级数敛散性判别的研究

1、济南大学泉城学院毕业论文题目级数敛散性判別的研究专业信息与计算科学班级计算0802学生出彪学号20083014042指导教师宋文青二o二年五月二十五日摘 要级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微枳分学一起作为基础知识和工 具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基木工具，分别从离散与连续两个方面， 结合起來研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系一函数。国内外许多研究人员对 于级数敛散性的问题进行了大量的研究，做了许多的工作。本文主要就其代表性几类 级数：正项级数、交错级数、函数项级数，幕级数、傅里叶级数，展开探讨，总结其 常见的及非常见的敛散性判别方法。如级数敛散性判别的相关定理、证明方法

2、、意义 与方法的优缺点，适用范围等问题进行论述，使我们对级数敛散性判别及其应用有一 个新的认识，以利于开拓视野，推动级数敛散性判別的研究与教学。关键词：级数；发散；收敛abstractseries theory is a branch of analytics study. it, together with another branch calculus, appears in the remaining branches as the basic knowledge and tool. series and calculus are both established on the use

3、of the limit, but they are combined to analyze the objects of analytics respectively from discrete and continuous aspects, i.e. the dependent relationship between variables and functions. many domestic and foreign researchers have conducted extensive researches on the convergence of series. this pap

4、er focuses on several kinds of representative series: series of positive terms, staggered series, series with function terms, power series, series, and summarizes the common and uncommon convergence and divergence discrimination methods- the discussion of theorem about series convergence and diverge

5、nce discrimination, the proven methods9 significance and their advantages and disadvantages as well as the applicable range of issues will not only bring us a totally new picture of the series convergence discrimination and its application, but also promote the research and teaching of series conver

6、gence and divergence discrimination.key words： series； divergence； convergence-it -目 录摘要iabstractii1前言12级数的相关概念22级数的定义22.2级数敛散的定义22.3函数项级数的定义22.4函数项级数的一致收敛定义33数项级数的收敛性43.1正项级数的收敛性43.1.1比较判别法43.1.2比式判别法63.1.3根式判别法83.4积分判别法93.1.5拉贝判别法103.2交错级数的收敛性123.2.1莱布尼兹判别法133.3任意项级数的收敛性143.3.1绝对收敛的判别143.3.2阿贝尔判别法

7、153.3.3狄利克雷判别法164函数项级数的收敛性174函数项级数174.1.1魏尔斯特拉斯判别法174.1.2阿贝尔判别法184.1.3狄利克雷判别法194.1.4柯西判别法204.2幕级数的收敛性214.3傅里叶级数的收敛性23结论25参考文献26致谢271前吞历史上级数出现得很早。亚里士多德（公元前4世纪）就知道公比小于1 （大于 零）的几何级数具有和数，n.奥尔斯姆（14世纪）就通过见于现代教科书中的方法 证明了调和级数级数发散到+8。但是，首先结合着几何量明确到一般级数的和这个概 念，进一步脱离儿何表示而达到级数和的纯算术概念，以及更进一步把级数运算视为 一种独立的算术运算并正式使

8、用收敛与发散两词，却是已接近于微积分发明的年代了 （圣文森特的格雷果里1647、j.沃利斯1655、j.格雷果里1667）。事实上，从古希腊 邙可基米德时代）以来，积分的朴素思想用于求积（面积、体积）问题时，就一直在 数量计算上以级数的形式出现。收敛级数的结构，以其诸项的依次加下去的运算的无 限进展展示着极限过程，而以其余项的无限变小揭示出无限小量的作用。级数收敛概 念的逐渐明确有力地帮助了微积分基木概念的形成。级数相关定理应用十分广泛，近 10年來，我国关于级数敛散性等问题的研究比较细致和深入。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微枳分学一起作为基础知识和工 具出现在其余各分支中。二者

9、共同以极限为基木工具，分别从离散与连续两个方面， 结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系一函数。国内外许多研究人员对 于级数敛散性的问题进行了大量的研究，做了许多的工作。他们对级数敛散性的研究 值得学习；本文主要就其代表性的结果，如级数敛散性判别的相关定理、证明方法、 意义与方法的优缺点，适用范围等问题进行论述，使我们对级数敛散性判别及其应用 有一个新的认识，以利于开拓视野，推动级数敛散性判别的研究与教学。2级数的相关概念2.1数项级数的定义定义2.1山 给定一个数列冷,对它的各项依次用“ + ”号连接起来的表达式"l + + /+ (1)称为数项级数或无穷级数(也常简称级数

10、)，其中知称为数项级数(1)的通项。co数项级数(1)也常写作：工知或简单写作工冷。/?=!数项级数(1)的前n项和记为nsn= 为你="i+"2+%(2)k=l称它为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和。2. 2数项级数的收敛定义定义2.2 若数项级数(1)的部分和数列比收敛于s (即lim»=s),贝称 ,2 too数项级数(1)收敛，称s为数项级数(1)的和，记作s =+ u2 h+ f 或 s = x 11 n若$”是发散数列，则称数项级数(1)发散。2.3函数项级数的定义定义2.3设是一列定义在同一数集e上的函数，称为定义在e上的函数列。定义2.4

11、111设函数列£与函数/定义在同一数集d上，若对任给的正数£, 总存在某一正整数n,使得当n>n时，对一切xed都有fn(x)-f(x)<£则称函数列九在d上一致收敛于/ ,记作九（x）二/（x）（moo）, xwd。定义2.5,，j设un（x）是定义在数集e上的一个函数列，表达式u（x）+ 弘2 （兀）+ + un （x） + ，兀 w e称为定义在e上的函数项级数，简记为（兀咸工知（x）。称71=1nsn（x） = e叫（%），x u = 1,2,k=i为函数项级数的部分和函数。2.4函数项级数的一致收敛的定义定义2.6 设$“（/）是函数项级数i

12、un（x）的部分和函数,若匕（兀）在数集d上一致收敛与函数s（x）,则称函数项级数工知（兀）在£上一致收敛于函数s（x）,或称1x（兀）在d上一致收敛。3数项级数的收敛性数项级数包括正项级数、交错级数及任意项级数，下面分别讨论正项级数、交错 级数及任意项级数的收敛性。3.1正项级数的收敛性定义3.1若数项级数各项的符号都相同，贝u称它为同号级数。对于同号级数， 只须研究各项都是由正数组成的级数-称为正项级数。3.1.1比较判别法定理3.1 设工知和工匕两个正项级数，如果存在某正数n,对切n>n知s则(i) 若级数工叫收敛，则级数工血也收敛。(ii) 若级数工如发散，则级数工叫也

13、发散。证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等式(1) 对一切正整数都成立。现分别以兀和几记级数工知与工叫的部分和。由(1)式推得，对一切正整数， 都有兀< v若ix收敛，即lim$；存在，则由式对一切n有兀slims：,即正项级数工知h>ocn>oo的部分和数列»有界，则级数工如收敛。这就证明了(i) ； (ii)为的逆否命题, 白然成立。推论3.1比较判别法的极限形式设i" + + + “ + (3)v + 卩2 +“ + (4)是两个止项级数，若lim红=/(5)n则(1)当0 v/v+00时，级数(3) (4)同时收敛或发散

14、；(ii) 当/ = 0且级数收敛时，级数也收敛;(iii) 当/ = +oo但级数(4)发散时，级数(3)也发散。证 由(5),对任给的正数£,存在某正数n,当>n时，恒有或<un <(/ + £)"”(6)由比较原则推得，当0</<+oo (这里设</)时，级数同时收敛或同时 发散。这就推得(i)。对于(ii),当心0时，由(6)式右半部分及比较原则可得：若级数(4)收敛，则 级数(3)也收敛。对于(iii),若i = +oo,即对任给的正数m ,存在相应的正数n,当斤n时, 都有> m 或 un > mvn于是

15、曲比较原则知道，若级数(4)发散，则级数(3)也发散。例题3.12】判断级数£丁的敛散性。n=i n + a解因为0v 2 1 2 <4n +a n_00100 i而正项级数工£收敛，由比较判别法得级数工丁 收敛。n=+ a"注：比较判别法一般是将级数的通项放大或缩小，从而判断出级数的敛散性。 比较判别法，适用范围极为广泛，但是技巧性高，主要是在:事先有一个正确的估 计；根据估计寻找或构造恰当的“比较对象”。比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法.对一给定的正项级数，如果 要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行 比较

16、，并应用定理进行判断.只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才 能熟练掌握比较判别法。耍应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式。但有时直接建立这样的不等式比较困难。3丄2比式判别法(达朗贝尔判别法)定理3. 2 设工冷为正项级数，且存在某正整数及常数q(o<q< 1)(i) 对一切n > n),成立不等式也 wq,(7)则级数工知收敛。(ii) 对一切n> n。,成立不等式>1则级数工知发散。证(i)不妨设不等式(7)对一切n > 1都成立，于是有u3把-1个不等式按项相乘后，得到u2 .乞冷

17、v亍-1u u2 un-或者由于当0 vqvl时，等比级数fcr收敛，根据比较原则及上述不等式可推得 /:=!级数工如收敛。(ii)由于n>n°时成立不等式(8),即有知+1 » un、叽于是当 t a时，知的极限不可能为零。级数收敛的柯西准则知级数ix是发散的。推论3. 2 比式判别法的极限形式若工冷为正项级数，且lim 如q(9)(i) 当gvl时,级数工血收敛(ii) 当g>l或g = +8时,则级数工知发散。证 由(9)式，对任意取定的正数£(v|l-g|),存在正数n,当n>n时，都有q-£ <q + £un当

18、gvl时，取£使§-gvl,由上述不等式的右半部分及比式判别法定理的(i), 推得级数工冷收敛。若q>l,取6使g-w>l,由上述不等式的左半部分及比式判别法定理的(ii), 推得级数工知发散。若q = +oo,则存在当n>n时有丛un所以这时级数工知发散。0 i例题3.2判断级数工牛的敛散性。n=n解 因为 lim = lim (n + 1)!. = lim=-< 1"too un "too( + i)"+ n "tgq + b” en8 nl所以由比式判别法知正项级数工上收敛。n=l nn注：对于比式判别法

19、存在两点不足：当g=l时，判别法失效，既有收敛的，乂 有发散的级数。比式判别法，不需耍寻找参考级数，适用于带有连乘或阶乘的级数、指数函数。不适用于有理函数，根式有理式。3.1.3根式判别法(柯西判别法)定理3. 3111设工知为正项级数，且存在某正整数及正常数/,(i) 若对一切n>心,成立不等式<1<1 (10)级数工知收敛。(ii) 若对一-切n> n。,成立不等式诉>1(11)则级数工冷发散。证由(10)式有因为等比级数工广当0<1< 1时收敛，故由比较原则，这时级数工冷也发散， 对于情形(ii),由(11)式可推得从1"=1当/2to

20、o时，显然如不可能以零为极限，因而由级数收敛的必耍条件可知，级 数工知发散。推论3.3根式判别法的极限形式设为工知正项级数，且lim 训7 = /仃 2)m>oc则当zvl时,级数ix收敛(ii)当/>1时，则级数工冷发散。证 由(12)式，当取<|1-/|时，存在某正数n,对一切n>n ,有i £ < 町u” v / + £于是由柯四判别法定理就能得到这个推论所要证明的结论。9例题3.3判断级数工?的敛散性。7?=1 2900/7* 所以曲根式判别法知正项级数工收敛。/i=i 2注：根式判别法，适用于指数函数、幕指函数。不适用于有理函数、带有

21、根式有 理式、连乘或阶乘的级数。这种方法与比式法的和似之处也是无需选择参考级数，但 是因为通项要开n次根号，所以往往在通项中出现n次方时选择此方法，缺点也是当极限值为1时，根式法失效，无法确定级数的敛散性。3.1.4积分判别法定理3.4设.f为l,+oo)上非负减函数，那么正项级数x/(h)与反常积分 c fmdx同时收敛或同时发散。定理3.5正项级数工知收敛的充要条件是：部分和数列s”有界，即存在某 正数m ,对一切正整数斤有sn<m .定理3.6111比较法则设定义在d,+oo)上的两个函数/和g都在任何有限区间a,“上可积，且满足f(x)<g(x),xea则当rg(x)dx收

22、敛时rf(4dx必收敛；或者当f(x)dx发散时，必发散。证 由假设/为l,+oo)±非负减函数，对任何正数a, /为1,用上可积，从 而有fw < 匸f(x)dx < f(n 一 1)屮=2,3 依次相加得z/(h)<r/a)<z/(h-i)= z/(h)仃 3)7i=2;?=2n=若反常积分收敛，则由(13)式左边，对任意正整数加，有msm = z/(«) < /(!) + fx)dx </(l)+ f f(x)dx n=l根据定理3. 5,级数z/(n)收敛。反之，若z/(h)为收敛级数，则由(13)式右边，对任一正整数m(>

23、 1)有nf(x)dx<sm_<xfm = s(14)因为/(x)为非负减函数，故对任何正数a,都有0 < f(x)dx < sn < s,n< a<n联系(14)式及定理3. 6得反常积分f(x)dx收敛。用同样的方法，可以证明z/(h)与厂/(兀)必是同时发散的。例题3.4判断级数工一的敛散性n= yl +1解设/(x)= j，则jc +1/(%)在1,+00)上为非负减函数,而什 so dx 7tr7ti=7co1故由积分判別法知工收敛。?=1 + 1注：积分判別法利用非负函数的单调性和积分性质，以反常积分作为比较对象來 判断正项级数的敛散性。3

24、.1.5拉贝判别法定理3.7111设工血为正项级数，且存在某正整数n。及常数r,(i)若对一切n >成立不等式n（_±l）>r>l un则级数工知收敛。（ii）若对一切农> n°成立不等式班1 一也）51则级数工冷发散。证（i）由> r 可得 ljl± < 1- o 选使 1 < p < r ° 由于如unnlim”t«x rhmj显（"j <1x->0pxx>0ff因此，存在正数n,使得对任意n>n这样也 <1-（1-（1-丄）"） = （1-丄

25、）jus unnnn于是，当n>n时就有t/ _冷+1冷un+ un 仏“n+1uns （口）"（斗）"（斗詁）"n n-1n2呼叫n1当p1时，工丄收敛，故级数工冷是收敛的。 nl（ii）由（1也）可得也ni-丄=，于是 tinun n nn一 知+1unun+ _u.n-i n-2亠弘2ii 2n n-因为工丄发散，故工如是发散的。n推论3.4 拉贝判别法的极限形式设工知为正项级数，且极限limcl-) = r"x lln存在，则(1)若厂>1时,级数工冷收敛(ii)若rvl时,则级数工知发散。例题3.5判断级数£133-1)的

26、敛散性。n=i 2 4 - (2n) 2n +1解因为"unv ri 13(2斤+ 1)24(2)(2斤+ 1)=lim nw 24(2n + 2)(2n + 3)13z 1).n(6n 4- 5)3 (=lim彳=-> 1"->8 (2/1 + 2)(2/? + 3)2所以由拉贝判别法知级数收敛。注：比式判别法和根式判别法是把所要判别的级数与某一等比级数相比较來判断 收敛性。只有那些级数的通项趋丁零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数，这两 方法才能鉴定出它的收敛性，如果级数的通项收敛速度较慢，它们就无能为力了。171拉贝判別法是以"级数为比较标准得

27、到的判别方法，适用于那些收敛速度较慢的 级数。3. 2交错级数的收敛性定义3.2 若级数的各项符号正负相间，即wj u-)+ “3 “4 + + ( 1)" " + ("“0, = 1,2,)(15)则称(15)为交错级数。3.2.1莱布尼兹判别法定理3. 8 若交错级数（1）满足下述两个条件:（1）数列血单调递减;（ii） lim知=0,"too则级数（1）收敛。证 考查交错级数仃5）的部分和数列»,它的奇数项和偶函数项分别为u -（u2 _饥3）（w2,n-2 - u 2 加-1）s2m =（绚一 u2）+（w3 一 “4）+ + （弘2加

28、-1 一 u2m）由条件（i）,上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列s2fn_是递减的, 而数列厂川是递增的。乂由条件（ii）知道° < f- 一t ° （加 t 00）从而，$2心是一个区间套。由区间套定理，存在唯一的一个数s，使得lim孔心=lim孔加=s>00加一>00所以数列兀收敛，即级数（15）收敛。co7例题3.6判断级数s（-ir sin 的敛散性。n=ln解因为2（-lfsin- nt_（ too）, n00 1kije-发散, n=l n29即原级数不是绝对收敛级数，但sin-是单调递减，且limsin- = oo所以由莱 n川

29、toonco2布尼兹判别法可知z（-lf sin三条件收敛。n=n注：交错级数满足莱布尼茨判别法的条件之一是前一项大于等于后一项。莱布尼 兹判别法判断出级数收敛时，并不能确定是条件收敛，还是绝对收敛。如果色稍微复杂一点，莱布尼兹的两个条件验证起来会有些困难。3. 3任意项级数的收敛性定义3. 3任意项级数的定义若级数工知的各项符号没有固定的规律，称z为任意项级数。定义3.4条件收敛定义若级数绚 + + w/7 + 收敛，而各项绝对值所组成的级数i w i 4-1 i +.+ i un i 4- 发散，则原级数为条件收敛。定义3. 5绝对收敛定义若级数wj + +. + un + (16)各项绝

30、对值所组成的级数i w| i + i 2 丨 + i 1(n i + * * *(17)收敛，则原级数为绝对收敛。3.3.1绝对收敛的判别定理3. 9绝对收敛的级数一定收敛。证 由于级数(17)收敛，根据级数的柯西收敛准则，对任意正数£总存在止数n ,使得对n>n和任意正整数r，有心+i| +1%+2 + +£由于%1 + %+2 + + %+| < |%+11 + |%+21 + + um+r < 8因此曲柯西准则知级数(16)也收敛。 例题3.7判断级数二的敛散性。m 3x2"f_1 v1 8, g 11解 因为un=，因工如=15-是公比为

31、q = -(q<l)的等比级数，故3x2 n=i ”=13 22收敛，即原级数绝对收敛，所以原级数收敛。注：这种方法思路很简单，但是很多题冃耍求的是判断是否收敛，而不需判断级数的收敛的类型，所以这种方法不是很常用。332阿贝尔判别法定理310在级数e cinbn = ab + a2b2 + + anbn + 中，若级数色为单调有界数列，且级数工$收敛，则原级数工®=卯?+°2仇 + + £+收敛。证 由级数仇收敛，依柯西准则，对任意整数存在正数n,使得对77n时，任意正整数，都有n+pk=n+l乂由于数列色有界，所以存在m >0,使an<m ,由

32、阿贝尔引理可得<3ms所以级数工吸收敛。例题3.800 (_1)" y，j判断工匚丄亠r的敛散性，其屮(x>0)o «=i n 1 + x解数列丄万，当(兀>0)时有1 i x0<l+z<一 xh=1同时当()v x v 1时有1 +兀"即严格递减且有界;1 i x当x = l时，原级数为£上世，满足莱布尼兹条件，即收敛; n=i 2n当x1时，有01 + x”*即亠丁严格递增且有界。1 + x又曲于f上型是收敛的，故由阿贝尔判别法知原级数收敛。 7?=171注：阿贝尔判别法适用的情况是：级数的通项可以拆分为两部分，一部分单

33、调有 界，另一部分可以判断敛散性，从而可以判断原级数的敛散性。333狄利克雷判别法定理3.11若数列%单调递减，且lim%=0,又级数工仇部分和数列有界,?>00则级数工 anbn = ah + a2b2 + + anbn + 收敛。例题3. 9判断级数f 琴竺,兀w （0,2龙）,3 > 0）的敛散性。心 n00k=解由于当xw（）,2龙）时，有 % sin28 1即zsinnx的部分和数列有界，而数列-（6/ > 0）单调减，且 zz=l11lim = 0na故由狄利克雷判别法知原级数收敛。注：狄利克雷判别法适用的情况是：级数的通项可以拆分为两部分，一部分单调 递减趋于零

34、，另一部分和数列有界，从而可以判断原级数的敛散性。4函数项级数的收敛性如果级数的通项是函数，则称z为函数项级数，幕级数、傅里叶级数是其中较为 常见而且应用广泛的两类，下面分别讨论函数项级数、幕级数及傅里叶级数的一 致收 敛性。4. 1函数项级数的一致收敛性4丄1魏尔斯特拉斯判别法定理41设函数项级数xun(x)定义在数集d上，工为收敛的正项级数，对 一切xgd,有un(x)<mn, = 1,2,，(1)则函数项级数工冷(%)在d上一致收敛。证 由假设正项级数工收敛，根据数项级数的柯西准则，任给整数£,存在 某正整数使得当n>n及任何正整数，有m卄1 + + 卄卩=m“+i

35、 + + m“+ < s又由(1)式对一切xed有un+ (>) + + 弘“+p(x)< ”卄| | + + "“+“ s m+ + + m”+p < s根据苗数项级数一致收敛的柯西准则，级数工冷(力在d上一致收敛。例题41 判断级数£竺竺,(_oo,+oo)是否一致收敛。n=2"解 vx g (-00,+oo),因为 i cos nx<l9 所以oo 18而工丄收敛，由m判别法知工笛竺在(oo+oo)上一致收敛。/:=12"n=l 2"注：魏尔斯特拉斯判别法是将函数项级数与某一个正项级数作比较来确定该函数 项级

36、数是否一致收敛，方法简单但是有时作为参照的正项级数不是很好找。4.1.2阿贝尔判别法定理4.2设（i）在区间i上一致收敛;（ii）对于每一个xel,vn（x）是单调的;（iii） v（x）在/上一致有界，对一切xel和正整数n,存在正数m,使得则级数工如00匕（兀）=%“ +“22在/上一致收敛。证出（i）,任给£>0,存在某正整数w,使得当n>n及任何正整数p,对一切xel有知+1 （%） + + un+p（x）< £乂由（ii）, （iii）及阿贝尔引理得到（兀）叫+p （兀）卜（|%i （兀）| + 2un+l（%）匕+1（兀）+ + 饥“+pvn+

37、p(x)e<3me于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则得到本定理的结论。 例题4. 2,21设级数工勺收敛，证明nx<l（xe 0,+oo）,且一 5丄，所以丄单调一致有界,乂跃（n +1） nn收敛，从而工q”在0,+8）上一致收敛，由阿贝尔判别法知工*在0,+8）上一致收敛,n显然*s = i,2,）,在（）,+oo）上连续，由连续定理知工牛在0,+8）上连续。故 nan鹦洋订甥糾阳注：阿贝尔判别法适用的情况是：函数项级数的通项可以拆分为两部分，一部分 单调有界，另一部分可以判断是否一致收敛，从而可以判断原函数项级数是否一致收敛敛散性，所以它只适用于特定形式的函数项级数。41

38、3狄利克雷判别法定理4.3设(1) 2x(兀)的部分和函数列匕=2x00(斤=1,2,)r=1在/上一致有界；(ii) 对于每一个xel , vn(x)是单调的；(iii) 在/上匕(x)在(“t8)时一致收敛于零，则级数z (x)vn (x) = mj vj + u2v2 + + unvn + -(2)在/上一致收敛。证 由(i),存在正数m,对一切有un (x)| < m o因此当弘p为任何正 数时，竝+1 (%) + + 知+°(兀)| = pn+po)-t/?(x)| < 2m对任何一个xe/,再由(ii)及阿贝尔引理，得到(小“+i (兀)+ + un+p (x

39、)vn+p (x)| < 2m (|vw+1 (x)| +(x)|)再由(iii),对任给的£>0,存在正数n,当n>n时，对一切xe7 ,有(x)| < s所以%i(兀)仏+1 + + un+p (x)vn+/?(x)| s 2m (g + 2w) = 6me于是由一切收敛性的柯西准则级数(2)在1上一致收敛。co yn例题4. 32判断幕级数工岭=,x w -1,0是否一致收敛。n= v n解 记知(x)=(1)k)= u肖，贝ij£绰(兀)<1,xg-1,0,k=l对丁每一个x g -u0 ,vn（x）单调递减且t 0(/2 t 00),

40、可见匕（x）在（ 8）且尤“-1，0时一致收敛于零，由狄利克雷判别法知00 yn工卓在xg-1,o上一致收敛。n= v n注：狄利克雷判别法适用的情况是：幕级数的通项可以拆分为两部分，一部分单 调一致收敛于趋于零，另一部分部分和数列有界，从而可以判断原级数的敛散性，这 种方法仅适用于特定类型的幕级数。414柯西准则定理4.41101函数项级数工冷（x）在数集z）上一致收敛的充耍条件为：对任给的 正数总存在某正数n,使得当n>n时，对一切xed和一切正整数卩都有s(x)- sn (x) < £知+1(兀)+ un+2 (>) + + un+i)(x) <

41、63;81 2/7例题4.4判断琴级数工一； ,xe-l,l是否一致收敛。n=2（x +7广）广 +（72-1）解因为 2kn+py51 (/+/)/+伙 1)2=丫(!k=n+ x2 +k2兀？+伙一1尸1 1+(料 + py x<<12 2 xn所以，比>0,取川+ 1,当n>n ,对一切xe-l,l和一切自然数”都有怙（x）- s"（x） 所以由函数项级数一致收敛的柯西准则知原函数项级数在xe-l,l± 一致收敛。注：柯西准则较为基础，适用范i韦i较广，但是所给的幕级数用该方法是否简洁耍 视情况而论。4. 2幕级数的收敛性定义4.1由幕级数列(

42、x-xon所产生的函数项级数8 0an (x-xq)n =aq(x - xq)x + a2(x - x0) + + « (x-xq)n + (3)?=o称为幕级数。当兀。=0时，其形式为00x 色兀"=qo + ax + a2x + + 4丿"+ (4)n=0定义4. 2(收敛区间和收敛半径的定义)如果幕级数tanxn不是仅在x = 0 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必 n=l有一个确定的正数7?存在，使得当x <r时，幕级数绝对收敛；当x>r时，幕级数发散；当x = r或x = -时茶级数可能收敛也可能发散。正数通常叫做幕级数(4)的收敛半径

43、。开区间(-r,r)叫做幕级数的收敛区 间。定理4.5若级数8 2工+ + dx" h(5)n=0的收敛半径为/?(> 0)，贝恠它的收敛区间(-/?, r)内任一闭区间a,b上该级数都一致 收敛。证 设x = max|4he (-/?,/?),那么对于a,b上任一点兀,都有anxn<nanxnn由于级数(5)在点x绝对收敛,应用优级数判别法推得级数(5)在a,b上一致收 敛。00例题4. 5求慕级数工必的收敛区间收敛域。n=l解因为p - lim da = lim 诉=1打一>8川t8008所以收敛半径r = l,而当x = ±l时，级数工(±

44、1)5都发散，故工处"得收敛区 /i=ln=l域为(-1,1),在其任意子区间上都是收敛的。注：该方法的思路是幕级数在收敛区域的任意子区间上都是收敛的。定理4.6若幕级数(4)的收敛半径为/?(> 0),且在x = r(x = -r)时收敛，则级数(4)在0,/?(或-/?,0)上一致收敛。证 设级数(4)在x = r时收敛，对于x 0.r,有ooooys” = mf®”n=0n=0kooy已知工订"收敛，函数列(-/在0,心上递减且一致有界,即77=0rin n()2 nn()"、()r rr故曲阿贝尔判别法，级数(4)在0,/?±一致

45、收敛。同理证得级数(4)在-/?,()±一致收敛。oo例题4.6判断幕级数工亠在-2,0上是否收敛。n=n 2解因为8 (+278 疋收敛半径为r = 2,而当尢=±2时，级数工导是收敛的，故工亠得收敛区 n=/v - 2心/广 2'域是-2,2,由定理14. 5可知在2,0上是收敛的。心厂2注：当幕级数的收敛区域关于原点对称时，从左侧端点到零点或者是从零点到右 侧端点都是收敛的。4. 3傅里叶数的收敛性/w =定义4.31111若在整个数轴上+ x (勺 cos nx + bn sin nx) 2 n=l且等式右边级数-致收敛，则有如下关系式:an = 一化 /

46、(x) cos nxdx, n = 0,1,2/ -71b =丄 匚 /(x) sin nxdx, n = 1,2, n等式右边级数称为函数/(x)的傅里叶级数。定理4.71,21 (狄利克雷充分条件)设.f(x)是周期为2疗的周期函数，如果它满足：(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点，则/的傅里叶级数收敛，并且当x时于(兀)的连续点时，级数收敛于/(%);当兀时于(兀)的间断点时,级数收敛于丄/(%)+ /(x+)o例题4. 7将函数/(x) = cos-在0,刃上展开成正弦级数。解对/(兀)作奇式周期延拓,do = 0, an =(),( 1,2,)b,= cos sin nxdx"71 )22111=sin(n + )x + sin(n )xdx7i222- cos( +)兀1()+ cos(/2)x l07i+127i 2/1-128n7v 4/?2 -1由收敛定理，在区间（0,疋）上x 8 22. ncos = v 一sin nx2 龙心421当x =