整式乘法公式及因式分解错题分析

1、平方差公式错解分析利用乘法公式进行整式的乘法计算，可以使计算过程简洁方便但在利用公式时，如果对公式掌握不熟练，计算马虎，则很容易出现解题中的一些错误例 1 已知下列计算 ： （ x-y ） （ -x-1/37y）。（-x+y ）（ x-y ） 。 （ -x-y ）（ x+y ） ； （ x-y ）（ y-x）其中能利用公式（ a+b ）（ a-b ）=a2-b2 计算的有【误】能利用公式计算的有：【析】如果两个多项式相乘能利用公2/37式（ a+b）（ a-b） =a2-b2，则必须符合公式的特征 已知 中的 -y 相当公式中的 a ，x 相当于公式中的 b，所以可以利用公式，而、都不符合公式

2、的特征，即不是两个数的和与两个数的差的形式，所以不能利用公式3/37【正】填 -例 2 计算（ 2x-3y）（ 2x+3y）【误】（ 2x-3y）（ 2x+3y）=2x2-3y2【 析】公式(a+b） (a-b） =a2-b2 中的 a、b 可以是一个具体的数字或字母，也可以是一个单项式或多项式已知式子中4/37的 2x 和 3y 都是单项式，相当于公式中的a、 b，所以在计算时应用括号括起来【正】（ 2x-3y）（ 2x+3y）=例 3 运用公式计算 （ -x-3y ） （ x-3y）【误】（ -x-3y ）（ x-3y ） = （ -x ） 2-5/37（ 3y）2=x2-9y2【析】利用

3、公式（ a+b）（ a-b） =a2-b2计算一定要 “对号入座 ” 即找准公式中的 a 、b，这里的 -3y 相当于公式中的 a，而 x 则相当于公式中的b错解把 a 、 b 的位置颠倒了【 正】（ -x-3y ）6/37（ x-3y）=例4计 算（ 3x+4 ） （ 3x-4 ） -（ x+2）（ x-2）【 误】（ 3x+4 ）（ 3x-4） -（ x+2）（ x-2）=9x2-4-x2-2=8x2-6【析】在错解中有三处错误：（ 1）计算 （ 3x+4 ） （ 3x-4 ）时，没能正确地使用7/37公式，结果没有将 4 平方；（2）计算（ x+2）（ x-2）时也没有将 2 平方。（

4、3）出现符号错误【 正】（ 3x+4 ）（ 3x-4） -（ x+2）（ x-2）=例5 计算（-x2+5y）（ -x2-5y）8/37【误】（-x2+5y ） （ -x2-5y ） =-（ x2）2-（ 5y）2=-x4-25y2【析】 错在将 x2 当成了公式中的 a，实际上是 -x2 相当于公式中的 a【正】 （-x2+5y）（ -x2-5y）=9/37例6计 算（ 2x+y+z ） （ 2x-y-z）【误】（ 2x+y+z）（ 2x-y-z）= （ 2x+y ） +z （ 2x-y ） -z= （ 2x ） 2-y2-z2=4x2-y2-z2【析】本题错在分组时，将前两项分成一组，误认

5、为可以10/37利用公式（ a+b）（ a-b ） =a2-b2 ，而实际上 （ 2x+y） +z （ 2x-y） -z 并 不 满 足 公 式（ a+b ） （ a-b ） =a2-b2所以这种分组是错误的第二步不能正确运用平方差公式【 正 】（ 2x+y+z）（ 2x-y-z）=11/37因式分解“三步曲”在进行因式分解时，一般都遵循“三步曲”，即：“一提、二套、三检验”。一提：提公因式如果多项式的各项含有公因式，那么12/37首先提取这个公因式，再进一步分解因式。在提取时要注意以下三点：提公因式后括号内各项不再含有公因式。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正1

6、3/37的。当公因式跟某一项相同时，提公因式后括号内切勿漏掉“1”。例 1：分解因式：8x2 y312x2 y解：原式 = 例 2：分解因式：14/373a327ab 2解：原式 = 例 3：分解因式：3x22xyx解：原式 =二套：套用公式提完公因式后，再根据题目中各项特15/37点，再考虑套用公式。包括平方差公式以及完全平方公式。例 4：分解因式：12a4b227a 2b4解：原式 =例 5：分解因式：m36m29m16/37解：原式 =三检验：查漏补缺分解因式完成后，还要对分解的结果进行检验：分解是否彻底（在分解范围内每一项都分解到不能再分17/37解为止）；分解是不是准确（可以通过整式

7、的乘法来检验结果是否正确）；括号中的每一项中的首项符号是不是为正；括号中的每一项系数是不是均为整数；18/37分解的最后结果是不是只含有小括号。例 6：在实数范围内分解因式(a49)解：原式 =因式分解的巧用。同学们对因式分解的19/37两种方法一定很熟悉了，如何灵活应用它进行求值计算、使问题简单明朗、迎刃而解是我们的不足之处；本文介绍因式分解的巧用。一、用提公因式法分解因式求值例 1 21×314+ 62× 314+ 17 ×31420/37解：二、用公式法分解因式求值例 2 (1) 若 a+b=1 , a-b=2006 则 a2-b2=(2) 已知 2x-3=

8、0 , 求 x(x2-x)+x 2(5-x)-9 的值解： (1)(2)例3已知21/37a2+b2=25， ab=12求a+b 的值解：这些错误你犯过吗？因式分解是数学教与学的重点、难点之一。在解题时，不少同学由于种种原因，难免出现这样或那样的错误。本文试将这些错误作一归类22/37分析，以期此文对同学们有所帮助。一、提取公因式时的错误1、提取后漏项例1、分解因式3a2b2-6ab3+3ab2误解：原式 =3ab2(a-2b)分析：对于 3ab2 项被提取了 3ab2 后，23/37这一项不是没有了，而是还剩下 1。正解：原式 = 2、运算不准确例 2、分解因式 a3m+2a2m+am误解：

9、原式=am(a3+2a2+1)分析：混淆了同底数幂相乘与幂的乘方的区别，而导致了24/37a3m=am×a3, a2m=am×a2 的错误。正解：原式 = 二、对因式分解概念理解模糊导致错误1、定义的模糊例 3、分解因式x2-2x+1误解：原式 =x(x-2)+1分析：未能理25/37解，分解因式的结果一定要是积的形式。正解：原式 = 2、错误的变形例4、分解因式12x2+xy+ 12y2误解：原式 =x2+2xy+y 2=(x+y) 2分析：分解因式是一种恒等变形，而将12x2+xy+ 12 y2 变 形 成26/37x2+2xy+y 2 不是恒等变形。正解：原式 =3、

10、走回头路例 5、分解因式a4-8a2+16误 解 ： 原 式 =(a2-4)2=(a+2)2(a-2)2=(a2+4a+4)(a2-4a+4)分析：分解因式后，又反过来进行乘27/37法运算，从本质上混淆了因式分解与整式乘法的区别。正解：原式 = 4、分解不彻底例6、分解因式(x2+1)2-4x2误解：原式 =(x2+1+2x)(x 2+1-2x)分析： x2+1+2x 与 x2+1-2x 还 可 以 再 分28/37解，不可半途而废。正解：原式 =完全平方公式的变形与应用由完全平方公式 (a± b)2a2±2ab+b2，我们可以得到以下恒等变形：（ 1 ） a2+b2 (

11、a+b)2 2ab (a 29/37b)2+2ab；（ 2） ab 12 (a+b)2 (a2+b2) 14 (a+b)2 (ab)2 a 2 b 2 a 2 b 2 ；（ 3） (a+b)2+(a b)22a2+2b2；（ 4 ） a2+b2+c2 ab bc ca 12 (a b)2+(bc)2+(ca)2.上述几个恒等式十分重要，在解题中如能30/37灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明 .例 1 计算： 1.345×0.345× 2.69 1.3453 1.345×0.3452.分析先逆用分配律，再用等式（1 ）即可 .解说明在有关复31/37杂

12、的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用完全平方公式的变形式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素质 .例 2 若(1012+25)2 (1012 25)2 10n ，求 n 的值 .分析利用（ 2）可 将 (1012+25)2 (101232/37 25)2 直接化为两个数的积的形式，从而获解.解(1012+25)2 (1012 25)2说明 利用完全平方公式的变形式可以简洁明了的解决看似复杂的求值问题 .例 3已知 a+b+c33/37 0， a2+b2+c2 4，试求： a4+b4+c4 的值 .分析 乍看待求式和已知条件毫无关系，但细细琢磨一下，可将 c 视为已知数，对 a、b 利用完全平方公式（ 2），再结合（ 1）即可求解 .解34/37例4 计算：19931992 22 .19931991219931993 2分析 对分母运用完全平方公式的变形（ 3）可使分母差化积便于约分化简，从而简洁求值 .解19931992 22 199319912199319932说明