数值积分与数值微分知识题课

1、数值积分与数值微分习题课113一、已知设4，xi -，x2 r给出以这3个点为求积下点在0.1上的插值型求积公式解：过这3个点的插值多项式基函数为x x x x2102 X x0 x1 X0 X2X X0 X X2li2 X X1 X0 X1 X2X X0 X Xil22 X X2 X0 X2 X11A01k2 X dX,k 0,1,21 x x1 x x2 dx0 % X % x21x -120 1 14 23 x -dx1 34 41 x x0 x x2 -dx0 x1 x0 x1 x23 x x0 2 1132 4 2 41 x x0 x x10-dx0 x2 x0 x2 x11 x -

2、 14011 xdx 3 1故所求的插值型求积公式为i343234f x dx o二、确定求积公式11 f x dx 5f 0.6 8f 0 5f .0.61 9的代数精度，它是Gauss公式吗？证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验2 345,依次取 f x 1,x,x ,x ,x ,x ,有1 12 1dx - 5 1 8 1 5 11 901 xdx 1 5 /0.6 8 0 5;0.62 92302501 x2dx - 5 0.6 2 8 02 5191 x3dx-5 0.6 38035191 ，1 4/x4dx5、0.68045191 x5dx15106 5805519, 0.

3、6 20.6本题已经达到2n-1=5 。故它是Gauss公式三、试应用复合梯形公式计算积分3 1 I dx1 2x要求误差不超过10 3,并把计算结果与准确值比较。 解：复合梯形公式的余项为bR f,Tnaf(X)dX TnTn空 f（a）f（b）b-h2f ()12n 12 f(Xk)k 1Xkb aa kh, h , kn0,1,2,|,n本题f x11 f x , M 2 max f x 12x ?x3x 1,2本题余项为R f,Tn要使R f,Tnh212»2fh2 xnaxif (x)h212103,得0.109545,取 h 0.110于是有b- a 2-1 得n= h

4、0.1IT10111c 1122 10 2 42 1.1 2 1.212 1.90.346886检验:ln 2 2T103.12111104 103四、证明 若函数f x C1 a,b ,则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong 插值余项证明梯形求积公式的余项为3bb ab aR f f x dx a f a f b f a212证明：不妨设一阶差商函数为f x,a ,xoa，b ,有f x0h f alim f x0 h, a lim h 0h 0x0 h af x f h f alim 0f x0f af Xo, aXo ah 0x0 h af x0 fa f h li

5、m h 0x0 h ax0 h a由x0的任意性，可知一阶差商函数是连续函数由插值特点，显然有bbf x L1 x dx f x N1 x dxaa线性插值的Newton余项公式为f x N1x fx,a,bxaxb故有bR f f x,a,b x a x b dxa由f x h, a f a, blim f x h,a,b lim h 0h 0 x h blim f x h,a f a,b h 0f x,a f a,b-fx, a, b可知f x,a,b是变量x在a,b上的连续函数，而函数x a x b在a,b上可积，不变号，根据积分中值定理，存在 a,b ,使bN1 x dx f ,a,b

6、 x a x b dx af由差商性质，存在bf x N1 x a3b aa,b ,使 f ,a,b =。所以f bdx x a x b dx2 a12结论得证五、导出中矩形公式bf x dxa的余项。解：将f x在xfx fa2b f,a b2a b2处进行泰勒展开a b 1-1 a b 2 x - f x 222a，b 。对上式两边在a，b上积分，有2b f x dx bf a_b dx b f' ab x ab dx 1 bf'' x ab dxaa 2a 222a2, r a b bab a b ,1b a f f' x dx2 a 2222ba b .

7、f'' x dxa2中矩形公式的余项bRMf x dxab f ' a ba 2a b , dx2b212bf '' a2a b ,x dx2bf'' af '' b X2 aa bx dx 0;22a b ,dx22 a b , f '' dx 223 02424a,bAkf(xk)k 1六、设数值求积公式bf (x)dxa代数精度至少为n-1的充分必要条件是它为插值型求积公式.证:充分性.设原式是插值型求积公式，则式中的求积系数bA lkn(x)dxanInAJ(Xk)k 1balkn(x)dx f (

8、Xk)b nblkn(x)f(xk) dx Ln(x)dx余项为b f ?)Q f I In怨 n(X)dXa n!由知代数精度至少为n-1 必要性.设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式Pr(X)(rn 1)原式成立等号，特别地取Lagrange 插值基函数lkn(x)，有nlkn(x)dxAjlkn(Xj), k 1,2,|,n因为1,i k,lkn(Xj)j 0, j k.所以bAkalkn(x)dx故原式为插值型求积公式.七、令P(x)是n次实多项式，满足a P(x)xkdx 0, k 0,|,n 1.证明P(x)在开区间(a,b)中有n个实单根.b证明：因为aP(x

9、)dx 0，所以P(x)在a,b上至少有一 个零点。若P(x)k( 1)个零点X ,i=i,2，,k在a,b 上，则有P(x) (x Xi)(X X2)|(x Xk)g(x) Qk x g(x)g(x) 0,或g(x) 0Qk(x) (x xi)(x x2)|(x xk)；Qk (x)kk 1akxak ixka1x a0aixi,(k n 1)i 0及：p(x)xkdx O,k 0,1,|,n 1 所以bP(x)Qk(x)dx akkP(x)aixidxaii 0i 0P(x) xidx 0若零点个数k n 1,有bbP(x)Qk(x)dxg(x)Q2(x)dx 0aa矛盾，因此k n,即P

10、(x)在a,b至少有n个零点，但P(x)是n次实多项式，故k=n 。八、已知点(a, f (a), f (a)和(b, f (b), f (b),用该信息计算b定积分af(x)dxo解：记H3(x)为f(x)关于节点a,b的Hermite插值多项H3(x) h°(x)f(a) %(x)f(b) g0(x)f(a) g1(x)f(b)bf(x)dx abH3(x)dxbbht(x)dx f (a) h1(x)dx f (b)aabg0(x)dxaf (a)gi(x)dx f (b)bbh0 (x) dx1aaba hi(x)dxa ba bab2dxbgo(x)dx abgi(x)dx ax b , dx a b2 x a dx b ab a122b a12所以有2bb ab aa f(x)dx 2 f(a) f(b) 12 f (a) f (b)误差为-4- 4r b f ( )22 f ( )5R( f) x a x b dxb aa 4720九、验证Gauss型求积公式exf(x)dx Ao f (Xo) Af(xJo求积系数及节点分别为人&A1霜52亚M2