方案设计问题的典型解法探究

1、2007年东北地区初中数学教师优秀课观摩与评比活动做课教案方案设计问题的典型解法探究做裸教师；里龙江省牡符江市第四屮修 牛龙梅二oo七耳九月二十五日矍龙江护春方案设计问题的典型解法探究一、教学目标知识与技能：利用方程（组）、不等式组及函数来解决方案设计问题数学思考：把实际问题转化为数学问题，提高学生建立数学模型的能力;对含字母问 题的分类讨论能力.解决问题：通过对方案设计问题几个类型解法的探究，使学生能更加灵活的运用方 程（组）、不等式组及函数来解决实际问题.情感态度与价值观：根据方案设计问题的特点，引导学生多角度思考，培养开拓创 新的精神，增强其合作交流意识.0e二、教学重点和难点教学重点：

2、建立方程（组）、不等式（组）、函数等数学模型来解决方案设计问题. 教学难点：找出题目中隐含条件或关键字、词，来判断是建立哪种数学模型解决方案 设计问题；对于含有字母的问题如何进行分类讨论.三、教学准备多媒体课件、投影仪.四、教学过程（多媒体课件展示问题）（一）伊春市某家具厂厂长小王去木材厂购买板材，现有a、b、c三种规格的板 材，价格分别为15元/张、21元/张、25元/张，若用9000元全部用于购买其中两种 板材共500张，他有几种购买方案？方法一（列方程组）解：设购买a、b、c三种板材分别为x张、y张、z张, 只购买a、b板材，根据题意得，15x+21y=9000解得1y x=250x +

3、 y=5001 y=250只购买a、c板材，根据题意得，15x+25z=9000解得r x=350x + z=500z=150只购买b、c板材，根据题意得，21y+25z=9000解得 j y=875y + z=5001.z= -375（不符合题意，舍去）所以有两种方案，购买a、b板材各250张或购买a板材350张、c板材150张.方法二（列方程）解：若只购买a、b板材，设购买a板材x张，则b板材为（ 500- x）张，根据 题意得，15x+21 （500- x） =9000解得 x=250,500- x=250,即购买a、b板材各250张. 若只购买a、c板材，设购买a板材x张，则c板材为（

4、500x）张，根据题意 得，15x+25 （500- x ） =9000解得 x=350,500- x=150,即购买a板材350张、c板材150张. 若只购买b、c板材，设购买b板材x张，则c板材为（500- x ）张，根据题意得,21x+25 （ 500- x ） =9000解得 x = 875,500-x= -375,（不符合题意，舍去）所以有两种方案，购买a、b板材各250张或购买a板材350张、c板材150张.设计意图从“林都”学生熟悉的木材问题出发，能给学生一种轻松、快乐的氛 围，易激发学生探究知识的兴趣.此题让学生体会开放性应用问题的解的不确定性，同时要检验一下结果是否满足实 际

5、要求；尝试挫折更能锻炼人的意志；分类讨论思想培养了学生的发散思维能力.师生活动学生思考教师引导学生明确用什么知识解决（即建立何种数学模型） 对学生的分类情况进行点评；对方程（组）的解的取舍进行强调.厂里现a板材292张、b板材198张，要加工成课桌、餐桌共80套，已知制 一套课桌用a板材2张、b板材3张，制一套餐桌用a板材5张、b板材2张.（1）家具厂有哪几种加工方案？解: 设加工课桌x套，则餐桌(80-x )套,加工x套课桌需要a板材张，加工这些餐桌需要a板材5(80-x)张,加工这些家具共需a板材2x+5(80-x)张. 加工x套课桌需要b板材 空张，加工这些餐桌需要b板材2(80-x)张

6、,力口工 这些家具共需b板材3x+2(80x)张,根据题意得,2x + 5 (80x) w 292解得，36<x<38 (x取整数)3x + 2 (80x) w 198餐桌：44,43,42有方案 课桌：36,37,38所以有3种方案，加工课桌36套、餐桌44套；或加工课桌37套、餐桌43套；或 加工课桌38套、餐桌42套.设计意图采用“留空”的方式，为列不等式组做了铺垫，增加了学生独立思考 问题的空间；此题是根据隐含条件建立不等式组这一数学模型而得以解决的，培养学生 思维的严密性和治学的严谨性.师生行为展示问题;组织学生讨论、交流学生在轻松的“填空”中理清了题目 的脉络，尝试得到

7、关于a、b板材的关系式，问题得以解决；师生共析共评.(二)售出后，课桌、餐桌每套可获利分别为45元、50元，问哪种获利最大?解：方法一（代值法）选择加工课、餐桌分别为选择加工课、餐桌分别为选择加工课、餐桌分别为36、37、38、44套时，获利为:43套时，获利为:42套时，获利为:36 x 45+44 x 50=3820 元37 x 45+43 x 50=3815 元38 x 45+42 x 50=3810 元所以，选择加工课、餐桌分别为36、44套时，获利最大，为3820元.方法二（函数法）解：设加工课桌x套，获利"元，根据题意得,w.=45x+50 （ 80-x） = -5x+4

8、000因为-5<0, 随x的增大而减小，所以，当x=36时，w.有最大值，为3820元.方法三（直观法）由于每套餐桌获利比课桌多5元，为使获利最大，只需选择尽可能多生产餐桌的方 案即可.即选择加工课桌36套、餐桌44套的方案.设计意图探究多种不同的解决问题的方法，使探究过程活跃起来，在这样的氛 围中更好地激发学生积极思考，得到更大收获，使每个学生都能感受到成功的喜悦.师生行为教师展示问题，学生自主分析学生从不同角度思考，寻找解决问题的 方法充分放手给学生，并让学生体会一题多解的奇妙之处.（3）经过做市场调查，对课桌上调&元（a>0,不影响其销售量，且餐桌的获利不 变）为回报

9、家乡，小王将此次获利全部捐给了市希望小学，请问选择哪种加工方案将 使小王的捐款额最多？解：设加工课桌x套，获利w2元，根据题意得,w2 =(45+a)x+50 (80x)= (a-5)x+4000当0<x<5时， x=36, w2取最大值，即捐款最多；当a=5时，三种方案获利相同，即捐款都相同；当a>5时， x=38, w2取最大值，即捐款最多.设计意图上题利用建立一次函数模型求得最佳方案，为此题做了铺垫，循序渐 进，符合认知规律学生易得出关系式，培养学生的发散思维能力；小王将获利用于助 学工程，培养学生要有爱心和回报社会的责任感.师生行为教师组织学生分组讨论，并做适当指导.

10、学生根据经验容易得出关于获利的关系式，但如何得出最佳方案，部分学生不知如 何解决，教师进行点拨、指导，渗透分类思想.适时请一名学生板书其解题过程并讲解，教师进行点评.合作篇恩考题：小王的家具厂生意兴隆，决定扩大规模，与某木材加工厂联营，联营后共有职 工100人，分别从事木材加工、家具制作、销售等三项工作(每人只能从事一种工 作)，已知每人每天可加工板材600张或制家貝(用门己加工出的板材)15套，每 套用板材4张，月他们的日工资为40元、50元、30元 若金业每天支付工资4600 元，且销售人员不少于14人，请你设计人事分工方案.解：设从事木材加工x人，家具制作y人，则销售为(100-x-y

11、)人，根据题意得, 厂 40x+50y+30 (1oo-x-y) =4600100-x-y >14j 600x>15yx40<x<1000<y<100有三种人事分工方案：方案1：从事木材加工8人，家具制作76人，销售为16人；方案2:从事木材加工10人，家具制作75人，销售为15人;方案3:从事木材加工12人，家具制作74人，销售为14人;设计意图及时巩固、总结所学知识，培养、提高学生解决相对复杂问题的能力.师生行为师生共析共解.感悟与收获(教师启发学生思考、总结自己的收获，教师补充) 你掌握了解决方案设计问题的哪些方法？你学会了你从小王身上学到了你的困惑是师生行为通过本节课的学习，让学生畅谈自己的感悟与收获；学生从知识、技能、方法的掌握及人