高考物理力学求极值的常用方法

1、.中学物理力学求极值的常用方法一、知识要点1极值问题：指极小值和极大值。注：极值不一定是最值。2求极值问题的两个途径：物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。二、应试策略1用二次函数求极值的方法求极值一元二次函数y=ax2bxc（a0），当x=-时，y有极小值y极=，用a>0时y有极小值，a<0时y有极大值。例1一辆小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车旁

2、边匀建驶过(1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少 (2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t时间两车相距最远，则SS2-S1，S2=V0t，得(1)当时，S极=或(2)汽车追上自行车时两车位移相等，即S0，得t=4s。vt=at=12m/s答案：(1)2S，6m；(2)12m/s。-可以利用配方法求解点评：本题可以用v-t图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。2利用一元二次方程根的判别式求极值将二次函数y=ax2bxc（a0），转化为二次方程ax2bxc y=0，其判别式b24aC0，x有实数解

3、，若yA，则yminA；若yA，则ymaxA。0，方程无实数解。例2一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m>M时，圆环能升起。证明：取小球为研究对象，受力如图（a），由牛顿第二定律，得mgcosN=由动能定理得 mgR（1cos）mv2由此二式得 N=2mg3mgcos  上式中，N>0，即 cos<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有 T+2NcosMg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得 2Ncos=Mg N与

4、N为作用力与反作用力，则2（2mg3mgcos）cos=Mg即6mcos24mcos+M=0 上式是关于cos的一元二次方程，cos为实数，则0，即（4m）24（6m）M0，可得mM  当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。3利用三角函数求极值用三角函数求极值，实际上是应用了正、余弦函数的有界性。利用倍角公式将yAsin转化为yAsin2的形式，当45º时，y有极大值。将三角函数yasin+bcos，转化成的形式，再利用其有界性求解。例3质量为m的物体，在与水平方向成斜向上拉力F牵引沿水平地面上匀速直线运动。已知物体与地面间的滑动摩擦系数

5、为，求力F的最小值及角。解析。物体受力情况如图，根据牛顿第二定律得FNGfFFcosf0 FNFsinmg=0 fN解得：F可写成，其中则时，F有最小值，此时，答案：；点评：利用三角函数的有界性求极值，是中学物理常用的解题方法。4利用图象法求极值通过对物理过程的分析和所遵守的物理规律，找出相关变量之间的函数关系，作出物理图象，由图象再求得极值。通常要用到图象斜率、面积、截距、交点的物理意义等。例4甲、已两光滑斜面高度相同，乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相同，只是由两部分组成如图所示，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计在拐角处的能量损失，则哪一个小球先滑到底端？ 解析：小球沿甲斜面OB

6、做匀加速运动，设其加速度大小为a1，小球沿乙斜面OD段、DE段分别做匀加速运VVtt1t2BEDOa22a3a1动，设其加速度大小分别为a2和a3,由图象和a=gsin可知a3<al<a2 由机械能守恒定律可知，两小球到达斜面底端时的速率大小相等，且通过的路程（即斜面的总长度）相等可用速率 时间图象求解。作两小球分别沿甲、乙两斜面运动的速率一时间图象如图所示。因为速率一时间图线的斜率表示小球加速度的大小，图线与时间轴所围成的面积表示小球所通过的路程，则四边形ODEt乙与三角形0Bt甲面积相等时，显然有t乙<t甲。即沿乙斜面的小球先滑到底端。答案：沿乙斜面的小球先滑到底端。点评

7、：本题抓住两球的路程相等，利用v-t图斜率和面积的物理意义解决了时间的最小值问题。5利用作图法求极值把复杂的物理过程或各物理量间的关系用几何图形表示，将物理问题转化为几何问题加以解决。例5有一小船位于60m宽的河边，从这里起在下游80m处河流变成瀑布。假设河水流速为5m/s，为了使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？V合OAV水60m80mV船解析：设水速为V水，船速为V船，船对岸的实际速度为V合。为使小船到达对岸而不至滑过瀑布A处，过O作船合速度的方向OA和水速V水，如图所示，由几何关系可知V水与V合垂直时，V船最小，V船方向与岸夹角应为。由几何关系得 ，53°答案：3

8、m/s，方向与岸成53°角斜向上游。点评：本例巧妙利用作图法解决了渡河问题中的极值问题，也是V船<V水时航程最小的解决办法，其思路缘于力的分解。作图法的优点是直观形象，便于定性分析和定量计算。6利用基本不等式求极值设a、b均为正数，则ddO若ab= C（常数），当a=b时取等号，即a+b有极小值；若a+b=C（常数），当a=b时取等号，即ab有极大值。例6（2010年高考重庆卷，24）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如题图所示。已知握绳的手

9、离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。（1）求绳断时球的速度大小V1和球落地时的速度大小V2。（2）向绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？解析：（1）设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向，水平方向得由机械能守恒定律，有 ，得（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小。球做圆周运动的半径为，由圆周运动向心力公式，有 ，得（3）设绳长尾l，绳断时球的速度大小为，绳承受的最大推力不变，有 得绳断后球做平抛运动，

10、竖直位移为，水平位移为x，时间为，有 得 当时，有极大值，答案：（1），；（2）（3）当时，有极大值，。例7（2010年高考江苏卷，14）(16分)在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的指点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角30°，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取中立加速度 g10m/s2，sin53°0.8，cos53°0.6（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；（2）若绳长l=2

11、m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力f1800N，平均阻力f2700N，求选手落入水中的深度d；（3）若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。解析（1）动能定理 ，圆周运动Fmgm解得F（32cos）mg人对绳的拉力 FF，则 F1080N（2）动能定理 mg（Hlcosd）（f1f2）d0 ，则d=，解得 d=1.2m(3)选手从最低点开始做平抛运动x=vt，H-l=解得当时，x有最大值，解得l=1.5m因此，两人的看法均不正确。当绳长钺接近1.5m时，落点距岸边越远。答案：（1）1080

12、N；（2）1.2m；（3）当时，有极大值1.5m，两人的看法均不正确。三、对应练习750FO1（2010届福建省泉州市高三四校联考）如图所示，一小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向750角，且小球始终处于平衡状态。为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角应该是A900 B450 C150 D00 答案：C。HOaS2（2010年江苏苏锡常镇高三调研, 5）如图所示，有一光滑的半径可变的圆形轨道处于竖直平面内，圆心O点离地高度为H。现调节轨道半径，让一可视为质点的小球a从与O点等高的轨道最高点由静止沿轨道下落，使小球离开轨道后运动的水平位移S最大，则小球脱离轨道最低点时的速度大

13、小应为A B C D解析：设圆形轨道的半径为R，则抛出时的速度；小球做平抛运动时，解得 ，可知当RHR即R0.5H时，S有最大值，可解得V0。答案：A。3公共汽车由停车站从静止出发以2m/s2的加速度做匀加速运动，这时一辆载重汽车从后面超过公共汽车，载重汽车以10m/s的速度匀速前进。问：经过多长时间公共汽车能追上载重汽车？经过多长时间两车相距最远？相距最远时两车之间的距离是多少？解法二：解析法公共汽车作初速度为零的匀变速直线运动，则 x1at2t2载重汽车作匀速直线运动 x2Vt10txx2x110tt2（1）当x0时公共汽车追上载重汽车，得t10S或t0（舍去）（2）当t5（S）时，x有极

14、值，即x25（m）解法二：利用运动图象求解因为公共汽车是做初速度零、加速度2m/s2的匀加速度运动，而载重汽车是做匀速直线运动，且同时目向运动，它们的速度-时间图象如图示。速度时间图线与时间轴所围成面积表示物体通过的位移。由图可知：当tO时，OAD的面积等于矩形OCBD的面积，故两车所通过的位移相等，即两车相遇。当两车速度相等，即t5s时两车相距最远，最远距离是 ，解得其值为25m。答案：25m。4如图所示，用力F拉一物体在水平地面上匀速前进，物体的质量为m，物体与地面间的动摩擦因数为，欲使F为最小，则F应与竖直方向成多大的夹角？最小的力为多大？解析：设F与竖直方向的夹角为，物体匀速前进则有即

15、其中，当时，F有最小值答案：，四、巩固加深m2mm2mF1（2007年高考江苏，6）如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是mg。现用水平拉力F拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块一同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为 A B C D 解析：将用线关联的两个小m和后面的2m看成一个整体，且前一个m所受静摩擦力达到最大值时，根据牛顿第二定律得mg4ma单独分析前面的m可得 mgTma解得 T答案：B。2火车以速率V1行驶，司机突然发现前方同一轨道上距离S处有另一辆火车沿相同方向以较小的速率V2做匀速运动。

16、于是司机立即制动，使火车作匀减速运动，加速度大小为a要使两车不相撞，求加速度a应满足的条件。 解析：设经过时间t两车相遇，则有 即 为使两车不相撞，则上个方程应无解，即解得 答案：点评：本题也可以用临界条件求解：当两车速度相等时，它们之间的距离恰好为0。3如图所示，物体静止在光滑水平面上，受到一个水平恒力F1的作用，要使物体在水平面上沿OA方向作直线运动，OA与水平方向成角，则对物体施加的这个力F2的最小值是多大？方向如何？  解析：根据力的平行四边形定则，物体受到的合力沿0A方向，则另一个力F2有大小、方向不同的若干个解，在这些解的当中有一个最小值，这个力的方向与合力方向垂直。如图

17、所示。由几何关系可得F2=F1sin。答案：F2=F1sin，方向与合力方向垂直。HLhAB4（2010年高考浙江卷，22）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑的轨道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10m/s2）。求：（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离SBH为多少？（3若图中H4m，L5m，动摩擦因数0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？解析：（1）设斜面长度为L1，斜面倾角为，根据

18、动能定理即 ，（2）根据平抛运动公式 X=vot ，h=gt2 ，得 （3）令x=2m ,H=4m,L=5m, =0.2，可得到：h2+3h-1=0求出，答案：（1）；（2）；（3）2.62m，0.38m。附加题1DFN/Nx/m051051015（09年江苏罗庚中学月考试题）如图所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点A与最低点B各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图像如图，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：（1）小球的质量为多少？（2）若小球的

19、最低点B的速度为20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？解析（1）设轨道半径为R，根据机械能守恒定律 在B点： ， 在A点：两点压力差： , 由图象截距得 ，即 （2）因为图线的斜率得在A点不脱离的条件为： ， 解得：答案：0.05Kg;17.5m。附加题2在平直公路上，有甲、乙两辆汽车，初始时甲车在前乙车在后，它们相距为x0100m，不计汽车长度。若甲车以V120m/s的初速度开始做匀加速直线运动，同时乙车以V230m/s的初速度开始做匀加速直线运动，加速度为a20.40m/s2。求加速度a1分别为何值时，甲、乙两车不相遇或相遇一次或相遇两次？ 解法一：设经历时间t时甲、乙两车相遇，则有 即 若a10.40m/s2，t10s时相遇一次；若a10.40m/s2，由二次方程的求根公式可知当a1<0.40m/s2时，t有两个实数解，一正一负，负值不台题意舍去，相遇一次；当t有两个正实数解，相遇两次；当a10.9m/s2时，t20s，相遇一次；当a1>0.9m/s2时，t无实数解，不相遇。解法二：选甲车为参照物，则需要将甲车的速度和加速度都反加给乙，