浅谈三角形面积计算方法毕业论文

1、浅谈三角形面积计算方法毕业论文浅谈三角形面积计算方法学牛（理学院数学与应用数学专业2008级1班，学号：）指导教师：摘要：系统的阐述了三角形而积公式的由來及演变，结合中学知识加以应用，并对公式 进行拓展，寻求新的证明公式的方法.关键词：三角形；而积；公式引言众所周知，数学作为一门科学，它是凝结了人类几千年智慧的结晶。与其它学科相比， 数学的积累性很强，它的许多重大理论都是在原有理论的基础上继承和发展起来的，如果 我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展，也就不可能真正了解数学的真谛。法国著 名数学家庞加莱曾说：“如果我们想耍预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门 科学的历史和现状。” 1

2、所以要正确研究数学问题，首先要先了解其思想來源，这样才 能正确的把握数学发展方向。在数学的平而几何学中，所有的平而封闭图形的面积均可 近似化成若干个矩形而积与若干个三角形面积的和或差，所以研究三角形的而积计算方法 就成为儿何学屮不可或缺的一部份。三角形作为平血儿何小最简单的基木图形，在学习及 h常生活中冇广泛的应用。许多人对三角形面积公式很熟悉，但对于h常生活中冇关面积 的测算却时常会感到束手无策。其原因之一是对三角形具屮所含的数学思想认识不足，对 三角形面积公式的由來及演变不清楚，因此了解三角形血积公式的由來就显得举足轻重 to一.三角形面积公式的由來人们对事物的认识总是遵循着从特殊到一般的

3、规律。矩形是日常生活中常见且应用广泛 的图形，它的而积为底 高，而三角形的而积公式则对由矩形的而积公式推导，但推导三 角形的面积公式肖先要推导出玄角三角形的面积公式。若一个肓角三角形的两条玄角边 分别为a, b,则可将两个这样的三角形拼成一个长和宽分别为a, b的矩形。换句话说， 一个矩形可以由一条对角线分解为两个完全相同的巳角三介形。所以直角三和形的面积公 式1ls=a b 2对于任意三角形，可以通过任意一边上的高把它变成两个直角三和形的和或差。如图1- 1,由直角三角形的而积公式，对得出任意三角形的而积为1底 高。2记abc的三角 a, b,c所对的边分别为a, b,c,三条边上的高分别为

4、ha, hb, he,即11 s ab=cah a22co图1-1s abc srt ahb srt ahc s abc srt ahc srt ahb以上就是对三角形血积公式的由來进行了简单的介绍。（参见文献2）二.三角形面积公式的演变三角形而积的计算不仅是中学平而儿何中的重要内容，而口在口常生活和科学技术中也 冇着广泛的应用，现将几种常见的三角形面积公式归类总结如下：1. u知三角形底为a,高为h,则s lah. 2在了解三角形而积公式的由來中，我们己经基本了斛了求三角形而积最基本的公式，即 s公式。方法一：“割补”法（参见文献3）如图2-1,选取两个完全相同的三角形，将其中一个三角形作高

5、并沿着高将其剪成两个 小三角形，然后将剪得的两个小三角形和另一个大三角形拼成一个长方形。经过观察可发 现，原三角形的底和当丁长方形的长，原三角形的高相当丁长方形的宽，即长方形的面积 是三角形而积的2倍，所以三角形的而积二1底 高.21,下而我们将从不同的角度來推 导该ah （其中底为a,高为h） 2 2图2-1方法二：“折毎”法（参见文献3）如图2-2,将一个三角形折叠成一个长方形。图2-2整理可得长方形的而积二（底2）（高2）三角形的面积二（底2）（高2）2二底咼2方法三：“倍拼”法（参见文献3）如图2-3,沿三角形的中位线，将其剪成一个小三角形和一个梯形，把剪得的小三角形 和梯形拼成平行四

6、边形。经观察发现，所得的平行四边形的高是原三角形高的一半。因为 平行四边形的面积二底 （高2）,所以，三角形的面积二底 高2.图2-3而在三和形面积公式的推导屮，我们讯将其转化成数学语言来表示，下面是由平行四边 形的血积推出任意三角形的面积公式。在平行四边形abcd中，作ae cd, bf cd,则 aed bfc,故s平行四边形abcd=s 矩形 aefb ab bf.d 图 2-4连结 ac,则 abc adc,故s abc 11 s平行四边形abcd 底 高.222. 根据三角函数求而积已知abc的三个角分别为a, b, c,其对边分别为a, b, c,根据三角形高与边角之间的函数关系h

7、a csinb bsinc,代入（1）,便得s abc3. 海伦公式jp(p-a)(p-b)(p-c)在+ c)(a + “ 一 c)(a + c- b)(b + c- a)s abca b c. 2111absinc bcsain ca222 bs in (2)其中 p海伦公式是利用三角形的三条边求三角形的面积，据说是希腊的数学家海伦提岀，而据 阿拉们数学家比鲁尼称该公式最初是源于阿基米徳，虽然这个考证也得到了公认，但人们 还是习惯称该公式为海伦公式。由于任意n边的多边形都可以分割成n 2个三角形，所以可以利川海伦公式求多边形 面积。4. 秦九韶三斜求积公式已知 abc三边a, b,c 则

8、s abc宋秦九韶)。在我国数学丿力史上，南宋著名的数学家秦九韶在所著数书九章屮给出了另一个用三 角形三边来求三角形而积的公式三斜求积术，秦九韶的三斜求积术比海伦公式约早 600年。(“三斜求积”，南4秦九韶把三和形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法，三斜求积术就 是：以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，口乘于上；以小斜幕乘大斜幕，减上，余四约 之，为实；一为从隅，开平方得积。4证明：由(2)式两边平方，得 s2 12221absinc a2b2(l cos2c) 44(a2 b2 c2)由余弦定理知，cosc ,代入上式，得2abs abc称为秦九韶三斜求积公式。若将s2弦定理，得

9、 (3)1221ab(l cos2c)变形为 s2 a2b2(l cosc) (1 cosc)，再应用余44ll(2ab a2 b2 c2) (2ab a2 b2 c2)(ab)2c2 c2 (a b)2 1616a b c应川平方差公式，再令p ,即得著名的海伦公式wp-anp-bnp-c)2s2s .因此我国宋代的数学家秦久韶提出的“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。5. 三角形而积公式的内切圆半径表示形式设abc三边分别为a, b, c,内切圆半径为t,则s abc r (a b c)a b c) rp (其屮p 22证明：如图，0为内切圆的圆心, d、e、f为各边与圆0的切点，则s

10、s abo s aco+s bco 111 c r b r a r 22256. 三角形面积公式的外接圆半径表示形式设abc三边分别为a,b,c外接圆半径为r,则s abc abc. 4r证明：将正弦定理a 2rsina,b 2rsinb,c 2rsinc代入(2),得n s abc 2r2siasbincs i n (4)再由正弦定理 sina abc,代入(4), 得,sinb , sinc 2r2r2rabc s abc 4r7. 三角形面积公式的向量形式在平面直角坐标系中，abc的三个顶点a, b,c为不共线的三点，a (xl、yl) , b (x2、y2) , c (x3、y3),则

11、s abc 1(x2 xl) (y3 yl) (x3 xl) (y2 yl)2特姝情况：(1)在直角坐标系屮，o,a,b (0为坐标原点)为不共线的三点，向量0a= (xl,vl),向量 0b二(x2,y2),则s oab(2)在直角坐标系中,a, b,c为不共线的三点,向量ab二(xl,yl),向量ac= (x2, y2),则 lxly2 x2yl. 25 abc lxly2 x2yl. 2通过以上介绍的几种有关三角形而积的计算公式，我们不难从中体会到三角形面积内容 的丰富，而本文只是简单的介绍了其中的几种方法。三. 三和形面积的应用三角形而积是重要的基础知识，三角形面积有着广泛的应川，利川

12、三角形面积解题灵 活、巧妙。6例1如图3-1,四个小正方形的边长均为1,连接小正方形的三个顶点，可得abc,则其边ac上的高是()b方法一:13 ,ac 2213s abc ac h 22h 3 .s abc 4 1 2方法二§jp(p-a)(p-b)(p c)jia + b + c)(a + b- c)(67 + c b)(b + c-a)ab ac bc s abcs abc 3 21ac h 22s h abcac例2在一个三角形中，而积(单位：cm2)和其周长(单位： cm2)在数值上是相等的，则其内切圆的半径是()a. 2cm b. 3cmc. 4cm d. 5cm解：正确

13、答案为(a)。设三角形的半周长为p,内切圆半径为由题设和公式s pr可知 pr 2p,所以 r 2(cm)。注：在任意三角形abc中,三条边分别为a, b, c,内切圆半径为r,则有s abcr(a b c)a b c) rp (其中 p 2271 当 c 90 时，由 s abc ab 可得 2ab r(a b c) 1或由s abc ch (h为斜边上的高)，又可得2ch r (a b c)四. 三角形而积公式的拓展数学的创新可以是对其已知知识的延伸与拓展，所以我们还"j以从己知的三角形面积公式中进一步拓展，得出一些与三和形面积和关联的定理。定理5(三角形的内接三介形面积公式)已

14、知def是abc的内接三角形，且adbecf这里1,2,3都是非 1,2,3, dbecfa负实数，如图4-1,则s def 11 2 3s a b c (11) (1 2 )(13)图4-1除了可以拓展公式，得出一些与面积相关的定理外，还可以通过寻求新的公式证明的方法來达到数学的创新。1.海伦公式的新证法6在前面u经介绍了-种常见的三角形面积公式即海伦公式j 卩(卩 - d)(卩- ”)(卩s (其中 p a b c)2由于海伦公式的推导复杂，往往难以理解求解的过程。下面将利用勾股定理和圆的性质來求三角形的而积。如图4-2,设abc三边分别是a, b, c,不失一般性,假定c边最长。现以c边

15、上的一个顶点(现为a)为圆心，c为半径画圆，将过圆心的另一边ac b两端延长为圆的直径，显然，这两端延长部分的线段长分别为c和c b。再将第三边bc a延长为圆的弦，记bc的延长部分为x,则出和交弦定理，得ax (c b) (c b)图4-2d81从圆心引三角形的高h,则弦被垂足平分。设y为半弦长，于是，y (a x).2由勾股定理得h因此，边长为a, b, c,并月.c a, c b的三角形abc的而积为is abc ah211 其中 h , y (a x), x (c2b2). 2a这个推导方法简单明了，便于计算，由它还对以直接导出海伦公式。2.求三和形面积新法7大家知道，在已知三和形的三

16、边a,b,c,求三角形面积的公式通常有海伦公式和秦九韶 三斜求积公式。在初等数学研究中，我们又发现一种很“好用”的形式即y/ab1 + b'c + c'as abc b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2其中 a , b , c .444其实将上式两边分别平方后便可以去掉根号，再经过整理即可得出16s2abc 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4,这与出海伦公式整理成的等式是一致的，由推导的可逆性，即知公式正确。如下的证明，说明了公式的來源。设存在直角四面体0 abc,使其斜而而积为欲求而积，即abc的而积，记oa x, ob y, oc z,则y2

17、z2 a2, x2 z2 b2, x2 y2 c2. ill 解得x2 (b2 c2 a2), y2 (a2 c2 b2), z2 (a2 b2 c2).再应用直角 222四血体勾股定理，得111s2abc (xy)2(yz)2(zx)2.222注意a ,b ,c的表达式，即得欲证。9注：此证法仅适用于锐角三角形。例3>/36.求此三角形的面积。b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2解：易得 a 14, b 12, c 6,sjab'b'c' + c'dvl 68 + 72 + 84444故s 1& (面积单位).五. 小结木文研究的是有

18、关三角形面积公式，首先了解了三角形面积公式的由來，从最基木的公 式s lah (其中底为d,高为h)不断的演变出不同的面积公式，2这样在针对不同的题可以选择最简便的公式进行计算。在对公式拓展屮，由于海伦公式 的推导复杂，不易理解，从而可利用勾股定理和圆的性质来求三角形的而积。本文虽然归 结出求三角形而积的几种常见公式，并对其有部分知识的延伸，但对三角形而积公式的进 一步创新还有欠缺。致谢：衷心感谢门丽艳老师在论文写作过程屮给予的指导与帮助！参考文献1 朱家生数学史m.笫2版本.北京:高等教育出版社，2011.2 饶克勇.三角形而积公式的由來和演变j.昭通师范高等专科学校学 报.2003(05) : 2122.3 吴志群让生成与预设和谐统一 j湖南教育(下),2011(04):444 孔凡田，赵蓉海伦一秦九削公式推导的多样性j.中学数学杂志，2010(09): 16- 17.5 李世杰.关联三角形面积的几个新定理j.中学教研(数学)，2005(04):40446 何小亚编译求三角形面积新法j.中学数学，1990(01):32.7 于新华一个新的三角形而积公式j.屮学数学教学参考，2003(03):62.10discussion on calculation method of triangle areafaculty of science, yuxi norm