必修五一元二次不等式及其解法题型归纳教师版

1、必修5一元二次不等式及其解法【知识导图】一云二次不晉戒的阐集附科念茂 三个“二菽"之间的关氣Ll 一元二戈不黑式題耳翻*Ll 一元二臾不專武时占Tr基本通型三个一AT昊藕的血用1J 一元二臾不專式的实廊蛊戸H r-xtr)"厂r的一元二观不諄式的讦蚤,1 询式护等或的幫去4 a5! -,r4【目标导航】1. 了解一元二次不等式的概念；2. 掌握一元二次不等式的解集，会解一元二次不等式；3 会解能化为一元二次不等式的分式不等式；4.理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系.5会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题；6.会解含参数的一元二次不等式.【重难点精讲】

2、重点一、一元二次不等式的概念及形式(1) 概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.(2) 形式： ax2+ bx+ c>O(a 0)； ax2+ bx+ c 0(a 0)； ax2+ bx+ c<O(a 0)； ax2+ bx+ c 0(a 0).重点二、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系(1) 一元二次不等式的解集的概念: 一般地，使某个一元二次不等式成立的X的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解 组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集关于X的一元二次不等式 ax2+ bx+ c>O(a0)或ax2+ bx+

3、 c<0(a0)的解集；若二次函数为f(x)= ax2+ bx+ c(a0),则一元二次不等式f(x)>O或f(x)<O的解集，就是分别使 二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量 X的取值的集合.(3) 三个“二次”之间的关系：设 f(x) = ax2 + bx+ c(a>0),方程 ax2+ bx+ C= 0 的判别式 = b2- 4ac判别式=b2- 4ac>0= 00解不等式f(x)>0 或 f(x)<0的步骤求方程f(x) = 0的解有两个不等的实数解X1，X2有两个相等的实数解X1 = X2没有实数解画函数y=f(x)的示意图得不 等式

4、 的解 集f(x)>0xvi 或 X>X2bx-务Rf(x)<0 XX1VX<X2?重点三、分式不等式的解法X + 12x 1 匚孑0与(x+ 1)(x+ 3)>0等价吗？一+2 0与(2x- 1)(x+ 2) 0等价吗?X+ 3X+ 2定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于X的多项式的不等式称为分式不等式.解法：等价转化法解分式不等式fx >0? f()g()>0,f Xf XTT<0? f(x) g(x)<0. y Ag? 0?f x g x 0,g X 0.f x g x 0,g X 0f(x) g(x)<O 或g X O

5、.重点四、简单的高次不等式的解法(1) 由函数与方程的关系可知 y= (x+ 1)(x- 1)(x- 2)与X轴相交于(一1,0), (1,0), (2,0)三点，试 考虑当x>2,1<x<2, x<1不同情形下，y值的符号变化情况.考查函数y= (X- 1)2(x+ 3),当x<-3,- 3<x<1, x>1时，y的取值正负情形你发现了什 么规律？高次不等式：不等式最高次项的次数高于2,这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法 将f(x)最高次项系数化为正数； 将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； 将每一个一次因式的根标在数

6、轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过); 观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集【典题精练】考点 1、一元二次不等式的解法例1.求下列不等式的解集.81(1) 3x2 5x 2 0;(2) 4x2 18x0;42 1 2(3) 2x2 3x 2 0;(4)x 3x 5 0.【解析】(1)因为 3x2 5x 2 x 2 3x 1 ,所以原不等式等价于x 2 3x 10,1解得2 x 3 ,所以原不等式的解集为3(2)原不等式可化为4x218x 810,配方得2X 90,又(2x ¾2 o,所以(2x刖o解得X

7、；,.所以原不等式的解集为(3)原不等式可化为2x2 3x 2 0,2因为 2x2 3x 22 X 374 80恒成立，所以原不等式的解集为(4) 原不等式可化为X2 6x 10 0，因为X2 6x 102X 31 0恒成立，所以原不等式无解，即原不等式的解集为考点点睛：解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为 0的形式(习惯上二次项系数大于0).第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根.第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中第四步，观察图象中位于X轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集 考点2、三个二次”关系的应用例2.已

8、知不等式- F -的解集为C 或必鬧.(1)求二;(2)解关于 的不等式皿产：.J iC【解析】(1)因为不等式a×2- 3x+6>4的解集为xxv 1，或x>b，所以1和b是方程ax2- 3x+2 = 0的两个实数根，且b> 1;由根与系数的关系，得a= 1, b= 2；(2) 所求不等式 ax2-( ac+b)x+bc< 0化为 x2-( 2+c) x+2cv0,即(X- 2) (X- c)< 0; 当c>2时，不等式(X-2) (X- c)< 0的解集为x2<x<c; 当c<2时，不等式(X- 2) (X- c)<

9、; 0的解集为xc<x<2; 当C= 2时，不等式(X-2) (X- c)< 0的解集为？.1. 一元二次不等式ax2 + bx+ c>0(a0的解集的端点值是一元二次方程 ax2+ bx+ C= 0的根，也 是函数y= ax2+ bx+ C的图象与X轴交点的横坐标.2 注意灵活运用根与系数的关系解决问题.考点3、一元二次不等式的实际应用例3.【2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟】某辆汽车以 X公里/小时速度在高速公路上 匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60 X 120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为14500 打X 100升.5 X(1) 欲使每小时的

10、油耗不超过9升,求X的取值范围；(2) 求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度X的函数,并求y的最小值.14500【解析】(1)由题意,令 X 1009 ,5X化简得 X2 145x 45000,解得 45 X 100;又因为60 X 120,所以欲使每小时的油耗不超过9升, X的取值范围是60,100 ;(2)设该汽车行驶100公里的油耗为y;2则 y 100 1 1由60 X 120,知1而亦, X 100 4500 =90000 1 丄 80,(其中 60 X 120);X 5XX 90980所以=90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为§ 升.考点4、含参数的一元

11、二次不等式的解法例4.【广西贺州市2018-2019学年高二上学期期末】解关于X的不等式a2 (a 1) 10(a R).【解析】0时,原不等式可化为0 ,所以原不等式的解集为 1.0时,判别式 a 124a(1)1时，判别式0 ,原不等式可化为X2 2 10 ,0 ,所以原不等式的解集为 1.(2)0时，原不等式可化为1 ,所以原不等式的解集为- Xa1.(3)当 0 a 1 时,原不等式可化为1此时丄1 ,所以原不等式的解集为a 1 或X ；.(4)当a 1时，原不等式可化为0 ,此时所以原不等式的解集为(a或X”.1综上，av 0时，不等式的解集是(，1);a = 0时，不等式的解集是a

12、, , ) a考点点睛：解含参数的一元二次不等式时:(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论;);a 1时，不等式的解集为 1.0 a 1时，不等式的解集是, 1)(-a,+);a>1时，不等式的解集是( 1,若求对应一元二次方程的根，需对判别式进行讨论;(3) 若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.考点5、分式不等式的解法例5解关于X的不等式M【解析】原不等式等价于ax 1 X 2(1)当 a0时，解集为 ,2(2)当 a0时，原不等式可化为ax1因为a12 ,所以解集为-,2a(3)当 01 1 、a 2时，T 2 ,解集为,2原不等式等价于220

13、 ,即 X 20，解集为,22,(5)当 a1-2 ,解集为a2,综上所述，当a0时，解集为,2 ；10时，解集为,2 ;a1当0 a 2时，解集为,2；当1a 2时，解集为2,考点点睛：次不等式组求解,1对于不等号一端为O的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或 但要注意分母不为零.2 对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分（一般不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.考点6、简单高次不等式解法例6.【上海市华东师范大学第二附属中学 2016-2017年高一上学期第一次月考】 关于X的不等9990的解集为原不等式等价于X故答案为:,3 U 1 U 1,

14、2 .,3 U 1 U 1,2 .X 3 X 2当 m2 4m 50, m 5或m 1.若m5 ,则函数化为y 24x 3 ,对任意实数X不可能恒大于0.若m 1,则y 30恒成立.当m2 4m 50时，根据题意有2m 19m 4m 5 0,m 5或 m 1,2 2 116(1 m) 12 m 4m 5 0,1 m 19,综上可知，实数m的取值范围是1,19).故答案为1,19)a>0<0 ；a>00 ；a<0<0 ；a<0考点点睛：1.一元二次不等式恒成立问题(1) a2 + bx+ c>0(a 0恒成立(或解集为R)时，满足(2) ax2+ bx+

15、 c0a0恒成立(或解集为R)时，满足(3) ax2+ bx+ c<0(a0恒成立(或解集为R)时，满足(4) ax2 + bx+ c 0a 0恒成立(或解集为R)时，满足2. 含参数的一元二次不等式恒成立.若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式.则可以转化为函数值域求解.设f(x)的最大值为M ,最小值为m.(1) k<f(x)恒成立？ k<m, k(x)恒成立？ km.(2) k>f(x)恒成立? k>M , k(x)恒成立? kM.课后训练1. (2019年兴庆区校级月考)不等式 6x2+ X- 2 0的解集为.2 1因为6x2+ X-

16、2 0? (2x- 1)(3x+ 2)0,所以原不等式的解集为X 3x?.12. (2019年北京模拟)设a< 1,贝U关于X的不等式a(x a) x - <0的解集为a111因为 a< 1，所以 a(x a) -x <0? (x a) -x >0.又 a< 1，所以二>a， aaa1所以x>a或x<a13. (2019年合肥期中)已知关于X的不等式ax2+ bx+ c<0的解集是X x< 2或x> ,则ax2 bx+ c>0的解集为1由题意，2， 2是方程ax2 + bx+ C= 0的两个根且a<0，故1 =

17、2 =12ba，Ca，5 解得 a = c， b= c.所以不等式ax2 bx+ c>0即为2x2 5x+ 2<0,1解得2<x<2,即不等式ax2 bx+ c>0的解集为2<x<2 .x 24.若集合 A= x| 1 2x+ 1 3，B= XP 0入,贝U AB等于(A . x| 1x<0B.x0<x 1x0 x 1C. x0 x<2【答案】B V A= x| 1x 1，B= x0<x2，A A B = x0<x 1.5.若集合A= x|ax2 ax+ 1<0 = ?,则实数a的取值集合是()A. a0<a&

18、lt;4B. a0 a<4C. a0<a4D. a0a4【答案】D a= 0时符合题意.a>0时，相应二次方程中的= a2 4a 0,得a0<a 4综上，得a0 a 4,故选D.2x+ 1 x+ 2 x+ 36.不等式>0的解集为【答案】x| 4<x< 3 或 x> 1原式可转化为(x+ 1)(x+ 2)2(x+ 3)(x + 4)>0,根据数轴穿根法，解集为4<xv 3或x> 1.7.设x2 2x+ a 80对于任意x (1,3)恒成立，贝U a的取值范围是原不等式X 2x+ a 8 0转化为a x2 + 2x+ 8对任意X (1,3)恒成立，设