探究性问题解题思路系统化

1、探究性问题解题思路系统化襄樊市第四十七中学熊沙探究性问题是知识、方法、能力综合型试题，新课改后的中考数学压轴题 已从传统的考查知识点多、难度大、复杂程度高的综合题型，逐步转向数形结 合、动态几何、动手操作、实验探究等方向。传统的解答题和证明题，其条件和结论是曲题目明确给出的，我们的工作就 是由因导果或执果索因。而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的 形式和方法，耍求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归 纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答。开 放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征。这类题日形式新颖， 格调清新，涉及的基础知

2、识和基木技能十分广泛，解题过程屮有较多的创造性和 探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能，具备一定的数 学能力，又需要思维的创造性和具有良好的个性品质。1.阅读理解型例1、阅读下列材料：=丄(丄-丄)17x192 171911 1 1+ +1x3 3x5 5x717x 19丄(1 -丄)+ -(-) + -(-) + +-(-)232 3 52 572 1719丄+丄+丄-丄)771719解答问题：1 1 111f (1 )在和式1x33x55x7 中，笫五项为,第n项为,上述求和的想法是：通过逆用法则，将和式中各分数转化 易两个实吻z差，使得除首、末两项外的皿'可乳

3、项可以,从而达到求和的冃的。11151fh=(2) 解方程班兀 + 2) (x + 2)(x + 4)(x + 8)(x+10)24分析：本题是从一个和式的解题技巧入手，进而探索具有类似特征的分式方 程的解题思路。 解(1)第五项为跖匚 第ri项为2-1)(2 + 1),上述求和的想法是： 通过逆用分数减法法则，将和式中各分数转化为两个实数z差，使得除首、末两 项外的中间各项都可以互相抵消，从而达到求和的冃的。524(2) 方程左边的分式运用拆项的方法化简：、丄+丄亠2 x 兀 + 2 兀 + 2 兀 + 4x + 8 兀+ 10524化简可得(兀+ 12)(兀-2) = °解得山=

4、2,兀2 = 12经检验，x, = 2, x2 = -12是原方程的根。从上而的例题我们可以把探究型问题格式化为：(1)分析题冃及例子；(2)归 纳知识点：(3)推理及小小的推广；(4)下结论。例2、阅读以下材料并填空。平面上有n个点(斤2),且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线, 一共能作出多少条不同的直线？(1) 分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线；(2) 归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数以，发现：点的个数可连成直线条数21 = 52 = 2 x 1 233备竽46 7 一 2510

5、= 55 =5><4' 2n_ n(n - 1)” 2（3）推理：平面上有n个点，两点确定一条直线，取第一个点a有n种取法, 取第二个点b有5 1）种取法，所以一共可连成“s 1）条直线，但ab与ba是同一s=-1）条直线，故应除以2,即"一 2s（4）结论：2试探究以下问题：平面上有n （斤上3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角 形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形；（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数发现:点的个数可连成三角形个数345n（3

6、）推理：（4）结论：分析：本题是从阅读材料小得到研究数学问题的方法：分析归纳一一猜想 推理结论，再用这种方法探究解决新的数学问题。解（1）当仅有3个点时，可作 1 个三角形；当有4个点时，可作 4 个三角形；当有5个点时，可作 10 个三角形。（2）点的个数可连成三角形个数33x2x1644x3x2655x4x36n/:（/: 一 1）（/? 一 2）6（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点a有n种取法，取第二个点b有5一1）种取法，取第三个点c有（"一2）种取 法，所以一共可以作1）（2）个三角形，但 aabc、aacb> bac. bc

7、a. 'cab、acba 是同一个三角形，故应除以6,c n（n 一 1）（ 一 2）nn s” =即6nn 一 1）（/? 一 2）=（4）” 62 探究结论型探求结论型问题是指由给定的己知条件探求相应的结论的问题。解答这类问 题的思路是：从所给条件（包括图形特征）出发，进行探索、归纳，大胆猜想 出结论，然后对猜想的结论进行推理、证明。例3、如图，公路上有a、b、c三站，一辆汽车在上午8时从离a站10千米的p地 出发向c站匀速前进，15分钟后离a站20千米。（1）设出发x小时后，汽车离a站y千米，写tby与x之间的函数关系式；（2）当汽车行驶到离a站150千米的b站时，接到通知要在中

8、午12点前赶到离 13站30千米的c站。汽车若按原速能否按时到达？若能，是在儿点儿分到达；若不 能，车速最少应提高到多少？i111a pbc分析：这是生活中的一个实际问题。解第（1）问的关键是读懂题意，求出 汽车从p地出发向c站匀速前进的速度。第（2）问，没有给出明确的结论，需要根据所给的条件探求，汽车行驶到b 站后，若按原速行驶，到达c站的时间。20-1015=40 （千米/小时）解（1）汽车从p地出发向c站匀速前匹 速度为60v = 40x + 10(2)把yi50代入上式，得 150 = 40x4-10解得兀二3.5 （小时）乂 8 + 35 = 11.5汽车到达b站的时间为11点30分

9、30若汽车按原速行驶，由3站到c站所需吋间为=0.75 （小吋）40v 11.5 + 0.75= 12.25 > 12汽车按原速行驶不能按吋到达c站3（）=60 （千米 / 时）12-115汽车要在中午12点前赶到离b站30千米的c站，车速最少应提高到60千米/时。例4、如图,ab为半圆的直径,0为圆心,ab=6,延长ba到f,使fa二ab。若p为线段af上一个动点（p点与a点不重合），过p作半圆的切线，切点为c,作cd1ab, 垂足为d。过b点作be丄pc ,交pc的延长线于点e,连结ac、deo（1）判断线段ac、de所在直线是否平行，并证明你的结论；（2）设ac为x, ac+be为

10、y,求y与x的函数关系式，并写出自变igx的取值范 围。分析：本题是要根据图形的条件探求ac、de所在直线的位置关系。本题的难 点在于p是一个动点，那么ac与de也始终在随p点的运动而变化。在这种变化中， 它们的相对位置是否有一种特定的联系？这就要求我们透过现象，抓住问题的本 质，考察其屮的必然联系。可由动到静，把动点p设在af上的任意一个位置，根 据题意画出草图，再观察、猜想、推理、判断ac与de是否平行。m（ 1 ）依题意画出图形，如图，判断线段ac、i）e所在直线互相平行，即ac/deo卜'p/do:.rtpcd rtpbepc pd ' pb pepc与g)0相切于c点

11、，pab为oo的割线 pc2 = pa pbpc pa 'pbpcpa pd 'pcpe:.ac i ide(2)连结bc 为半圆直径 zacb = 90°.ac2 +bc2 = ab2/ ac = x, ab = 6. bc2 =36-x2pc与半圆相切于点c. abac = zbce:.rtabc rtcbeab . - bccb"be:.be =bc2 , x2=oab6 y = ac + be:.y = - + x + 66点戶为线段af上一动点(p点与a点不巫合).点p与点f匝合吋，ac的值最大，可求得此时ac = 2心十三+兀+ 6,其中0vm2

12、巧3. 探究存在性型例5、已知：点a (一1，一 1)在抛物线y =1)/_2伙-2)兀+ 1上(1) 求抛物线的对称轴；(2) 若点b与点a关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点b的直线。如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由。分析：要求过抛物线上点b且仅交抛物线于一点的直线，除了应用判别式 a = 0解出直线外，不要遗漏与对称轴平行的这一条直线。解(1) * 点a(-1, -1)在抛物线y = (£2 l)x2 2(k 2)x + 1_l.i*? l + 2(£2) + 1即 / +23 = 0解得人=1> k2 = -3w 1 ho：k、

13、= 1应舍去k = 3抛物线的解析式为y = 8/ + 10兀+1,其对称轴为直线x =-8(2)点与抛物线上的点a(-l, -1)关于对称轴x = -|对称8即触坐标为(冷，-1),且b点在抛物线上1>假设存在直线)y mx + 与抛物线y = 8x2 + 10x + l只有一个交点贝lj - 1 = -m + n,即加-4n = 4< 1 >4<l>fa.y = 8x2+10x + l整理得 8/ +(i o _ 加)* + 1-a? = 0直线与抛物线仅有一个交点/. a = (10-m)2-32(l-n) = 0<2>由 v 1、 v 2 &g

14、t; 解得加=6, n =2y = 6x h 2(9 1)x = x =2>过b 4且与抛物线的对称轴8平行的直线是 4,也/y = 6x h，x 抛物线只有一个交点所以符合条件的直线为.244. 实验操作型数学不仅是思维科学，也是实验科学，通过实验操作，观察猜想，调整等合情推 理，得到数学结论，近年来，齐地中考试题常以此来考查学生的数学实践能力和 创新能力，这种实验操作形式也是进行科学研究的最基本形式。例6、取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步:先把矩形abcd对折,折痕为mn,如图1；第二步：再把b点叠在折痕线mn上，折痕为ae,点b在mn上的对应点为夕，得 rtabye

15、 ,如图2；利用展开图4探究：(1) aaef是什么三角形？证明你的结论；(2) 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。图3图4(1)证明：aaef是等边三角形证法一：由平行线分线段定理得pe=pa- b'p是rtmb' e斜边上的屮线pa = pb, zl = z3 (如图4)又 pn /ad:.z2 = z3,而2上l + z2 = 90。z1 = z2 = 3o°在rtab'e中，z1 + zaef = 90°zaef = 60° , zeaf = z1 + z2 = 6o° .aaef是等边三角形证法二：zbe与仙e完全重合a abe = ab' e, zbae = z由平行线等分线段定理知b'f又 zab,e = 90°:.aab'eaab'f, ae = afz1 = z2 二丄 /.bad = 30°3aaef是等边三角形(2)不一定.由以上推证可知当矩形