微分方程(可分离变量的微分方程)PPT

1、12dxxfdyyg)()( 5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设函数设函数)(yg和和)(xf是连续的是连续的, dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.3的通解xydxdy2解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydyCxy2ln.2为为所所求求通通解解xCey 4的通解0)7(22dxyedyexx解解分离变量分离变量,722dxeeydyxx两端积分两端积分,722dxeeydyxxCeyx)

2、7ln(21ln2xxceCeey22775的通解dxxyydyxydyxdx222334解解分离变量分离变量dyyxydxxyx)33()24(22两端积分两端积分,231222dyyydxxxCyx)2ln(23)1ln(22)0()2(12322cycxdyyydxxxdyxydxyx22222312)1 (3)2(26)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .具体解法：具体解法：作变量代换作变量代换,xyu ,xuy 即即,dxduxudxdy 代入原式代入原式),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程7,0

3、)(:1时当uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得得通通解解xydxdyxyxyfuuf,)(,)(:2即时当cyxydyxdx|ln|ln,|yexc得齐次方程的通解822232363yxyxydxdyx)()(23)(6)(323xyfxyxyxydxdy解：xduudxdyuxyuxy,令232363uuudxduxu23233uuudxdux9duuuuduuuuxdx)31(323232cuuxduuuuxdx|3|ln21|ln|ln)31(22223222333xycyxxyxycxxyuu

4、cux代入，将10 xyxydxdytanuudxduxudxdyuxyuxytan,解：令xycxcuxuduxdxuduxdxsin|sin|ln|lntantan11. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解为微分方程的解为.lnsinCxxy 12)()(xQyxPdxdy , 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的., 0)( xQ当当上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtd

5、x 线性的线性的;, 32 xyyy, 1cos yy非线性的非线性的.13. 0)( yxPdxdy(使用分离变量法使用分离变量法),)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey14).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比)(xuC 15.)1(1225的的通通解解求求方方程程 xxydxdy解解.这这是是非非齐齐次次线线性性方方程程.通通解解先先求求对对应应的的齐齐次次方方程程的的, 012 yxdxdy,12 xdxydy.)1(2 xCy即令即令换成换成把把用常数变易法用常数变易法,uC,)1(2 xuy),1(2)1(2 xuxudxdy得得代入非齐次方程代入非齐次方程 ,.)1(21 xu得得两端积分两端积分,