数据的分析处理、单摆实验

1、單擺實驗過中學物理的人大都會認為單擺是很簡單的（單擺的單,就是 simple的意思），也都很熟悉它的特性，像小角度時週期和擺角無關（等時性）及週期和擺 長的平方根成正比等等。除此之外，你知道伽利略先生發現單擺特性的過程嗎？ 他是怎樣發現的？並將其結果應用在哪些方面上？你還知道物理上有哪些事件 或主題是和單擺有關的？在本實驗中，我們將利用單擺這個簡單的實驗器材，來達到下面幾個目的：訓練實驗的基本技能，學習控制變因的方法。練習數據處理與分析，並瞭解其意義。學習實驗報告的寫法及數據的分析。瞭解與探索單擺在科學史上的意義及其和其他概念的關係。我們將單擺實驗分成abc三個部份，每一部份各有其不同的學習重

2、點。你 將會體會到，簡單的單擺可是蘊藏著很多的學問喔！實驗a :定擺長與擺角來測量單擺的週期。實驗b:固定擺角，分析擺長與週期的關係。實驗c:固定擺長，研究擺角與週期的關係。講義目錄 單擺實驗a、b、c數據的分析與處理 光電計時器的使用方法 實驗報告的寫法及注意事項實驗報告繳交日期：2007/5/26 以a4大小的紙撰寫，要有封面，左上角斜訂。請交給助教，建期不收。請自己一份副本，並於下次實驗課（2007/6/9）時帶來。單擺實驗單擺實驗a【器材】棉線.45®be長尺、光電計時器特別注意:本實驗不准使用量角器，但可以善用實驗室裡的各種東西， 如膠帶、課本、繩子、空箱子等等。【原理】1

3、. 一個理想的單擺是質量集中在一點的擺錘，用無質量的細繩所懸掛的物體。懸掛點到擺錘的距離稱為擺長。2. 單擺的公式t = 2ti是我們所熟悉的，這個式子是怎樣推導出來的，並請畫出它的受力圖？這個公式的適用範圍是什麼呢？3常態分佈的意義4誤差的種類及其意義【步驟】1. 熟悉光電計時器的使用。2. 自行架設單擺，決定並固定擺長和擺角。想一想：擺長和擺角要如何選才適當？擺長是從那裡量到那裡？請畫圖說更。在測量上可能造成多少誤差？擺角要如何定？如何量？請用文字及畫圖說明。3. 用光電計時器測量擺動一次的時間，重複100次。請用功能5 ,次數設定要按幾？為什麼？4. 實驗過程中一定要盡量避免所有可能的誤

4、差。【分析】用excel列出數據及作圖1. 列出100個數據。2. 畫出次數-週期的分佈圖（長條圖）3. 求出平均值7標準偏差（7和平均標準差（7x。4. 在t±o間之週期有多少個？佔百分之多少？在t±2（y間之週期有多少個？佔百分之多少？在f±3（7間之週期有多少個？佔百分之多少？（想一想，為什麼老師要你們這樣分析？有什麼意義？）5令重力加速度g = 9.8m/s2 ,由所求出的平均值推算出單擺的擺長（實驗 值），並和你所測量的擺長（此時它為理論值，why?）做比較。6. 所求出的平均值7及你所測量的擺長，推算出重力加速度（實驗值），再和g = 9.8m/s2（

5、此時它為理論值）做比較。7. 請比較步驟5和6的二種分析方式。【思考問題】1. 單擺的等時性是什麼意思？單擺為什麼會有等時性?2. 伽利略是怎樣發現單擺的等時性?3. 您的單擺是否具有等時性？何以得知？4. 在這個實驗中，有哪些誤差是屬於隨機誤差？哪些是系統誤差？哪些是人為誤差？單擺實驗b【器材】長尺、光電計時器、量角器【步驟】1. 自行架設單擺，並決定擺長和擺角。2.測量單擺連續擺動x次的時間,重覆y次。（x,y由自己決定）3. 改變擺長，重覆上一步驟。4. 用excel作丁和v7 （或尸和0 ）的關係圖，並找出最小平方曲線（線性, y = ax+b ）的係數及相關係數。請討論算出來的係數及

6、相關係數的物理意 義。5. 用excel作丁和0的關係圖，應該如何連接各點呢？單擺實驗c【器材】i架、棉線、擺錘、尺、量角器、光電計時器【原理】實際上，單擺的週期和角度是有關係的，大角度時，小角度時(sin& = &)(1)116在本實驗中，我們要探討，什麼時候是小角度,什麼時候小角度的公式不能適用。註：其實(2)也是個近似式，更精確的式子是t = r(l + -sin2- + sin4- + .)(3)°42642其中公式(2)及(3)的推導不在大一普物的程度之內，所以不必推導，直接使用。【步驟】1. 自行架設單擺，固定擺長。2. 改變不同的角度，測量單擺的週期。(

7、角度最大可以到多少度？)【分析】1.做t-0的關係圖，以最小平方法找出函數y = ax?+ bx + c的係數(excel趨 勢線，選多項式，2次)，將所得的結果與理論比較，並討論之。(想一想， a, b, c所代表的物理意義各為何？)2.除了用函數y = ax? + bx + c來分析之外，還可以用什麼函數來分析t-0的 關係？定義，&-或叫00% ,以e對b作圖，說明sin&的適用範圍，並 sin&解釋此圖之意義。4.注意，0的單位是徑度，但作圖時請用角度（為什麼？）綜合問題1 擺長應該量到哪裡才對？為什麼？2.在擺長和擺角都固定的情況下，你認為擺$的大小和擺的質量

8、對週期會不會有影響？請說明你的理由。3.單擺的運動是不是一種周運動？請將單擺和周運動所受的力做個比較。4.如果單擺的振動不是在一平面上，而是形成錐形擺（如 右圖），對週期會有什麼影響？數據的分析與處理【原理】 一、數據的紀錄 所有測量值都要毫不保留地記錄下來，且不要再有任何的更改或謄錄以降低筆誤甚至被懷疑捏造數據的機會。即始出現了筆誤，就在該數據上 畫上兩橫槓，但別加以塗改或是修飾。記住，留下所有原始資料，即使 它是錯的。（why?）養成把數據記下來的好習慣，並附上單位，需要的話，畫圖記下你是怎麼量的。只有測量一次的單一測量值在實驗上的價值不大，因為它可能 包含了誤差而不自知。不要把誤差都怪罪

9、在儀器或人為上，要真正找出影響結果的原因。 沒有任何一個實驗的測量值是完全準確的。即使是同一個人以同一套系統操做 重覆的實驗也常得岀不完全相同的結果，可見得每一次的實驗都難免產生誤 差。為了將惱人的誤差減到最低，我們必須先分析岀導致誤差的原因才能對症 下藥。誤差的來源一般可分為系統誤差、人為誤差以及隨機誤差。1.2.系統誤差：又可細分為二。由設備上的缺陷所造成，比方說設計不良或機械零件精度不夠，甚 至磨損或老化，都可能造成實驗結果的不可靠。（如何改善？）由於環境的因素所造成，比方說實驗室溫度突然改變將導致米尺的 熱脹冷縮。（如何改善？）人為誤差：多半由於個人的疏忽所造成。比方說數據的判讀有誤、

10、忘了 歸零、量長度時把吋當作公分、記錄數據時的筆誤、甚至計算錯誤等。（如何改善？）3. 隨機誤差：任何系統的物理狀態都具有統計上的不確定性，這是永遠存在而無法避免的。應付之道是增加實驗測量的次5ca並以統計學的理論來處理數據以獲得較佳的結果。三、準確度與精密度：精密度：當多次重複測量時，不同測量值彼此間偏差量的大小。如果多次測量時，彼此間結果皆很接近，則稱為精密度較高。 準確度：準確度的定義是測量值與真值（或公認值）的偏差程度，通常以百分誤差的形式來表示o公認值通常指使用已知較準確且精密度高的實驗儀器,在優良訓練的實驗人員重複操作下,所得出的實驗結果百分誤差=i測量値-公認値i公認値x100%

11、n偏差(deviation):一個特定數據與整組數據的平均值之差，稱作偏差(deviation)o £-x, d2 =x2 -x,dn xn-x.標準偏差(或稱標準差，standard deviation) 定義為：(j三+ d-y +. + d“問題：你認為精密度與準確度之間有直接的關係嗎？精密度高的結果，準確度一定高嗎？準確度高的結果，精密度一定高嗎？ 四、統計分析a.維數據的處理平均值(mean)如果對同一個物理量作斤次測量，每一次所得的數據分別是兀/,畑 兀3,皿，則實驗的平均值即na n當數據為有限個時，將標準差作下列的修正：(7三n-意義：當數據的個數夠多(理想情況是)時

12、，數據將成常態分佈。我們可 以根據某一數值距離平均值有多少個標準差而知道從平均值到該值之 間的數據個數佔了總個數的百分之多少。根據理論計算的結果，在平均 值上下一個標準差的範圍內的個數佔總個數的67.5% ；兩個標準差的範 圍內的個數佔95.5% ;三個標準差的範圍內的個數佔99.7%o因此，當 我們看到一段描述質量127公克，標準差2公克時必須能反射性地 知道約有將近七成的測量數據是在125到129公克之間。又，一般 將三個標準差稱為極限誤差，也就是在有限次數的量測中，如果某 測量值的誤差超過三個標準差則應予以捨棄之。平均標準差(standard deviation of the mean)

13、j 222+2 + + “n（n -1）意義：嚴格定義應該是這樣子講的，對一個量測對象取了 n個數據（n 是有限值），用這斤個數據可得出一個平均值o再以這n個數據為一組， 重覆取無限多組，則每一組將各有其平均值，於是我們得到了無限多個 （它們也將成常態分佈）。而這無限多個的標準差就是我們所定義的平均 標準差。通常，我們將實驗的結果表示如的型式。範例：60datas1.6561.6611.6531.6611.6561.6561.6591.6561.6571.6561.6561.6561.6561.6551.6561.6551.6561.6561.6561.6541.6551.6541.6571.

14、6551.6611.6561.6571.6561.6501.6611.6521.6521.6591.6521.6571.6571.6581.6561.6561.6561.6491.6571.6561.6571.6551.6571.6561.6561.6561.6571.6491.6571.6561.6621.6501.656l6551.650l6561.655函數1.6621.6490.0027391.655767最大値max最小值min 標準偏差stdev平均值averagedatan1.66221.66141.66001.65921.65811.657101.656241.65571.65

15、421.65311.65231.65101.65031.649360 datas分佈圖n nirrri冏eris. 3025201510501.662 1.661 1.660 1.659 1.658 1.657 1.656 1.655 1.654 1.653 1.652 1.651 1.650 1.649datab.二維數據的處理最小平方作最小平方作圖法，是找一條曲線（多項式），使所有數據點到曲線的垂直 距離的平方總和為最小。若用（xi,yi）表示數據點，企丿是根據最小平方法 所畫岀的曲線（least squares regression line）,它必須滿足e = 2 （f （乞）- y）

16、的值為最小的條件，其中e為縱向距離平方之總 和，當e為最小時，也就是使得所有數據點到曲線的垂直距離的平方的 總和為最小。回歸分析最4、平方法逼近（線性：次式）（或稱線性回歸linear regtession） 設有個數據點，最小平方曲線為f（x） = ax + h , &為斜率，b為截 距，皆為未知，待求。由定義知，需使尸=工（f （兀.）_ y,）2 =工（叭+力_儿.）2為最小，其條 件為：务=+b工兀-工兀必=0务= 0=>g 工兀i +=0由上二式聯立可得：“兀）一（工严j（1）（工兀）2-斤（。|2）心（工兀x）（工兀）-（工x）（工/）（1>）27（2>2

17、）依照所求得的截距和斜率，將曲線畫在圖上，完成你的作圖。並記得討 論在此實驗中，截距和斜率所代表的意義。相關係數："工3工区j）®巧），越接近1相關性比。j"-】）"-/越高 最小平方法逼近（多項式：二次式）設有斤個數據點，最小平方曲線為f（x） = ax2+bx-c ,a,b,c皆為未知， 待求。條件為：= 0 ,= 0 , 4 = 0 ,此三式聯立可得a, b, cuadbde其他：指數回歸、對數回歸、乘暮回歸x(m)f(n)225478991112範例：用excel畫出來的圖x(m)c方法在工程用計算機都內建有計算平均值、標準偏差、截距、斜率、相關

18、係 數的功能。只要將數據(xi,%)輸入，就可以輕易得到截距、斜率和相關係數(不必 使用到(1)(2)式),怎麼使用，請研讀你的計算機說明書。另外，excel軟體也可以求出及畫出回歸線(趨勢線),excel作圖之秘笈留 給你自己寫喔！ 工程用計算機： mode 注意角度(rad、deg) 統計功能：(如何切換到統計功能？) 一維數據處理(standard deviation ； sd) 二維數據處理：線性回歸分析(linear regression ； lr ； reg ； lin)相當於enter的是哪個鍵？ 二維的數據如何輸入？我怎麼知道到底已經輸入幾個數據了 ？我的計算機中的a和b,誰是

19、斜率？誰是截距？ 如何清除先前已輸入的數據？【習題】方法一：使用工程用計算機及方格紙，並將使用說明寫下來。 方法二：使用excel，並將使用說明寫下來。a.維數據的處理：100個data1.6561.6611.6531.6611.6561.6561.6561.6571.6551.6561.6591.6561.6571.6561.6561.6561.6551.6561.6571.6611.6561.6551.6561.6551.6561.6561.6551.6511.6561.6561.6561.6541.6551.6541.6571.6551.6571.6561.6561.6491.6611.

20、6561.6571.6561.6501.6611.6561.6611.6561.6561.6521.6521.6591.6521.6571.6571.6651.6561.6551.6561.6581.6561.6561.6561.6491.6571.6561.6561.6571.6571.6561.6571.6551.6571.6561.6561.6571.6561.6561.6561.6561.6571.6491.6571.6561.6621.6561.6551.6491.6551.6561.6501.6551.6501.6561.6551.6511.6571.6551.657求：（1）平均

21、值（2）標準偏差（有n-1的那一個）（3）百分誤差（4）作圖（長條圖）（注意1 :假設理論值為1.656）（注意2 :使用excel時，1.656有幾個、1.657有幾個、，要請電腦數喔！）b.二維數據的處理：自由落體t (sec)012345v(m/s)15.024.834.144.455.064.0在自由落體的實驗中測得時間與速率的關係如下：以最小平方法,求:截距（2）斜率（3）相關係百分誤差作圖（注意：由斜率或截距推算出此實驗的加速度，再和重力加速度的理論值相比， 算岀百分誤差；令重力加速度的理論值為9.80m/s2）excel作圖秘笈：請寫在這裡!upm-mfii光電計時器的使用方法一

22、(14)(12)(4)【方法】(1) .電源開闢(2) .時間顯示部份:自0.00000 - 99999.99999秒顯示。(3) .光電管校準指示：當光電管校準時即有”指示標識。(4) .功能顯示部份：指示設定功能運作狀況(5) .功能鍵:設定功能(function)多種(6) .時基設定鍵：採循環設定，指示100-0.01/m sec數值(7) .次數設定鍵：功能運作過程中，設定次數用(8) .時間設定鍵：功能運作過程中設定時間用.時距鍵：於功能5 ,按此鍵可求取單位運作(半週期)時間(10).啟動鍵：啟動計時(11).停止鍵：手控制停止計時(12) jcip零鍵：計時零使用(13).清除

23、鍵：清除設定錯誤更改用鍵(14).阿拉伯數字(0-9及)：用來輸入數字資料設定用【function 5】計次計時功能操作程序： 功圖-阪數設定| ->數字| -> swl|啟動俟計次達次數設定值時即自動停止計時實驗報告的寫法及注意事項花時間好好寫一份實驗報告是很重要的一種訓練，因為雖然您的實驗做得很好，但使如果沒有經過寫報告的過程來記錄、分析、討論，那頂多只能算是對這 個實驗完成了一半。一份好的實驗報告，是別人拿著這份報告，就可以用同樣的 方法重做過你的實驗。封面及紙張大小：要有封面，寫上實驗名稱、班級、組別、姓名、學號。用a4大小的紙寫。左上角斜訂。內容：【目的】不要照講義抄。想一想,這個實驗主要的目的是什麼呢？從這個實驗可以學到 什麼呢？【原理】不要照講義抄。想一想,和這個實驗相關的原理和理論背景是什麼呢？請去查 資料，用自己理解的方式寫下來。若有較長的公式推導可以放在附錄中。【儀器及裝置】【步驟】不要照講義抄。你實際實驗的步驟是怎麼做,就怎麼寫。【結果與分析】必須包含下列各項：1. 數據表格:原始數據要列於表格中，每一份表格都要有標題並說明內容。