(整理)二重积分计算.

1、精品文档第二节二重积分的计算这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的一、矩形上的二重积分的计算为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法.定理 12. 4 若函数f(x,y)是矩形D=a,b× c,d上的可积函数. 若对每一个x a,b积分dh(x) f (x,y)dyc存在 , 则 h(x) 在 a,b上可积 , 并有等式bbdf(x, y)dxdy h(x)dx ( f (x, y) dy)dx,Daacbd它也记为dx f (x, y)dy . 这个表达式称为二次积分或 二次累次积分,也简称为累次积分.ac证明 在 a,b中插入若干个分点ax0

2、x1x2xnb , 并记xi= xi- xi-1 , (i=1,2, .,n), 当令 x=max xi | i =1,2, .,n , 要证 :bdlimh( i) xi ( f(x, y)dy)dx.0i1ac再在 c,d中插入若干个分点cy0y1y2ymd , yj= yj - yj-1 , (j=1,2, .,m), 那么 , 直线 y= yj (j=0,1,2, .,m), x= xi (i =0,1,2, .,n) 将 D 分成 m n 个小矩形Dij=xi-1,xi × yj-1,yj(i =1,2, .,n,j=1,2,.,m). 当记mijinf f(x,y) |

3、(x,y) Dij , Mij sup f(x,y) |(x, y) Dij ,mm yjmmij yj h( i)f( i, y)dy Mij yjj 1j 1 yi 1j 1nmnnm因此 ,mij yj xih( i) xiMij yj xii1 j1i1i1 j1注意到,此式的左右两端正是f(x,y)在矩形D 上以此分划的Darboux 小和及大和.再令令 y =max yi | i=1,2, .m , = x + y , 由可积性知,nmlim0mij yj xif(x,y)dxdy,0i1j1Dnmlim0Mij yj xif (x,y)dxdy.i1j1Dn又有两边夹易得, li

4、m h( i ) xif(x, y)dxdy0i1Dn即有 lim h( i ) xif (x, y)dxdy, 那么x 0i1Dbbdh(x) 在 a,b上可积 , 并有等式f(x,y)dxdy h(x)dx ( f(x, y)dy)dx.Daac同样我们可得定理 12. 5 若函数f(x,y)是矩形D =a,b × c,d上的可积函数. 若对每一个y c,d积分bg(y) f(x,y)dxa存在 , 则 g(y) 在 c,d上可积, 并有等式ddbf (x, y)dxdy g(y)dy ( f (x, y)dx)dy,Dccadb这时它也记为dy f (x, y)dx(也是二次积

5、分 或 累次积分).ca引理 若函数 f(x,y)是矩形 D =a,b× c,d上的连续函数, 那么bd g(y) f(x,y)dx 和 h(x) f (x, y)dy ac分别是c,d和 a,b上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数.证明 只证 g(y) 是 c,d上的连续函数. 由条件知, f(x,y)在 a,b × c,d上一致连续, 所以 ,任意 >0, 存在 >0, 对任意 (x1, y1), (x2, y2) a,b× c,d,只要(x1x2)2(y1y2)2, 有 | f(x1, y1)f(x2,y2) |, 所以ba2任意y1, y

6、2 c,d, 当|y1 - y2|< ,bb| g(y2) g(y1)| | f(x, y2)dxf(x,y1)dx|aab| f(x,y2) f (x, y1) |dxbdx(b a) .ba1 ba2a故 g(y) 在 c,d上的一致连续.由此可得定理 12.6 若函数f(x,y)是矩形D =a,b× c,d上的连续函数. 则dbbdf(x, y)dxdydyf (x, y)dxdxf (x, y)dy .Dcaac即可交换顺序.这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形D =a,b× c,d上的可积函数, 对每一个y c,dbd积分 g(y)f(x,y)dx存在

7、, 对每一个x a,b积分h(x) f (x, y)dyy 也存在,.这时定acdbbd理 12.6 结论仍然成立, 即 f(x, y)dxdy dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy .Dcaac二、一般区域上的二重积分计算首先我们来讨论D 是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形设其中g x ,h x 是区间 a,b 上的连续函数，D (x, y) | a x b, g x y h x ， 这样的区域 D ， 我们称之为x 型区域(当然可求面积) 如图 12-2-1 所示当 u y ,v y 是区间 c, d 上的连续函数，D ( x,y) |c y d,u y

8、x v y(如图12-2-2)称为y型区域.定理 12.7 设函数f(x,y)是有界闭区域D 上的可积函数，U= a,b× c,d包含D. 那么精品文档f(x,y)f (x,y),0,(x,y) D(x, y) U D那么 f (x, y) 是 U 上的可积函数. 并且f (x, y) dxdy f (x, y)dxdy.UD事实上f (x, y)在 D 上可积,在 U-D 上也可积. 由性质知f (x, y) 在 U 上的可积.定理 12.8 设 D ( x, y) | a x b, g x y h x 为 x 型区域 , f(x,y)是 D 上的连续函数，那么bh( x)f (x

9、, y)dxdy dx f (x, y)dyDa g(x)证明 令 U= a,b× c,d包含 D. 由定理 12.7bdf (x, y)dxdy f(x, y)dxdy dx f(x,y)dyDUac注意到 ,当固定 x 时 , 若 c y g x 或 h x y d , f (x,y)=0,;若 g x y h x ,f(x,y) f (x, y). 所以g(x)h(x)f(x, y)dxdy dx f(x,y)dy f(x,y)dy f(x, y)dy ,g(x)b h(x)显然 f (x, y)dxdy dx f (x,y)dy.a g(x)例 1 计算二重积分xyd ，其中

10、 D 是由直线y 1, x 2及 y x所围成的闭区域解 区域 D 如图 12-2-3 所示，可以将它看成一个x -型区域，h(x)12-2-3即 D x, y | 1 x 2,1 y x 所以2xxyd 1 dx 1 xydyD12 xy2yxdxy12 1 x3 1 x dx 9228也可以将D 看成是 y 型区域，D x, y |1 y 2, y x 2 ，于是22xyd 1 dy y xydxD2121y2x2dyxy1 2y139y dy .28有上面的例子可以看到， 考虑被积函数计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要定理 12.9 设 D ( x, y) | c

11、y d ,u y x v y 为 y 型区域 , f(x,y)是 D 上的 连续函数，那么d v( y)f (x, y)dxdy dy f (x, y)dxDc u( y)如果 D 既不是x-型区域也不是y-型区域,如图12-2-4我们可以将D 分划成若干个x-型区域和y-型区域的并.12-2-4例 计算二重积分xyd ，其中 D 是有抛物线y2 x 及 y x 2 所围成的有界解：如图12-2-4，区域 D 可以看成是y 型区域，它表示为D x, y | 1 y 2, y2 x y 2 ，所以y22 y 221 245xyd1dy y2 xydx 1y x dy D2y28我们也可以将D 看

12、成是两个x 型区域D1 ,D2的并集如图1 -2-5，其中D1 x, y | 0 x 1, x y x,12-2-5xydD1x4x0dx x xydy 2dxx2xydy D 2 x, y | 1 x 4, x 2 y x 所以积分可以写为两个二次积分的和即最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是x 型的，又是y型,可能将它看成其某中一种时，计算不出来比如下面的例子11例 计算二次积分dysinxdx x分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管sin x 的原函数是存在的，但是还是无x法求出其表达式我们可以考虑将这个积分先化

13、为二重积分，再换成另外一种二次积分来计算解 1dy 1sin x dx sin xd ， 其中 D 是如图1 -2-6 所示的区域，将它看成是x-0 yxD x型区域，有D x, y |0 x 1,0 y x，所以sinx d1 xsinx dx00x11 sinx xdyy 0dx0xsin xdxosx 10 1 cos112-2-6上面例子的方法常称为交换积分次序. 可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序,是难以计算出结果设 D x,y |a x b,c y d ，如果 f(x) 和g(y)分别在a,b和 c,d上可积 , 则f(x)g(y)

14、在 D 上可积,并有bdf x g yd f xdx g ydyacD读者可以自己验证上面的结论例 计算x2 y2d ，D其中 D x, y |0 x 1, 1 y 1 解 ：由上面的讨论，有22xyd220dx 1x y dy12120 x dx 1 y dy例 求由曲面z x2 y2与 z 1 所围的体积V解： 此立体如图1 -2-7 所示，它的体积可以看成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积2圆柱体的体积是V112 曲顶柱体的顶是2222z x y ， 底为区域D x, y | x y 1 所以其体积为11 x2V2x y d1dx 1 x2 x y dyD2所以此立体体积为2211 x

15、2在这里积分1dx 1 x2 x2 y2 dy的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分本节最后将给出前面积分运算的几何解释.f x, y 是有界闭区域D 上的连续函数且f x, y 0 时， 二重积分f x,y d 表示的是以 D 为底，以f x, y 为顶的曲顶柱体的体积如图1 -2-8 所示它的体积可以通过计算这个二重积分得到图 12-2-8我们下面通过另外的一种途径来求其体积我们采用的方法是定积分的微元法以 x为积分变量，其变化区间为a,b ；a,b 的一个小的子区间x,x dx 上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小的曲顶柱体，

16、将它近似为一个截面已知的立体的体积接下来就是计算这个截面面积将对xx于 任 意 的x0a,b ， 用 平 面 x x0 去 截 曲 顶 柱 体 得 到 截 面， 即z f x, yxx0它在z f x0 , yyoz平面上的投影是一个如图2-所示的曲边梯形其面积为hxA x0f x0 , y dygxhxx0 变动时，有截面面积A x f x, y dy 于是区间x,x dx 所对应gxdV Ax dxghxxfx,ybb hxV Axdx gx f x,ydydx这样的积分实际上是积分两次，即先对y 积分，再对x 积分，即二次积分也记为b hxa dx g x f x, y dy习题 12-

17、21.求下列函数的二重积分, f x, y dxdy ,这里 D=0,1 × 0,1.D1)f x, y1 x y, x y 1,xy12)f x,y22xy0,xy1,xy13)f x,yx y,0,22x y 2x;otherwise2.设 f(x)是 a,b上的连续函数,证明bb2 f (x) f (y)dydx f (x)dx .axa3.求下列二重积分1)32x y dxdy , D ( x, y) |0 x 2, x y x ;D2)4y2 dxdy , D ( x,y) |1 x 2,0 y 2x ;Dx 13)4)5)xey dxdy , D ( x, y) | 1

18、y 2, y xy3 ;D2ey dxdy , D ( x, y) | 0 y 1,0 x y ;D(2x y)d , D 是由原点为中心2 为半径的圆周所围的有界区域D6)(2xy)d , D 是由 (0,0),(1,2) 和 (0,3)为顶点的三角形所围的有界区域D7)(x2y2 )d ，其中DD 是矩形区域：|x| 1 ，|y| 1；8) (3x 2y)d ，其中DD 是 x 轴、 y 轴与直线x y 2 所围成闭区域，9) (x2 3x2y y3)dDD 是矩形闭区域：0 x 1 ， 0 y 1 ；10) xcos(x y)d其中 D 是顶点分别为(0，0) ， ( ,0 )和 ( ,) 的三角形闭区域4.交换下列的积分顺序39 x21) dx f(x,y)dy;09 x23 9y2) dy f(x, y)dx;00143) dx f (x, y)dy ;0 arctan x1 2y3 3 y4) dy f(x,y)dx dy f(x,y)dx;00101 y11 y25) dy f(x,y)dx;6) dy f(x,y)dx; 7)0001 y22 2ye lnxdy f (x, y)dx dx f