特别 的性质。学习者要注意掌握。4. 1 代沙格三角形定理本节主要内容：代沙格三角形定理：abc和2u'b'c' 若aabb,ccf共点，贝up = bcx b'c', q = cax cfa ab x a

22、9;b' = r 三点共线。对偶定理：aabc 和若 p = bcx b'c： q = cax cfaf, ab x ab = r 三点 共线,则bb, cc三线共点示例:例1：证明：三角形三中线共点证：设mbc三边屮点分别为a'、b c'.考察aabc和aa'b'c',他们的对应边例2：设e、f、g、h分别是四边形abcd中边ab、bc、cd、da的中点，m、n 分别是对角线ac、bd的屮点，证明：hf、ge、mn三线共点证明：4. 2 完全四点（角）形与完全四线（边）形木节主要内容：1、定义：平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的

23、图形称为完全四点形（完全四 角形）。构形：23、6丿定义：平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形称为完全四线形（完全 四边形）。24丿2、完全四点形的调和性质：完全四点形通过每一个对和点有一组调和线束，即通过这对 角点的两边和对角三角形的两条边。完全四线形的调和性质：完全四线形的每一条对角线上有一纽调和点列，即这直线上 的两个顶点和对角三和形的两个顶点。由调和性质可得有关调和比的作图。4、代沙格对合定理：完全四点形的三双对边，被不通过任一顶点的一直线所截，所得 三个点偶，是一个对合对应中的三个点偶。对偶定理：完全四线形的三双对顶，与不在任一边上的一点相联，所得三个线偶， 是一 个对合

24、对应中的三个线偶。5示例：例1：例2：4. 3 巴卜斯定理本节主要内容:1、巴卜斯定理：设直线/上有互异三点a,b,c.直线厂上有互异三点那么l = bcfx b'c, m =cafx afc, n = ab' x afb 共线。2、巴卜斯定理的一个特殊情形:定理：设直线厂相交于点o. /上有互异三点a,b,c,厂上有互异三点,则3、不例：例（p66例4.1的另法）在平而上给定两直线"和b ,及不在a, b上的一点p,不准 利川a和b的交点，求作通过p和axb的直线。解（利用帕普斯定理。）作法：1.任作两直线"交a, b于点a,c ,"交a, b于

25、点acf；证明：直线/上各仃三点a、b c和2. 连ap交0于b',连a'p交”于3. 作q = bc'xb'c,则直线qp为所求作。a'、£ c，, rll pappus 定理，三点ab,xa,b = pbcb'c = q,ac,xa,c = axh共线，即pq通过a, b的交点。第五章射影坐标系和射影变换本章的指导思想：本章重点考虑射彫处标系和射影变换，考察不同朋标系这间的转换关系及其射影变换 式的关系。学习者应多做练习，弄清各种关系。最后，还介绍了克莱茵关于变换祥与儿何学的观点。学习这一观点，要清楚变换样与 儿何学的概念，了解这儿

26、种儿何的从属关系。5. 1 一维射影坐标系本节主要内容：1、一维射影坐标系点列：线束：规定：1° (0, 0)不代表任何点；0, 0不代表任何线2°2、一维射影坐标变换苗氏坐标与射影坐标的转换：射影坐标与射影坐标的转换:3、射影坐标的特例:仿射坐标：笛氏坐标：4、示例：例1：设点的两个齐次射影坐标间的变换式为：fp/ = 2x -4x9 求每个地标系的三个基点在另一处标系中的朋标。 ；12解：处标变换式为：。尤2 = x 一兀2其逆变换式为:-2/ <1 -4(f xp卫2丿j -2;卫丿将旧坐标系中的三个基点£ (1,0)，企(),1), e(l, 1)

27、的坐标代入式，得命癒处标系中的坐标分别为： a(2,1),a2(4,1),e(1,o).将新坐标系中的三个基点舛(1,0), a； (0,1), £1,1) 的坐标代入式，得命蝎嘶系中的坐标分别为： a；(1,1),a；(2,1),e'(3,1).例2.设新坐标系（舜,嘲畦个基点在旧坐标系 （冷，処统标为，与，求射影塑标变换公式。解：设射影坐标变换公式为：# =空如，按已知条件得： a2x + a223。21+。22=°，v -2d +d|2 =°，解此方程得:a a2tt5d +d2 =5。21 +如rti式有爷彎有； +（m -1）+）547-21故所

28、求的射影变换公式是：,2%+ 4x =7 兀-21写成齐次坐标形式就是兀i _ 2xl + 4x2 ,x2 7 兀-2 x2 1px = 2 兀+ 4x2壬申_ =a丄】2xl +4兀2 7西 一2 兀2 1 p24h 0.7 -215. 2平面内的射影坐标系本节主要内容：1、定义：在平面内取一个三角形a1a2a3,称z为坐标三角形。在三角形三边（直线）以外取一点e,称之为单位点。无三点共线的这样四点a】，a2, a3, e构成 一个射影坐标系。2、一点 p （）3、处标三角形三边的方程：4、射影平面内点的符号（设e在三角形的内部）:i: （+, +, +）; ii : （+,，4-）; ii

29、i : （ + , +, -）; iv:（，+, +）5. 3 射影坐标的特例本节主要内容：1、仿射坐标系：2、笛氏处标系：取a3=0, a1a2为无穷远线，且例设已知点p的坐标为（坷，兀2*3），求作点p解：作法:连接人忑a附别交a2a3 a 硏点、e e2. 在坐标a a鮒边a a 2 3a?萍各作岀一点、片 修看教材p52例35） 使（a/?）件尺a恵）,二3丨ef 乞；八七州 连接a&惩対，则为所卿5. 4 坐标转换本节主要内容：1、一点p的笛氏坐标（x,y,t）与射影坐标（x|,x2,x3）间的坐标变换式为：2、一点p的两种射影坐标（x,x2,x3）和（x/ ,x2 ,x3）

30、间的坐标变换式为:3、说明：1°在射影坐标系下,一次方程2°射影平面上两点4、示例y9 = y+ bpx = x +axp例在拓广欧氏平而上求平移x，=x + a-的二重元索。解：设 x=玉，y=玉，则冇« pxr2 =x2 +/?x3,*32= x31-/70 a（1）求二重点：由觀 1-“ b =0 （1_“）'=0，即卩=1为三重根。0 0 1 一“（1一“）召 +旳=0将卩=1代入方程组： （1 -“）尢2 + bx3 = 0解得：x3 = 0（1-“）兀3=0所以在有限欧氏平面上，在平移变换下无二重元素，在拓广欧氏平面上，人上的所有点（xp x2

31、, 0）皆为二重点。（2）求二重直线：x=1为三重根。（1-2） =0将九=1代入方程组： （1 -兄）处=0得ui，u2可取任意数，且aui+bu2+ou3=oau + bu2 4-（1-2）m3 = 0所以二重直线是通过点（a, b, 0）的一切直线，即以纟为斜率的平行线束及无穷远 a线，这平行线束即平移方向的育线集合。5. 5射影变换木节主要内容:2、线线:pxx = 2x 一 3 兀;+ %3例：已知射影坐标变换为： px2 =-兀;+px3 = 3x _ 2x； + 5兀；求点（1, -1, 2）的新坐标和直线2x +砲新疗稈0解：射影变换式可写为：/9 313 -11、/ (7=-

32、3 7 -5x2其中&-3-57宀丿o二将点（1,1, 2）代入式，得它的 p< 、<2-31(9 西p*2=314x；，內丿<3-25;/&丿-31>-1'313-11)而3-14i-375.12-25丿、一 3-57 >故逆变换公式为:新坐标为（-32, -20, 16）即（8,5,4） 再将公式代入已知直线方程中得:2(2无片b；丰 £) -0 3xj -xf2 + 4%33x - lx2 + 5xf即铭-5x； +兀；=0此即直线方程的祈血程花=05. 6 二维射影几何基本定理木节主要内容：引理：使三个基点(1, 0, 0

33、)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1)和单位点(1, 1, 1)分别变 为无三点共线的四点二维射彩几何基本定理：设比、p2、弘、p4是平面内任意给定的无三点共线的四点；p/、p2、p3、p/也是任意给定的无三点共线的四点, 那么有一个冃只有一个射影变换存在使比、p2、卩3、p4分别 转换为 p、p2、p/系：设pi、p2、p3、pa是平面内无三点共线的四点，凡保留这四点不变的射影变换， 一定是幺变换定理：四点的交比在二维射影变换下不变。5. 7射影变换的二重元素(或固定元素)本节主要内容：1、定义：不为射影变换所变更的元素(点或直线)，称为射影变换的二重元索2、二重元素的求法：3、示例：例

34、已知射影变换px、= xj + x2 - 2x3i< px2 = -xj + 2x2 + x3(1)ipx = x2 -x3求固定元素.解 第一步.列岀特征方程，并求特征根.1-21 -2-12-a1=0, (2 1)(2+ 1)(2 2)=0011 a从而，特征根为1=1,久2=-1,久3=2.第二步.求固定点射影变换(1)的固定点方程组为(1 a)x| + 尢？ 一 2兀3 = 0< x + (2 a)x9 + 冷二 °(1)%2 + ( 2)兀3 = 0第二步.求固定点射影变换(1)的固定点方程组为(1 + 兀，一 2禺=0v xj + (2 2)兀 2 + 禺=o

35、%2 + (_1 /i)® = 0 将久1=1代入，得x2 - 2x3 = 0-x + x2 + x3 = 0x2 - 2x3 = 0解出相应的固定点坐标为(3,2,1). 第二步.求固定点 射影变换(1)的固定点方程组为(1 a)x + %2 2兀3 = 0* + (2 a)xo + 屯=°兀2 + (_1 2)兀3 = °将a2= -1代入，得2xl +x2 - 2x3 = 0x + 3 兀2 + 兀3 = °x2 = 0解出相应的固定点坐标为(1,0,1). 第二步.求固定点 射影变换(1)的固定点方程组为(1 2)兀+兀,一2兀3 = 0v 兀+

36、 (2 兄)兀2 + 兀3 = °x-)+ (1 几)兀3 = 0将久3=2代入,得兀+ x, 2兀3 = 0一兀 +兀=0x2 - 3x3 = 0解出相应的固定点坐标为(1,3,1). 第三步.求二重直线 射影变换(1)的二重直线方程组为 x| + x-) 2兀3 0 -x,+ xj = 0第三步.求二重直线射影变换(1)的二重直线方程组为(1 u-) 0< wj + (2 a)w? + 3 = 0(2)_2绚 + “2 + (一 1 2)3 = 0将a pl代入,得u2 0< % + «2 + 均=°2| + 2如=0解出相应的二重直线坐标为11,

37、0-u.第三步.求二重直线射影变换(1)的二重直线方程组为(1 a)w w7= 0v “ + (2 久)妁 + 如=0(2)2i/| + “2 + ( 1 2)3 = °将a 2= -1代入(2),得2络-11 0wj +3“2 +氏3 =0-11 0解出相应的二重直线坐标为12,-7第三步.求二重直线射影变换(1)的二重直线方程组为(1 兄)比一1(2= 0v u + (2 a)w? + 处=0(2)2弘+ u-y + (1 2)3 = 0将a 3=2代入(2),得一 u-y= 0u + “3 =02% w? 3禺=0解出相应的二重直线坐标为总之：特征根1-12固定点(3,2,1)

38、(1,0,1)(1,3,1)固定线1,0-11,2-71,一1,一15. 8 射影变换的特例本节主要内容：1、仿射变换：对变换t加以限制，使无穷远线不变，则得:2、相似变换：3、运动：5. 9 变换群本节主要内容：1、群：设g非空，2、变换群定理：一个集合s的所有一一变换（单射）的集合，对变换的乖法构成群，称为变 换群定义：满足下列两个条件的集合称为变换群：1°封闭性：集合内任两个变换之积仍属于这个集合；2°集合内任一变换有逆变换，且逆变换仍属于这个集合。3、示例：证明：由平面上四个射影变铁：5. 10 变换群的例证本节主要内容：1、射影变换群2、仿射变换群3、相似变换群4

39、、正交变换群5. 11 变换群与几何学本节主要内容：1、克莱茵的有关儿何学的群论的观点：正交变换祥»欧氏儿何;仿射变换群a仿射儿何;射影变换群射影儿何2、三种几何的比佼（参见课本py）第六章 二次曲线的射影性质本章的指导思想：木章主要是讨论二次曲线的射影性质。首先用射彩观点重新定义二次曲线的概念，然 后证明著名的巴斯卡定理和布利安双定理，以及它们的特殊情形，再定义极点、极线和配极 理论。在这基础上展开有关二次曲线的一些图形性质的研究及有关二次曲线作图问题的探 讨，主耍讨论了二阶曲线，并利用对偶原理及配极原则，对二级曲线也得出了与二阶曲线对 偶的结果。因此，学习这一章，重在理解各种定义

40、、性质，会运用巴、布定理解决一些点线 性问题，并运用二次曲线的射彩性质作图。6. 1 二阶曲线与二级曲线本节主要内容：1、定义：满足二次方程工a»xixj = 0 , a»二却的全体点(xh x2,x3)称为二阶曲线。二阶曲线看作点的轨迹。满足二次方程ebijuiuj=o,bij=bji的全体直线(ui,u2,u3)称为二级曲线。二级曲线看作直线的包络。2、性质定理1：有两个不共心的射影线束，对应线交点的全体连同这两个线束的心组成一条 二阶曲线定理r ：有两个不共底的射影点列，对应点联线的全体连同这两个点列的底组成一 条二级曲线定理2：设有一条二阶曲线，它是rh两个射彩线束

41、对应线的交点构成的；设a、b为 这曲线上两定点，m为其上一动点，则两线束am与bm成射影对应定理2 :设有一条二级曲线，它是由两个射影点列对应点的联线构成的；设a、b 为这曲线的两条定线，m为它的一条动直线，则两点列am与bm成射 影对应定理3：给定无三点共线的任意五点，可决定一条也仅仅一条二阶曲线定理3 :给定尢三线共点的任意五条直线，可决定一条而且也仅仅一条二级曲线定理4：二阶曲线上四点与其上任意第五点所联四直线的交比(倘若这交比有意义) 为常数定理4 :二级曲线的四条定直线与它的任意第五条直线相交所得的交比(倘若这交 比有意义)为常数6. 2 二次曲线的射影定义本节主要内容：1、定义：二

42、阶曲线就是两个射影线束对应直线交点的全体二级曲线就是两个射影点列对应点联线的全体2、定义：两个透视对应线束中，对应直线交点的全体称为变态的二阶曲线两个透视对应点列屮，对应点联线的全体称为变态的二级曲线3、定义：有两个非透视的不共心的射影对应线束，其对应线交点的全体称为常态二阶曲线有两个非透视的不共底的射影对应点列，其对应点联线的全体称为常态二级曲 线4、定理：常态二阶曲线的切线全体组成常态二级曲线常态二级曲线的切点全体组成常态二阶曲线例：求两个成射影对应的线束：xi-a x3=0与x2- u x3=0 （x+u=l）所构成的二阶曲线的方程。因为入+ p =1所以卩=1-x，于是两线束可以写成：

43、消去入得整理得二阶曲线的方程为: 兀1兀3 +兀2兀3 x3 = °， 它表示两条相交直线：x1+x2-x3=o和x3=0这是一条退化的二阶曲线,原因是x + m=l是透视 对应。6. 3巴斯卡定理与布利安双定理本节主要内容：1、巴斯卡定理：设一六和形内接于一条二次曲线，那么它的三双对边的交点共线 布利安双定理：设一六边形外切于一条二次曲线，那么它的三双对顶的联线共点 特殊情形：i、当二次曲线是变态的，巴、布定理即为巴卜斯定理及其对偶定理ii、当二次曲线的常态的，巴、布定理均成立，且六点（线）形变为五 点（线）形、四点（线）形、三点（线）形。若将圆视为特殊的二 阶曲线，巴、布定理可改

44、为各种初等儿何定理2、不例:例1四边形abcd内接丁一条二次曲线，若abxcd=p,ad与以c为切点的切线交于点q, bc与以d为切点的切线交于点r,证明三点p、q、r共线。证明:将abcd视为内接于二次曲线的六点形：abccdd,顶点编号为1, 2, 3, 4, 5, 6,则按帕斯卡定理，得12 x 45=ab x cd=p,23 x 56=bc x dd=r,34 x 61=cc xad=q頤对偶的，四线形abed外切于一条二次曲线，若abxcd=p,ad与c上切点的连线为q, be 与d上切点的连线为门则三线p,q,r共点（图6.7 （b）。综上所述，对内接（外切）于二次曲线的五点（线）

45、形、四点（线）形、三点（线）形，要证其 对边交点（对顶的连线）共线（点），均可利用帕斯卡（布利安双）定理，方法是顶点顺次 编号，若哪点为切点（哪条边与切点连线），则重复编号一次.若将恻视为特殊的二阶曲线， 则帕、布定理可改为各种初等儿何定理.6. 4 关于二次曲线的极与极线本节主要内容：1、定义：给定二阶曲线，如果两点p、q（p不在曲线上）的连线与二阶曲线交于两点m】、 m2,且（m1m2，pq）=-1,则称p、q关于二阶曲线互为共轨。定点p关于二阶曲线的共轨点的轨迹是一条直线，这条直线叫做p点关于此二阶1111 线的极线，p点叫这直线关于此二阶曲线的极点。2、性质（1）二次曲线一纽平行弦的调

46、和共轨点的轨迹是弦的垂直平分线。换言之，若极 是无穷远点，则对应的极线是平行弦的中垂线（2）配极原则：若点p的极线通过点q,则点q的极线通过点p（3）若点q在p的极线上移动，则点q的极线绕p旋转（4）若p在二次曲线上，则p的极线是二次曲线的以p为切点的切线；反z并 然。即切点与切线的关系是极与极线的特殊情形（5）对常态二阶曲线，每个点都有唯一确定的极线；每条直线有唯一的极（6）两点连线的极是此两点极线的交点（7）两宜线交点的极线是此两直线极的连线（8）共线点的极线必共点；共点线的极必共线3、自极三角形定义：三角形pqr具有性质：顶点和对边的关系是极与极线的关系；每一个顶点和其余的两个顶点关于二

47、次曲线成共轨则称该三角形为自极三角形定理：设一完全四点形的四个顶点在一二阶曲线上，则它的对边三角形的顶点是对 边的极点4、示例：例1求点,p（l块研二次1111线 4xx3 + 5x2x3 = 0 的极线.:3 兀$ + 5x22 + xy + 7xjx2 +解：点庆于他极线方程为：775（3” + q力+ 2儿）兀1 +（尹 + 5% +儿启+（2必 + 旳 + >3）兀3 = 01 31化简得:xl兀2兀3 = 02 22即：£ + 3x2 + 禺=° 例2利用帕斯卡定理证明布利安双定理证明：设a1a2a3a4a5a6为二次曲线的外切六边形，各边的切点依次为b】b

48、2b3,b6（图6.11）,则b1b2b3b4b5b6为二次曲线的内接六点形,按帕斯卡定理,三点：p=b1b2xb4b5,q=b2b3x b4b6, r=b3b4 x bgb=共线。注意到，a|是直线b|b2的极、a4是直线b4b5的极，故点p的极线是a|a4（两直线交点的 极线是此两直线极的连线）.同理，点q的极线是a2a5,点r的极线是a3a6.由于p、q、r 三点共线,故它们的极线a1a4,a2a5,a3a6共点。（共线点的极线必共点）.65 配极对应木节主要内容：1、配极对应式：2、性质：配极对应使射影性转变为对偶性质3、二阶曲线与二级曲线的关系定理2：常态二阶曲线的切线的全体构成常态

49、二级曲线定理2 :常态二级曲线的切点的全体构成常态二阶曲线由以上两个定理知：4、示例：例 设已知一二次曲线卩:2x!2+4xix2+6xix3+x32=0,1求点p （1, 2, 1）关于f的极线,y 轴关于p的极。解：的系数矩阵为：2 2 3、2 0 0.、3 0 1,点p（l, 2, 1）关于i、的极线方程为:2 2 3(1,2,1) 2 0 00 1即 9x1+2x24-4x3=0又，y轴的线朋标为1,0,0,它关丁 r的极是方程组。2%j + 2x2 + 3x3 = p,« 2兀=0,3x +x3= 0的解，解此方程组得：花所參，琲蛹°极为（0，1，0）.66 二次

50、曲线的射影分类木节主要内容：1、奇异点给定二阶曲线刀殉xixj = 0 , aajj,则满足方程组:的点p（x ,x2,x3）叫做奇异点驹 h0时，上式无解，因而非退化二阶曲线无奇异点；a“ =0时，二阶曲线是退化的，这时若（）的秩是2,二阶曲线有唯一奇 异点；若（殉）的秩是1,二阶曲线有无穷多奇异点，而这些奇异点在一条直线上2、二阶曲线的射影分类设二阶曲线工aijxixj=0,%j=aji，系数矩阵 利）的秩为r 当r = 3时，为非退化二阶曲线，其标准方程为：x, +- x3? = 0 （买）xi2 + x22 + x32 = 0 （虚）当r = 2时，为退化二阶曲线，其标准方程为：xi2

51、-x22 = 0 （二实相交直线）x12 + x22 = 0 （二虚相交直线）当r=l时，其标准方程为：xi2 = o （一对重合直线）3、二次曲线的射影分类设二阶曲线 e aijxjxj = 0 , a.j = ajj ； 广常态二阶曲线,二级曲线e byujuj = 0, bjj= bjj 秩=3厂二阶曲线次 曲 线j变态二阶曲线实的：x!2 + x22 -x32 = o虚的:x!2 + x22 + x32 = 0 两条实直线：x12-x22=0 两条虚直线：x12 + x22 = 0 秩=1：两条重合直线：x!2 = 0*二级曲线常态二级曲线，秩=2j变态二级曲线实的：异+山-出。 虚的：up +山+时=0 两个实点：u）2 - u22 = 0 两个虚点：ui2 + u22