（新高考）2021届高考考前冲刺卷 数学（四） 学生版

1、（新高考）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2021届高考考前冲刺卷数 学（四）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

2、求的1设，若，则（ ）ABC2D02“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（ ）ABCD3已知复数（为虚数单位），若，则（ ）ABCD4在中，已知，的面积为2，则边的长有（ ）A最大值B最小值C最大值2D最小值25若函数，满足，则的值等于（ ）A2B0CD6若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）AB5CD107函数的部分图象大致为（ ）ABCD8已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9高中数学课程标准（2017版）给

3、出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中同学的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（ ）A甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高10函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）AB函数的最小正周期为C函数在区间上单调递增D函数关于点中心对称11在数列中，若，则称为“和等比数列”设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列

4、”的判断中正确的有（ ）ABCD12已知函数对于任意，均满足当时，若函数，下列结论正确的为（ ）A若，则恰有两个零点B若，则有三个零点C若，则恰有四个零点D不存在使得恰有四个零点第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是_14某医院传染病科室有5名医生，4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生，2名护士，则不同的选取方法有_种15已知x，y满足，且的最大值是最小值的2倍，则满足条件的可行域的面积是_16过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，

5、则双曲线的渐近线方程为_，离心率为_四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）若函数，的角，的对边分别为，且（1）当取最大值时，判断的形状；（2）在中，为边的中点，且，求的长18（12分）设数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和19（12分）如图，在四棱锥中，且（1）证明：；（2）已知，在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（12分）从年月日开始，支付宝用户可以通过“扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜，每

6、一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就除夕夜之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：是否集齐五福性别是否合计男女合计（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校名在读大学生中集齐五福的人数；（3）以（2）中的频率作为概率，从该校的名在读大学生中随机选取名，记这名大学生集齐五福的人数为，求的数学期望及方差参考公式：附表：21（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，实轴长为4（1）求

7、椭圆的方程；（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数（）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，（），求实数的取值范围（新高考）2021届高考考前冲刺卷数 学（四）答 案注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在

8、答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】D【解析】由，知，即，得，故选D2【答案】A【解析】由方程表示双曲线，知，故它的一个必要不充分条件为，故选A3【答案】C【解析】由，则，则，故选C4【答案】D【解析】设，因为，所以，因为的面积为2，所以，即，所以，得，且，因为，解得，所以，所以由余弦定理得，所以，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以的最小值为2，无最大值，即的最小值为2，无最大值，故选D5

9、【答案】A【解析】由题意易知，分别在，上单调，若，则不在同一单调区间，又，一定有，即，故选A6【答案】B【解析】由直线始终平分圆的周长，则直线必过圆的圆心，由圆的方程可得圆的圆心坐标，代入直线的方程可得，又由表示点到直线的距离的平方，由点到直线的距离公式得，所以的最小值为，故选B7【答案】A【解析】由题意，函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，又由，所以函数为偶函数，排除B、D项；当时，可得，排除C项，所以只有A选项适合，故选A8【答案】D【解析】因为平面，所以，所以，在中，所以，如图所示：三棱锥的外接球即为长方体的外接球，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积为，故选D二、多项选择题：本题

10、共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9【答案】AC【解析】对于A，由图可知数学运算，甲得5分，乙得4分，所以甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养，所以A正确；对于B，由图可知逻辑推理素养，甲得4分，乙得5分，所以甲的逻辑推理素养低于乙的逻辑推理素养，所以B错误；对于C，由图可知甲只有数学运算素养得5分，所以甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高，所以C正确；对于D，由图可知乙的逻辑推理、数据分析和直观想象都是5分，所以D错误，故选AC10【答案】BC【解析】由图可知，所以，所以，又因为，所以或，又因为，所以，又

11、因为，所以，所以，当时，解得，这与矛盾，不符合；当时，解得，满足条件，所以，所以，A由上可知A错误；B因为，所以的最小正周期为，故B正确；C令，所以，令，此时单调递增区间为，且，故C正确；D因为，所以不是对称中心，故D错误，故选BC11【答案】AC【解析】因为，所以，两式相减得，所以，故A正确，B错误；，故C正确，D错误，故选AC12【答案】ABC【解析】由可知函数的图象关于直线对称令，即，作出函数的图象如下图所示：令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，的定义域为，且，则函数为偶函数，且函数的图象恒过定点，当函数的图象过点时，有，解得过点作函数的图象的切线，设切点为，对函数求导得，所以

12、，函数的图象在点处的切线方程为，切线过点，所以，解得，则切线斜率为，即当时，函数的图象与函数的图象相切若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误，故选ABC第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】1215【解析】二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，令，得，的展开式的通项公式为，令，可得，的展开式的常数项为，故答案为121514【答案】【解析】符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士选取名医生、名护士的方法有：种；选取名医生、名护士的方法有：种，综上所述：满

13、足题意的选取方法共有种，故答案为15【答案】【解析】先画出x，y满足的可行域如图所示，由，得；由，得，平移直线，当直线过点时，目标函数有最小值，且；当直线过点时，目标函数有最大值，且，依题意，得，则，得，所以可行域的面积为，故答案为16【答案】，【解析】过点的直线与直线垂直，直线的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，将两个方程联立，可得，的中点坐标为，点满足，点在线段的中垂线上，即，则，渐近线方程为，离心率为故答案为，四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）是等边三角形；（2）【解析】因为，所以由，得，因为，所以，所以，（1），因为，所以，

14、所以当时，取最大值，此时，所以，所以是等边三角形（2）解：取边的中点，连接，则，且，在中，由余弦定理得，解得，所以，在中由余弦定理得18【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，所以，各项累加可得，又，所以，所以（2）由（1）可得，所以，得，所以，整理得19【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）证明：由已知，得，由，故，又因为，所平面，又平面，所以（2）假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，由已知和（1），易得，两两垂直，以为原点，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，令，则，取平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，解得或（舍去），所以20【答案】（1）不能，详见解析；（2）；（3），【解析】（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为，故不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“集齐五福与性别有关”（2）这80位大学生集齐五福的频率为，据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为（3）从该校的名在读大学生中随机选取名，每个学生集齐五福的概率为，随机变量，综上所述，21【答案】（1）；（2）存在，详见解析【解析】（1）因为焦距为2，长轴长为4，即，解得，所以，所以椭圆的方程为（2）由（1）知，设点，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程