2020年中考上海初中数学最短路径问题汇总

1、初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开 图”。考的较多的还是“饮马问题”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折” 转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”。一、运用轴对称解决距离最短问题 为两定点之间的距离。利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化基本思路是运用轴对称及两点之间线

2、段最短的性质，将所求线段之和转化为 一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住 直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相 同注意： 利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求，根据轴对称的性质、利 用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类 最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求， 审题不清导致答 非所问1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。解：连接 AB,线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。（根据：两点之间线段最 短.）

3、2、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应1B C建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使 AC+BC 最小作点 A 关于直线“街道”的对称点 A，然后连接 AB，交“街道”于点 C，则点 C 就是所求的点应用 1 在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ， 则PBQ 周长的最小值为_（结果不取近似值）.2 如图所示，正方形 ABCD的面积为 12 ABE是等边三角形，点 E在正方形 ABCD内，在对角线 AC上有一

4、点 P ，使 PD PE的和最小，则这个最小值为（ ）A2 3B2 6ADPC3D6E3 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+PD 取最小值时， APD 中边 AP 上的高为（ ）A、21717B、41717C、81717D、33、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角MON 内部任意一点，在MON 的两边 OM，ON 上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点 A 关于 OM，ON 的对称点 A，A；连接 A，A，分别交 OM，ON 于点 B、 点 C，则点 B、点 C 即为所求分析：当

5、AB、BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 4、两个点在矩形内部例：已知矩形 ABCD 内有两个点 M、N，过 M 击球到 CD 边 P，然后击到 BC 边 Q，然后到 N,则小球所走的最短路线？二、利用平移确定最短路径选址 两定点之间的距离。通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为2选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的 同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条 直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以 用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个

6、点 的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使 河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的 问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线 段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥 MN，桥造在何处A·M才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与 河垂直）解：1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E，2.连接 AE 交河对岸与点 M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

7、证明：由平移的性质，得 BNEM 且 BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE,则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE 中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即 AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在 CD 处，AB 两地的路程最短。NEB例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作A·B·a物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到 A、B 两地

8、，问该站建在河EDC边什么地方， 可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D，则点 D 为建抽水站的位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点 E，连接 AE.CE.BE.BD,点 B.C 关于直线 a 对称,点 D.E在直线 a 上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在ACE 中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB3所以抽水站应建在河边的点 D 处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满DM了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在 C 处的学

9、生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D,2. 作点 C 关于直线 OB 的对称点点 E,2. 连接 DE 分别交直线 OA.OB 于点 M.N，则 CM+MN+CN 最短例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，AONC EB先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮 他确定这一天的最短路线。AF·OCH作法：1.作点 C 关于直线 OA 的 对称点点 F, 2. 作点 D 关于直线 OB 的对称点点 E,GD3.连接 EF 分别交直线 OA.OB 于

10、点 G.H，B则 CG+GH+DH 最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。例:一点到圆上的点的最大距离为 9，最短距离为 1，则圆的半径为多少？（5 或 4）三、利用展开图求立体图形表面上小虫的最短路线问题。通过展开立E体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。1.台阶问题（1）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，A 和 B 是这个台阶的 两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A 点

11、出发，沿 着台阶面爬到 B 点，最短线路是多少？A(3+1)×3=12 B5351BA4析：展开图如图所示，AB=52+122=13cm（2）如图，在一个长为 2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽 AD 平行且AD，木块的正视图是边长为 0.2米的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达 C 处需要走的最短路程是 确到 0.01 米）分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答解：由题意可知，将木块展开，相当于是 AB+2 个正方形的宽， 长为 2+0.2×2=2.4 米；宽为 1 米米（精于是最短路径为：=2.60 米2.圆

12、柱问题 、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的 宽可求出最短路程（1）如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=蚂蚁，要从 A 点爬行到 C 点，那么，最近的路程长为（ ），BC=3，一只A7 BCD 5分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果 解：将圆柱体展开，连接 A、C，= = =4，BC=3，根据两点之间线段最短，AC=5故选 D（2）有一圆形油罐底面圆的周长为 24m，高为 6m，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B 处吃食物， 它爬行的

13、最短路线长为多少？BCBAA5。则 BA =析：展开图如图所示，AB=52+122=13m变式 1：有一圆柱形油罐，已知油罐周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A 处开始绕油罐一周建造梯子，正 好到达 A 点的正上方 B 处，问梯子最短有多长？BcBA A析：展开图如图所示，AB=52+122=13m变式 2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内壁离杯口 3 厘米 的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B 处时， 突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。AAABB析

14、：展开图如图所示，做 A 点关于杯口的对称点 A 92+122=15 厘米3.正方体问题（1）如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是 （ ）.（A）3（B）5（C）2（D）1BCAC1A2B析：展开图如图所示，AB=12+22=54.长方体问题1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程62 2 22 2 22 2 22） 将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3） 将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.（1）有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长

15、方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处，则 需要爬行的最短路径长为（ ）A5 cm Bcm C4 cm D3 cm分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短利用勾股定理求点 A 和 B 点间的线段长， 即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长 方体的长宽之和，利用勾股定理可求得解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1） 展开前面、右面，由勾股定理得 AB =（5+4） +3 =90；（2） 展开前面、上面，由勾股定理得 AB =（3+4） +5

16、=74；（3） 展开左面、上面，由勾股定理得 AB =（3+5） +4 =80；所以最短路径长为cm（2）如图是一个长 4m，宽 3m，高 2m 的有盖仓库，在其内壁的 A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处 最短距离为（ ）A4.8 BC5 D分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知 解：有两种展开方法：将长方体展开成如图所示，连接 A、B，根据两点之间线段最短，AB= =；将长方体展开成如图所示，连接 A、B，则 AB= 所以最短距离 5=5 ；711; AC =2o（3） 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶

17、点 C 处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？析：展开图如图所示，25 <29 < 37D1C1路线 1 即为所求。A1AD4BB121C长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另 一条直角边， 斜边长即为最短路线长。D C1 1D C2A B4AC =42+32 =25 1A B C1 1 11A 4 B 2 C 62+12 =371;D D C1 1A 1 A 4 B1 1AC =52+2 =29 . 1例：如图，AB 为O 直径，AB=2，OC 为半径，OCAB,D 为 AC三等分点，点 P 为 OC 上的动点，求 AP+PD 的最小值。分折：作 D 关于 OC 的对称点 D，于是有 PA+PDAD,（当且仅当 P 运动到 P 处