成人高考讲义(七)

1、成人高考讲义（七）第七章 三 角 函 数在初中我们已经学过锐角三角函数sin、cos和tan，的范围是到，它是解直角三角形用的。为了今后解决更多的实际问题，我们还需要吧角的范围扩大的任意角，所以我们现在讲的是任意角三角函数。一、有关角的概念 1、定义：角可以看作是平面上一条射线，绕着它的端点旋转而成的图形。 所以每个角它都有始边、终边和顶点。 我们规定：射线绕着它的端点逆时针旋转而成的角为正角；射线绕着它的端点顺时针旋转而成的角为负角；射线不作任何旋转称为零角。 正角 负角 零角2、终边相同的角：同一始边且终边所在的位置相同的角叫做终边相同的角。如，3，-，-，因为它们的终边相同，所以把这些角

2、称为终边相同的角。 又因为 3=1×3+，=2×3+，-=-1×3+，-=-2×3+， 由此规律，把与角终边相同的角可以表示成k3+（k为整数）。 因此，我们把与终边相同的角表示成 = k3+（k为整数） 3、象限角： 今后我们研究角是要借助直角坐标系的。所以把角放进直角坐标系中有规定，即角的顶点要与坐标系原点重合，始边要与x轴的正半轴重合。那么角的终边落在那个象限内，则称这个角为那个象限的角。 如果角的终边落在了x轴或y轴上，那我们就说它不属于任何象限的角。 练习题：指出下列各角所在的象限： 500°， -240°， -823

3、76;， 1008° 4、弧度制： 以前我们说一个角的大小，是说这个角多少度，这种表示法是叫角的角度制，它的来源于是把一个圆周分成360等份，一等份圆弧所对的圆心角我们称为一度。而度量角还有一种方法，就是用弧度来表述一个角的大小。这个弧度制它是来源于，在一个圆周上取一段圆弧，使它的长等于圆的半径，那么这段圆弧所对的圆心角我们称为一弧度。 弧度制与角度制的互化：我们知道一圆周等于，而一圆周等于多少弧度呢，根据弧度制的定义，一圆周等于圆的周长比上圆的半径个弧度，即弧度。 所以有=2弧度（以后我们说角多少弧度时可以把弧度二字省略），180°=， 90°=， 60

4、6;=，45°=， 30°=，。今后对于特殊角的互化要记熟。 另外 1°=， 1弧度=（）°=57°18.练习题：把下列各角的弧度化成度： ， ， - 把下列各角的度化成弧度： -135°， 210°， 600°， -75°二、三角函数 1、定义：如图，设P（，）为角终边 上任一点，表示P点到原点的距离，故。 则角的三角函数定义如下： Sin=， cos= tan= cot=.我们把正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数统称三角函数 练习题：角终边上一点P（4a，-3a）（a0），求 2sin+cos的值

5、. 2、三角函数的符号： 由于角所在的象限不同，所以它在各个象限的符号也不同 ，根据三角函数的定义容易的角在各象限的符号如下： 第一象限内正弦、余弦、正切、余切均为正的；第二象限内正弦为正，余弦、正切、余切均为负的；第三象限内正切、余切为正，正弦、余弦均为负的；第四象限内余弦为正，正弦、正切、余切均为负的. 归纳起来十二个字： 一全正，二正弦，三切正，四余弦. 三角函数在各象限内的符号，很重要，经常用到，所以一定要记住。练习题：不求下列各三角函数的值，判断它们的符号： Sin105°， cos（-）， tan585°， cot.已知tan0，cos0，则所在的象限为（ ）.

6、 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、特殊角的三角函数值： 这里我们主要说一下0°，30°,45°,60°,90°,180°,270°和360°，这些特殊角的三角函数值.根据三角函数的定义和轴、轴上点的坐标的特性，我们容易推出,0°90°,180°,270°和360°的三角函数值。列表如下： 特殊角的三角函数值角函数0°030°45°60°90°180°270°360&#

7、176;2sin010-10cos10-101tan01不存在0不存在0cot不存在10不存在0不存在 4、同角三角函数间的关系式：在三角函数的计算问题中，往往会遇到利用已知的三角函数值五求另外的三角函数值。比如已知角的正弦值求出其它的三角函数值。这就需要四个三角函数之间的关系式。平方关系： +=1这个平方关系式特别重要，并且用它还可以推出=1-， =1-，=±， 在计算过程中正负号的选取是由角所在的象限决定的。 商数关系：tan= 倒数关系：tan= 练习题：设sin=，为第二象限角，求cos和tan的值. 三、三角函数变换公式： 在三角函数的计算、证明、化简过程中，也往往需要进行

8、变换。我们这里再学习三类公式，即诱导公式、两角和与差公式和倍角公式。 1、诱导公式： 诱导公式就是利用这些公式，把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数来计算。 我们首先要记住下面的形式角： 第一象限的表示形式 k·360°+或2k+； 第二象限的表示形式 180°-或-； 第三象限的表示形式 180°+或+； 第四象限的表示形式 360°-或2-， -. 因为象限决定三角函数的取正取负。另外在使用公式时我们不管是多少，只要符合上面哪种形式，就把所求的角看那个象限的角，来确定符号。 公式一：sin（k·360°+）= sin

9、公式二：sin（180°-）= sin cos（k·360°+）= cos cos（180°-）= -cos tan（k·360°+）= tan tan（180°-）= -tan 公式三：sin（180°+）= -sin 公式四：sin（360°-）= -sincos（180°+）= -coscos（360°-）= cos tan（180°+）= tan tan（360°-）= -tan 公式五：sin（-）= -sincos（-）= cos tan（-）= -ta

10、n 这五组公式中的符号也可以概括为十个字：函数同名称，符号看象限. 练习题：计算下列函数值： cos（-） sin585° 2、两角和与两角差公式： 两角和与两角差公式就是把任意角先分成两个角的和或者是差，再利用这些公式转化成单角的三角函数来计算任意角的三角函数。 如cos75°=cos（45°+30°），cos15°= cos（45°-30°） 这样就可以用45°和30°的三角函数值求出75°和15°的三角函数值。 公式： sin（±）=sincos±cossin

11、 cos（±）=coscossinsintan（±）= 练习题：计算下列各题： sin105° sin（45°+）cos- cos（45°+）sin 3、倍角公式： 倍角公式就是把任意角先化成二倍角，再利用这些公式转化成单角的三角函数来计算任意角的三角函数。 如sin120°=sin（2×60°）这样就可以用60°的三角函数值求出120°的三角函数值。 公式： sin2=2sincos cos2=con2-sin2=2 con2-1=1-2 sin2 tan2= 练习题：已知cos2=，计算和.

12、四、三角函数的图像和性质： 在本部分我们只简单介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、图像及性质，正弦型函数和余弦型函数的周期和最值的求法。 1、正弦函数： 定义：形如（）的函数叫正弦函数 . 图像：我们用五个关键点描出它的图像 02010-10 y 正弦函数的图像是条向两端无限延伸的曲线，我们把它叫做正弦曲线。 性质：定义域： 值域： 单调性：函数在 （kZ）为增函数； 函数在 （kZ）为减函数. 奇偶性：正弦函数为奇函数，图像是关于原点对称的. 周期性：正弦函数为周期函数，最小正周期是2. 在这里特别强调几点：）要熟记02这一段函数的图像， 当0时，函数为增函数；当时，函数为减函数；当2时

13、，函数为增函数. ）为奇函数. ）为周期是2周期函数. 2、余弦函数： 定义：形如（）的函数叫余弦函数 . 图像：我们用五个关键点描出它的图像0210-101 y 余弦函数的图像是条向两端无限延伸的曲线，我们把它叫做余弦曲线。 性质：定义域： 值域： 单调性：函数在 （kZ）为增函数； 函数在 （kZ）为减函数. 奇偶性：余弦函数为偶函数，图像是关于y轴对称的. 周期性：余弦函数为周期函数，最小正周期是2. 在这里特别强调几点：）要熟记02这一段函数的图像， 当0时，函数为减函数；当2时，函数为增函数. ）为偶函数. ）为周期是2周期函数. 3、正切函数定义：形如（，kZ）的函数叫正切函数.图

14、像：它的图像是多条不连续的曲线.如图， 性质：定义域：. 值域：. 单调性：函数在区间 （kZ）均为增函数. 奇偶性：正切函数为奇函数，图像是关于原点对称的 周期性：正切函数为周期函数，最小正周期是. 4、正弦型函数、余弦型函数和正切型函数的周期及最值: 在正弦型函数和余弦型函数（A0）中，它们的最大值为A，最小值为-A，A是三角函数符号前面的系数；它们的周期是公式求得的，是自变量的系数.如都是正弦型函数.例如，函数y=2sinx的最小正周期是=6，最大值为2，最小值为-2.函数y=cos2x的最小正周期是=，最大值为，最小值为-. 但是在实际做题中，往往所给的函数不是标准正弦型函数或余弦型函

15、数，这就需要我们通过变形化成正弦型函数或余弦型函数来求它们的周期及最值。 把化成正弦型函数，公式是 =则它的周期是，最大值为，最小值为-. 把化成正弦型函数，一般方法是利用正弦的2倍角公式进行变形.公式是 = 则=它的周期是，最大值为，最小值为 - . 正切型函数它没有最值，只有周期，它的周期为. 如它的周期是.五、解三角形 1、三角形的分类: 三角形 2、解三角形： 我们都知道三角形有六个元素,即三条边和三个角。解三角形就是利用已知的角或边，通过一定的公式去求出其它的边和角，这个过程就叫解三角形。 3、解直角三角形： 解直角三角形的公式有两类： 勾股定理 锐角三角函数 4、解斜三角形： 解斜

16、三角形的公式有两类： 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即 . 这组公式使用的条件是已知两角和任一边，求其它两边和一角（这种解法结果只有一解）。已知两边和其中一边的对角，求其它两角和一边（这种解法结果可能一解也可能两解）。 另外这个定理还可以变形为 . 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值的积的两倍. 即 这组公式使用的条件是已知三边，求三个角.已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角.另外这个定理还可以变形为 三角形的面积 斜三角形的面积公式为 练习题： 在锐角中，AC=8，BC=7，sinB=，求AB. 解：sinB= 且A为锐

17、角 cosB= 由余弦定理可得 AB=-3 （舍去） AB=5. 在中，AB=2， B=60°，A=45°，求的面积.（结果精确到0.01） 解：C=180°-60°-45°=75° Sin75°=sin（45°+30°） =sin45°cos30°+cos45°sin30°= 由正弦定理得 BC= . 作 业 题1、填空： °， ° ， °， °.2、设sin=，为第二象限角，则cos=（ ）.（A） （B） （C） （D）

18、3、设角的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点 （-，），则sin=（ ）.（A） （B） （C） （D）4、如果0，则（ ）.（A）cos sin （B）cos tan （C）tancos （D）sintan 5、设是第二象限角，则（ ）（A）cos 0，且tan0 （B）cos 0，且tan0 （C）cos 0，且tan0 （D）cos 0，且tan06、若0，则（ ）（A）sincos （B）cos （C）sin （D）sin 7、cos（）=（ ）.（A） （B） （C） （D）8、sin585°=（ ）.（A） （B） （C） （D）9、cos=（ ）.（A） （B） （C） （D）10、在ABC中，C=30°，则cosAcosBsinAsinB的值等于（ ）.（A） （B） （C） （D）11、sin（45°）cos+cos（45°）sin的值为 . 12、sin15°cos15°= . 13、函数y=sin2x的最小